算 法 案 例辗转相除法与更相减损术
(第一课时)
1、求两个正整数的最大公约数
（1）求25和35的最大公约数
（2）求49和63的最大公约数
2、求8251和6105的最大公约数
所以，25和35的最大公约数为5
所以，49和63的最大公约数为7
辗转相除法, 又名“欧几里德算法”（Euclidean algorithm）乃求两数之最大公因数算法。它是已知最古老的算法, 其可追溯至前300年。它首次出现于欧几里德的《几何原本》中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。它并不需要把二数作质因数分解
欧几里德
辗转相除法（欧几里得算法）
观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程
第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=6105×1+2146
结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。
第二步 对6105和2146重复第一步的做法6105=2146×2+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。
为什么呢？
思考：从上述的过程你体会到了什么？
完整的过程
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4+0
例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数
225=135×1+90
135=90×1+45
90=45×2
显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数
显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数
思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？
S1：用大数除以小数
S2：除数变成被除数，余数变成除数
S3：重复S1，直到余数为0
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。
m = n × q ＋ r
用程序框图表示出右边的过程
r=m MOD n
m = n
n = r
r=0?
是
否
思考2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？
《九章算术》——更相减损术
算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。
第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。
例3 用更相减损术求98与63的最大公约数
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减
98－63＝3563－35＝2835－28＝728－7＝21
21－7＝14
14－7＝7
所以，98和63的最大公约数等于7
练习：
课本P45练习第1题