§3.4 电磁场的相对论变换
§3.2 动生电动势和感生电动势
§3.3 磁矢势和磁场中带电粒子的动量
§3.5 自感和互感
第三章 电磁感应
§3.1 电磁感应定律
§0 引言
(2)电流具有磁效应，反过来由磁能否来产生电效应呢？
§1 电磁感应定律
一、电磁感应现象
1、实验现象
观察现象，看到如下事实：
(1) 插、拔时有电磁感应现象发生；
观察现象发现：
(1) 仍有电磁感应现象发生；
比较以上两实验共同点：有磁极相对运动参与。
(1)“相对运动”是否就是产生i的唯一方式或原因？
(2) 我们能否将“相对运动”当作产生i的必然条件而作为一般方法或结论固定下来呢？
观察现象得知：
(1) 虽无相对运动，但仍有电磁感应现象发生；
(3) 作为一般性结论，回路中产生i的条件是什么？
思考
(2) 相对运动只是产生i的一种方式，并非一般性条件。
2. 法拉第电磁感应定律
法拉第的实验:
共同因素：穿过导体回路的磁通量M发生变化。
法拉第电磁感应定律
其中i为回路中的感应电动势
（i为回路中载流子提供能量）。
1
1）任一回路中：
其中B, , S有一个量发生变化, 回路中就有i的存在。
2）“–”表示感应电动势的方向， i和都是标量，方向
只是相对回路的绕行方向而言。如下所示：
与假定方向相反
若,
则 i<0
若,
同向
则 i>0
则 i>0
若||,
同向
说明:
2
3. 楞次定律
判断感应电流方向的定律。
应用此定律时应注意：
1）磁场方向及分布；
定律：闭合回路中感应电流的方向，总是使得它所
激发的磁场来阻止引起感应电流的磁通量的变化。
2）M发生什么变化？
3）确定感应电流激发磁场的方向；
4）由右手定则从激发B方向来判断感应电流或i的方向。
若 
若 
若 
若 
一般由d /dt i的大小；由楞次 i的方向。
3
保证了电磁现象中的能量守恒与转换定律的正确，
并且也确定了电磁“永动机”是不可能的。
正是外界克服阻力作功，将其它形式的能量转换成回路中的电能
N
S
注：楞次定律中“反抗”与法拉第定律中“–”号对应。
若没有负号“–”或不是反抗将是什么情形？
N
S
过程将自动进行，磁铁动能
增加的同时，感应电流急剧增加，
而i ，又导致   i…而不须
外界提供任何能量。
电磁永动机
事实上，不可能存在这种能产生
如此无止境电流增长的能源！
4
4. 电磁感应定律的一般形式
若回路由N匝线圈组成：
若1= 2= · · · = N ，则 i =－Nd/dt。
其中  =1+ 2+ · · ·+ N ，回路的总磁通匝链数。
回路中相应的感应电流：
从t1→ t2时间内，通过回路导线任一横截面的电量：
与d/dt无关
若已知N、R、q，便可知=？
若将1定标，则2为t2时回路的磁通量。
全磁通
磁通计原理
5
5、涡流的概念及应用
1)涡流
电磁阻尼、电磁驱动。
(1)热效应
a、高频感应炉---冶炼；
b、涡流损耗---变压器、电机铁芯，制成片状，缩小涡流范围，减少损耗。
电流通过导体发热，释放焦耳热。
2)涡流的效应
6、趋肤效应
导线载流分为
式中叫做趋肤深度。
2)电流密度分布
1)概念
金属表面淬火。
3)应用
例1.长直导线通有电流I，在它附近放有一 矩形导体回路. 求： 1）穿过回路中的； 2）若I=kt（k=常）回路中i=？
3）若I=常数，回路以v向右运动，i =？
4）若I=kt，且回路又以v向右运动时，求i=？
解：
设回路绕行方向为顺时针，
1）
2） I=kt时，在t时刻，
逆时针方向
r
3）I=常数，t 时刻，此时回路的磁通：
顺时针方向
a+vt
b+vt
6
4）综合2）、3），t时刻回路的磁通：
此题若这样考虑：
则：
这样就有:
错在那里？
7
例2. 弯成角的金属架COD, 导体棒MN垂直OD以恒定速
度v在金属架上向右滑动，且t=0. x=0，已知磁场的
方向垂直纸面向外，求下列情况中金属架内的i:
1）磁场B分布均匀，且磁场不随时间变化。
2）非均匀时变磁场，B=kxcos t。
解：
设回路绕向逆时针
1） t 时刻，x =vt 。
方向与绕向相反，
只出现在MN上。
此处可直接利用均匀场：
8
2） B不均匀
与绕向相同。
与绕向相反。
x
9
电动势i内是什么力作功？
的变化方式：
导体回路不动，B变化~~感生电动势
导体回路运动，B不变~~动生电动势
法拉第电磁感应定律：
i 是回路中的
感应电动势
10
① 感生电动势存在否？
② 电动势起源于非静电作用，此非静电起源的
作用存在否？
③ 电压的概念有意义否？
§2 动生电动势和感生电动势
引 言
(2) 若对电磁感应定律的认识仅停留于 的形式，诸如图３-9中的现象则令人难以理解:
图３-9
1、动生电动势由洛仑兹力引起。
(1)特例分析
运动 段：如图３-10(b)电子受电力及洛仑兹力分别为 、 ，平衡后， 、 间建立一定电势差， ，相当于电源 。
外路段：导体框 外路导通，形成电流，平衡破坏，
一、动生电动势
(2) 一般情况下动生电动势的计算公式
当 ，此时如何求 ——微分法。
对于连续情况，写成一般表达式为：
④ 导体怎样运动才产生电动势 ：形象地说——导
线切割磁感应线产生 。可举几图示让学生分析。
回路中电动势 推动电荷可做功，而上述 由 引起，这与 不做功相矛盾吗？回答：否。分析如下：
[讨论]
② 若一段导线在 中运动而无回路，则有电动势 ，
而无I；
2、动生电动势与能量守恒
如图３-12所示，载流导线在外磁场 中以匀速 运动，则电子参与两种运动：
这一结论与以前相一致。又从上述过程可见： ，即 ，表明合洛仑兹力的两分力之功率相等。
物理图象如下：
外力功 洛仑兹力（桥梁） 电能。
(3) 谁为回路提供电能？
动的出现是什么力作功呢？
电子同时参与两个方向的运动：
电子受到的总洛仑兹力：
——洛仑兹力不作功。
f1
f2
u
V
F
即：
显然：
f1作正功。
f2作负功。
要使棒ab保持v运动，则必有外力作功：
即：
(3)应用---交流发电机
[注]实际发电机：电枢多匝，多极，转动磁极；以上也可用 方法求出。
3. 动生电动势
1.产生动生电动势的机制
(1) 等效非静电场Ek：
导线 l 在外磁场中运动时，l内自由电子
受到磁场力作用：
类比静电场：
定义非静电场：
(2) 动生电动势定义：
大小
l
22
例1. 均匀磁场B中ab棒沿导体框向右以v运动，
且dB/dt=0, 求其上的i。
解：由定义
用法拉第定律：
23
2. 动的计算
例2. 在真空中，有一无限长直导线电流I 旁，有一半
圆弧导线以v 向右运动。已知 r，R。
求 Ek、 QP， P与Q 哪点电势高？
解：
1）在导线上任意dl处的Ek
距电流为r'：
2）
方向向上
dl=Rd
3）
i从Q→P，UP>UQ。
能否用直线PQ来代替PQ？
显然：
否！
例3. 金属杆oa长L, 在匀强磁场B中以角速度反时针
绕点o转动，求杆中感应电动势的大小、方向。
B
o
a

L
解法一：
方向：
解法二：任意时刻通过扇形截面的磁通量
根据法拉第电磁感应定律:
棒两端的电位差:
思考：
1）半径为L 的金属圆盘以 转动
2）以下各种情况中 =？
(1) 感生电动势
(2) 涡旋电场
1、感生电动势和涡旋电场
二、感生电动势 涡旋电场
洛仑兹力解释不了感生电动势；
Maxwell 假说——涡旋电场。
实验表明，感生 完全与导体种类和性质无关，由变化 引起。麦克斯韦分析了一些电磁感应现象后，敏锐地感觉到：感生电动势现象预示着有关电磁场的新效应，他相信，即使不存在导体回路，变化的磁场周围也会激发一种电场，称之为涡旋电场，此场即 之非静电力。故上述回路中感生为：
涡旋电场与静电场有本质不同：
静电场：自由电荷激发，电力线有头尾，场的环流为零；
涡电场：变化磁场激发，电力线闭合的，环流不恒为零；
相同点是：对电荷都作用。
(3) 场方程
综上有
表明电场、磁场不可分割，有了变化的磁场就有变化的电场。
2、涡旋电场的性质
① 有 ，就有 ，但有 则需导体。
是此处特例；
② 变化场情况，区域内处处有电源，不宜划分源内、源
外；
③ 动生、感生划分只具有相对意义；
[讨论]
表明，高斯定理仍成立。
② 在导体内：
静电平衡时，E=0，
即：
U为导线两端的电位差，即开路时电源的端电压。
2)涡流：将导体块放置在Ei中，则在导体中将产生环形
电流→涡流。
总结以上的讨论，对感应电场Ei说明：
但它对在其场中的导体提供电动势：
①导体不闭合时使导体内电荷重新分布产生Ee
静电平衡时：
由于 的存在，则出现电势。
则导体内的总电场：
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3）物理中应用——电子感应加速器。
1）涡流是有害的，它消耗电功率，
降低设备能量利用效率.
2）利用涡流产生的热量加热和熔化金属.
结论：
原理：用变化的磁场所激发的感应电场来加速电子。
管中的电子受力：
（切向加速）
（提供向心力）
加速器的成功证实了感应电场的客观存在。
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应用---电子感应加速器
(1) 原理
(2) 装置
当磁场强度变化一周期，是否电子都被加速，详细看书 P169
4. 的计算
解：
1)由Ｂ的均匀及柱对称性可知，在同一圆周上Ei的大小相等，方向沿切线方向。
取半径为r的电力线为积分路径，方向沿逆时针方向:
当r＜R时：
当r＞R时：
r
15
2）沿1/4圆周将单位正电荷从a→b，Ei作功
沿3/4圆周Ei作功
2）r＞R，磁场外Ei≠0。
3）A1/4ab≠ A3/4ab
即:Ei作功与路径有关——非保守场
结论：
16
例4.在例3中,如图放入一边长为l 的正方形导体回路oabc。
求：1）回路各边的感应电动势； 2) i总；
3）回路内有静电场吗？
若有哪点（c与a）电势高。
解：
1）
同理：
2） i总= ab+ bc
或：
注：根据对称性：1），2）的计算可以倒过来进行。
17
3）有静电场！在哪里。
ab= bc会使
正电荷在c点，
聚集而a点有
负电荷积累
Uac=Ua – Uc=  i –  IiRi
结论一致
或:
Uaoc=Ua – Uc
=0 –  IiRi
< 0
18
解：
取半径为r,厚度为dr的圆筒,其电动势
其上电阻为：
总电流：
产生的热功率：
20
§3.5 互感与自感
1.互感
(1) 互感系数
在L2中产生感应电动势
——互感电动势e12
反之: L2中i2的变化，也将在L1中产生互感电动势e21。
L1中的电流i1变化
L2中12的变化
引起
由图可见， e12， e21不仅与另一线圈的电流变
化有关，而且还与它们的相对位置有关。
——线圈中两种典型的电磁感应
一导体回路的电流变化，在另一回路中产生
感应电动势~~互感电动势。
若两线圈的相对位置确定:
设的L1电流为i1，在L2中产生的磁通匝链数为12。
则
同理可得:
Mij是比例系数——互感系数，简称互感。
可证明给定的一对导体回路：M12= M21=M =/i
单位: 亨利（H）
物理意义：
单位电流的磁场在另一线圈产生的y。
互感电动势：
两回路的位置有关
Mij与
线圈的几何形状及介质m有关
当 M=常数：
（2）互感的计算
解：
分析:
很难
算出！
圆环中: y12 =B1p r2 = mon i1pr2
设螺线管通有i1，则B1= m0ni1。
例9. 长直螺线管单位长度上有n 匝线圈，另一半径为r
的圆环放在螺线管内, 环平面与管轴垂直。求M？
注：
1o 原则上可对任一线圈产生磁场计算另一线圈的磁
通量 y  M =y /i。
2o 互感在电工和无线电技术中应用广泛
如:变压器，互感器……
互感往往也是有害的……
但很多实际问题中M很难算出。
2.自感
(1) 自感电动势
回路中 i 变化→B变化→ 变化
L~~自感系数或自感。
自= L
当L=常量：
可见， L总是阻碍回路自身电流的变化。
取决于回路的大小、形状、匝数以及
“－”表示L的方向，
i
1º
回路里 di/dt  0  L。
直流电路在ON、off
开关的瞬间才出现L。
2º
L大， L大→阻碍电路变化的阻力大；
L小， L小→阻碍电路变化的阻力小。
∴ L~~对电路“电磁惯性”的量度。
结论：
3º
L的定义:
(2) 自感L的计算
解：
设螺线管通有I 的电流,
则管内磁场为 B=nI
管内全磁通:
 =N
=NBS
=N nIS
= n2 I lS
V=lS
注：
除线圈外，任何一个实际电路都存在电感，输电线相当于单匝回路，回路上有分布电感。
解：
如图，设导线中有电流I。
单位长度上的磁通量：
r
dr
(3) LR电路
由一自感线圈L，电阻R，与电源 组成电路。
求：电键K接a上一段时间后，又接到b上，回路
里 i 的变化。
K→a，i↗I，L上产生L ,反抗 i 增加。
总= +L。
即： +L=iR
积分可得：
C为积分常数。
由初始条件：t=0, i=0, 则C= －  /R。
K
L
① t→，
② t=L/R
令 = L/R，i 从0 →0.63I 所需时间。
 大，L大，i 增长慢，L 阻力大，电磁惯性大！
 小，L小，i 增长快 ，L 阻力小, 电磁惯性小！
=0.63I
=I
时间常数
<
讨论
i→I 后，K →b。
（相当于电路加了阶跃电压 → 0）
自感电动势将使电流维持一段时间。
积分可得：
由初始条件：t =0，i = /R =I。
即：去掉电源时，电流仍按指数递减，
递减快慢仍由=L/R来表征。
t= 时，i=0.37I
 大，i 衰减慢。
 小，i衰减快。
L
得：C= /R
1º LR电路在阶跃电压的作用下，电流不能突变，
=L/R 标志滞后时间。L有平稳电流作用。
2º 自感在电工及无线电技术中应用很广泛，
但在大自感电路里也是有害的。
磁场的能量
1. LR电路中的能量转换
储存自感 L中
能 量
当电流以di/dt >0变化时，电流变化di，
电源克服L作功为dA ：
dA= –Ldq
= –Lidt
0
I
储存
电路在建立稳定电流的过程中，
电源力克服自感电动势 L作功。
电流稳定后，去掉电源，
电流i 从I→0，eL作功，释放
存在线圈内的能量，把能量
传给电阻，以热能形式散发：
2. 磁能与磁能密度
以长直螺线管为例：
已知，长螺线管n、l、S、I。
由上可得，通有电流I的自感线圈中储能：
类比电能存在电场中，可认为，磁能储存在磁场中。那么，Wm→ 磁场（B、H），如何联系？
∵管内为均匀磁场，单位体积储存的能量为：
以上结论对任意形式的磁场都成立。
磁场强度
一般地，非均匀场：
在例1.中已求得：
3. 磁能与自感系数
若已知L→
反之，已知Wm → L 。
1）
单位长度受力
解：
F
> 0
2）
能量从何而来！
导线移动时，会产生感应电动势ei。而要维持I不变，电源力必须克服eL作功，从而将外电源的能量转变为磁能增量和磁力作功两部分。以下作出定量证明：
外电源克服eL作功，则eL作负功。
0
能量守恒
Wm→L
解：设电缆通有电流I，
则两圆柱面间的磁场为：
例14.一矩形金属线框，边长为a、b (b足够长)，线框质量为m,自感系数为L, 电阻忽略，线框以初速度v0 沿x轴方向从磁场外进入磁感应强度为B0 的均匀磁场中,求:矩形线圈在磁场内的速度与时间的关系式 v=v(t) 和沿 x 轴方向移动的距离与时间的关系式 x=x(t)
解法一：线圈的一部分进入
磁场后，线圈内有
动，自。
联立
方程的通解：
解法二：
2 互感磁能
两个线圈在建立电流的过程中，电源的电动势除了供线圈产生焦耳热和抵抗自感电动势外，还要抵抗互感电动势做功，总功A为：
和自感情形一样，这部分额外功也以磁能的形式存储起来，一旦电流终止，这部分能量便通过互感电动势做功表现出来，由此，两个线圈除了有自感磁能外，还存储另一部分能量
注意：
自感磁能不可能是负的，但是互感磁能不一定，可为正也可以为负`
由此，两个相邻线圈所存储的总的能量
改写成对称形式
推广到更普遍的情形
END