1.2　任意角的三角函数
1.2.2 同角三角函数的基本关系
1．掌握同角三角函数的基本关系式并灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力．
2．灵活运用同角三角函数基本关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法．
基础梳理
同角三角函数的基本关系
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：________＝1；
(2)商的关系：tan α＝________.
2．同角三角函数基本关系的不同变式
sin2α＝________，cos2α＝________，sin α＝________.
1．(1)sin2α＋cos2α　(2)
2．1－cos2α　1－sin2α　tan αcos α
解析：因只有选项C中sin2A＋cos2A＝ ＝1，故选C.
答案：C
思考应用
公式中“同角”的含义是什么？
解析：这里“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使得函数有意义的前提下)关系式都成立．如sin22α＋cos22α＝1成立，但sin2α＋cos2β＝1不成立．
自测自评
1．下列四个命题正确的是(　　)
A．sin2α＋cos2β＝1
B．sin α＝0，且cos α＝－1
C．tan α＝1，且cos α＝－1
D．tan α＝－ ，(α为第二象限角)
解析： 显然当sin α＝0，且cos α＝－1时，sin2α＋cos2α＝1，而在sin2α＋cos2β＝1中，当α＝ ，β＝ 时不成立， 故选B.
答案：B
2．设a<0，角α的终边经过点P(－3a,4a)，那么sin α＋2cos α的值等于(　　)
4．已知sin α＝ ，并且α是第二象限角，求cos α，tan α的值．
如果sin A＝ ，且A为第一象限的角，试求角A的余弦值和正切值．
利用同角三角函数基本关系求值
跟踪训练
1．(邵阳二中2010年期中)已知cos α＝ ，且α是第四象限角，求sin α，tan α的值．
分析：考查三角函数的求值问题．本题(1)(2)中均为sin α，cos α的齐次式，因此可由公式tan α＝ 变形为tan α的表达式，进而代入求解．
有关弦化切的求值问题
点评：将sin α，cos α的齐次式，变形为tan α的表达式，这是一种常用的解题技巧，应该熟练掌握．
跟踪训练
已知sin α＋cos α＝a，求下列各式的值：
(1)sin α·cos α；
(2)sin3α＋cos3α.
分析：考查sin α±cos α、sin α·cos α型问题的求解．
解析： (1)将已知等式平方得1＋2sin α·cos α＝a2，
∴sin α·cos α＝ .
利用sin α±cos α与sin α·cos α之间的关系求值
点评：(1)由sin α＋cos α的值可求sin α·cos α的值，反之亦然；
(2)一般地，知sin α±cos α，sin α· cos α三式中一式的值，便可求另外两式的值．
跟踪训练
化解与证明
证法四：因为sin α＋cos α－1≠0，cos α≠0，所以要证原式成立，只须证
cos α(sin α－cos α＋1)＝(1＋sin α)(sin α＋cos α－1)，
即证cos αsin α－cos2α＋cos α＝sin α＋cos α－1＋sin2α＋sin αcos α－sin α，即证－cos2α＝－1＋sin2α.
上式显然成立，所以原式成立．
点评：(1)注意应用三角函数线比较大小得cos 20°>sin 20°；
(2)sin2x＋cos2x＝1及(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x是常用的技巧．
跟踪训练
分析：考查证明问题，可利用sin2α＋cos2α＝1.也可用作差变形求证．
点评：(1)利用同角三角函数关系式证明时，要熟悉公式，方法有从左至右或从右至左或从两侧同时证明；
(2)sin2α＋cos2α＝1是常用的技巧．同时应注意正切化两弦．
B
1．利用同角三角函数基本关系式求值常有两类题：
一类是已知角α的某个三角函数值，求其它三角函数值．解法是直接利用的三角函数基本关系式求解．
另一类是已知tan α的值，求关于sin α，cos α的齐次分式的值的问题，比如求 的值，因为cos α≠ 0，所以用cosn α除之，将待求式化为关于tan α的表达式，可整体代入tan α＝m的值，从而完成待求式的求值．
2．关于化简与证明．(1)sin2α＋cos2α＝1及(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α是常用的技巧；同时应注意正切化两弦．(2)利用同角三角函数关系式证明时，要熟悉公式，方法有从左至右或从右至左或从两侧同时证明.
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本小节结束