算法初步
1．3　算法案例
1.3.2秦九韶算法和进位制
理解秦九韶算法与进位制的含义和运算．
基础梳理
1．秦九韶计算多项式的方法
f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋an－2xn－2＋…＋a1x＋a0
＝(anxn－1＋an－1xn－2＋an－2xn－3＋…＋a1)x＋a0
＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0
＝……
＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0
例如：已知一个3次多项式为f(x)＝x3－2x2＋x－1，用秦九韶算法求这个多项式当x＝2时的值．
解析：f(x)＝x3－2x2＋x－1
＝(((x－2)x＋1)x－1)＝1.
2．进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值．可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制．现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0～9进行记数．
对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示．比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的．
表示各种进位制数一般在数字右下角加注来表示，如111001(2)表示二进制数，34(5)表示5进制数．
电子计算机一般都使用二进制，下面我们来进行二进制与十进制之间的转化
例如：十进制3的二进制表示方法为________．
3．二进制数111(2)在十进制中表示哪个数？______
4．十进制数是满十进一的原则，同理二进制数是满二进一的原则，要把十进制数9转化为二进制数，常常用如下方式：9＝1×23＋0×22＋0×21＋1×20，因此十进制数9的二进制表示法为＝1001(2)．把十进制数20化为二进制数为(　 　)
A．10000 (2)　　　　　　　B．10100(2)
C．11001(2) D．10001(2)
5．二进制数100001(2)等于十进制数________．
B
11(2)
3.7
5.33
思考应用
1．设f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋……＋a1x＋a0，用秦九韶算法求当x＝x0时f(x0)的值需要算乘法、加法的次数分别为多少？
解析： 用秦九韶算法求当x＝x0时f(x0)的值需要算乘法n次，加法n次．
2．秦九韶算法与直接计算相比较有何优点？
解析：秦九韶算法避免对自变量x单独作幂的计算，而是与系数一起逐次增长幂次，大大节省了乘法的次数，使计算量减小，并且逻辑结构简单，从而可提高计算的精度．
3．如何理解进位制？ k进制数如何转换成十进制数？
解析：进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值．可使用数字符号的个数称为基数，基数为k，即称k进制．k进制需要使用k个数字．k进制转换十进制的方法：先把这个k进制数写成用各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果．
自测自评
1.关于进位制说法错误的是 （）
A.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统
B.二进制就是满二进一，十进制就是满十进一
C.满几进一，就是几进制，几进制的基数就是几
D.为了区分不同的进位制，必须在数的右下角标明基数
D
2．在求高次代数方程根的完整算法时，秦九韶算法要比西方同样的算法(　 　)
A．晚五、六百年 B．早五、六百年
C．早七、八百年 D．晚七、八百年
B
3．下列各数中最小的一个是( )
A．111111(2) B．210(6)
C．1000(4) D．81(8)
4．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4时的值时，V3的值为(　 　)
A．－144 B．－136
C．－57 D．34
B
A
用秦九韶算法求函数值
用秦九韶算法求多项式f(x)＝2x6－3x5＋4x4－x3＋2x2＋x－3，当x＝2时的值．
解析：f(x)＝((((((2x－3)x＋4)x－1)x＋2)x＋1)x－3)
因为V0＝2，V1＝1，V2＝6，V3＝11，V4＝24， V5＝49，V6＝95，
所以f(2)＝95.
跟踪训练
1．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别为(　　 )
A．6,6 B．5,6 C．5,5 D．6,5
A
秦九韶算法的程序框图与程序
设计利用秦九韶算法计算5次多项式f(x)＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0当x＝x0时的值的程序框图．
解析：程序框图如下：
十进制数与二进制数的互化
把十进制数53化为二进制数为(　 　)
A．101101(2) B．110101(2)
C．110001(2) D．100001(2)
解析：法一：(除二取余法)53＝2×26＋1，
26＝2×13＋0,13＝2×6＋1,6＝2×3＋0,
3＝2×1＋1，
1＝2×0＋1；余数由后往前写得110101.
法二：　　　

答案：B
跟踪训练
2．写出将k进制数a转换为十进制数(共有n位)a＝anan－1…a3a2a1(k)＝ank(n－1)＋an－1k(n－2)＋…＋a3k2＋a2k1＋a1k0的算法步骤．
解析：算法步骤：
第一步，输入a，k和n的值．
第二步，将b的值初始化为0，i的值初始化为1.
第三步，b＝b＋ai·ki－1，i＝i＋1.
第四步，判断i>n是否成立．若是，则执行第五步；否则返回第三步．
第五步，输出b的值．
十进制数与其它进制数的互化
把十进制数53化为八进制数为_______．
65(8)
跟踪训练
3．把十进制数53化为五进制数为________．
1．秦九韶算法的优点是能大量减少计算量，对相应的程序框图不作具体要求．
2．进位制是十分重要的知识点，要求掌握不同进位制的转换．
祝
您
学业有成