三角函数
任意角
第 一 单 元
教学目标：1.通过实例的展示，使学生理解角概念推广的重要性，理解正角、零角、负角、象限角、终边相同的角的概念及表示，树立运动变化的观点，并由此认识理解推广后的角概念。
2.正确认识几个角的表示方法。
3.通过类比正角、负角的规定，让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的应用，为今后学习打基础。
1.1.1任意角
教学难点：1.将初中的角推广到任意角、终边相同的角、象限角的集合。
2.用集合表示各种角。
问题提出
1.角是平面几何中的一个基本图形，角是可以度量其大小的.在平面几何中，角的取值范围如何？
2.体操是力与美的结合，也充满了角的概念．2002年11月22日，在匈牙利德布勒森举行的第36届世界体操锦标赛中，“李小鹏跳”——“踺子后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”，震惊世界，这里的转体180度、 转体900度就是一个角的概念.
3.过去我们学习了0°～360°范围的角，但在实际问题中还会遇到其他角．如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体10800”、“转体12600”这样的解说．再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手、机器上的轮盘等，它们按照不同方向旋转所成的角，不全是0°～3600范围内的角.因此，仅有0°～360°范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广.
知识探究（一）：角的概念的推广
在初中角是如何定义的？
定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做角。
顶点
边
边
定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角。
A
B
顶点
始边
终边
思考2：在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转600所形成的角，与按顺时针方向旋转600所形成的角是否相等？
思考3：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？
规定：
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．
如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.
逆时针
顺时针
定义：
正角：按逆时针方向旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角
零角：射线不作旋转时形成的角
任意角
画图表示一个大小一定的角，先画一条射线作为角的始边，再由角的正负确定角的旋转方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注.
思考5：如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？
－120°，450°.
思考6：任意两个角的数量大小可以相加、相减，如 50°＋80°=130°， 50°－80°=－30°，你能解释一下这两个式子的几何意义吗？
以50°角的终边为始边，逆时针（或顺时针）旋转80°所成的角.
思考7：一个角的始边与终边可以重合吗？如果可以，这样的角的大小有什么特点？
k·360°（k∈Z）
知识探究（二）：象限角
思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？
要点
1)置角的顶点于原点
2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
思考2：如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.那么下列各角：-50°，405°，210°,
-200°，－450°分别是第几象限的角？
－450°
思考3：锐角与第一象限的角是什么逻辑关系？钝角与第二象限的角是什么逻辑关系？直角与轴线角是什么逻辑关系？
思考4：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.
思考5：在直角坐标系中，135°角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定是135°吗？
知识探究（三）：终边相同的角
思考1：－32°，328°，－392°是第几象限的角？这些角有什么内在联系？
－32°
－392°
328°
思考2：与－32°角终边相同的角有多少个？这些角与－32°角在数量上相差多少？
思考3：所有与－32°角终边相同的角，连同－32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？
S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
思考4：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？
例1、在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角？
（1）-60°（2）585 °（3） -950 ° 12'
解（1）-60°=-360 °+300°
所以与-60°角终边相同的角是300°角，它是第三象限角。
（2）585°=360°+225°
所以与585°角终边相同的角是225°角，它是第四象限角。
（3）-950°12’ = -3×360°+129°48'
所以与-950°12’ 角终边相同的角是129°48 ’ 角，它是第二象限角。
思考5：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？
x轴正半轴：α= k·360°，k∈Z ； x轴负半轴：α= 180°＋k·360°，k∈Z ；
y轴正半轴：α= 90°＋k·360°，k∈Z ； y轴负半轴：α= 270°＋k·360°，k∈Z .
思考6：终边在x轴、y轴上的角的集合分别如何表示？
终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；终边在y轴上：S={α|α=90°＋k·180°， k∈Z}.
思考7：第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？
第一象限：S={α | k·360°<α<
90°＋k·360°，k∈Z}；
第二象限：S={α | 90°＋k·360°<α<
180°＋k·360°，k∈Z}；
第三象限：S={α | 180°＋k·360°<α<
270°＋k·360°，k∈Z}；
第四象限：S={α | －90°＋k·360°<
α例2　写出终边落在Y轴上的角的集合。
终边落在坐标轴上的情形
00
900
1800
2700
+K · 3600
+K ·3600
+K· 3600
+K· 3600
或3600＋K ·3600
例2　写出终边落在y轴上的角的集合。
解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
S1={β| β=900+K∙3600,K∈Z}
={β| β=900+2K∙1800,K∈Z}
={β| β=900+1800 的偶数倍}
终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为
S2={β| β=2700+K∙3600,K∈Z}
={β| β=900+1800+2K∙1800,K∈Z}
={β| β=900+（2K+1）1800 ，K∈Z}
={β| β=900+1800 的奇数倍}
思考8：如果α是第二象限的角，那么2α、α/2分别是第几象限的角？
90°＋k·360°<α<180°＋k·360°
180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°
45°＋k·180°<α/2<90°＋k·180°
例3：写出与下列各角终边相同的角的集s，
并把S中 适合不等式-3600≤ ＜7200
的元素 写出来
（1） 600
（2）-210
（3）363014’
理论迁移
小结：
1.任意角
的概念
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角
负角：射线按顺时针方向旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
1)置角的顶点于原点
2)始边重合于X轴的非负半轴
2.象限角
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角ａ相同的角
＋K·3600，K∈Z
作业：

P8 习题1-2 ：2.3.