平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
复习
平面向量的数量积
非零向量a与b,它们的夹角为θ, a·b=|a| |b| cosθ
数量积的运算律
已知向量a、b、c和实数λ，则
①a·b=b·a② (λa) ·b=λ(a·b)③(a+b) · c=a ·c+b· c
平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2,使a= λ1 e1+ λ2 e2
设a，b都是非零向量
③|a·b|≤|a||b|
复习
数量积的性质
探究
已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b?
∵a=x1i+y1j, b=x2i+y2j,
∴a·b = (x1i+y1j) ·(x2i+y2j)
= x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2
= x1x2+y1y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
单位向量i, j分别与x轴,y轴方向相同
i· i =_____, j · j=______, i· j=______, j · i =_______.
1
1
0
0
设a =(x，y),则 |a|2= 或|a |= _______
平面内两点间的距离公式
向量的长度(模)
向量平行和垂直的坐标表示式
设a、b为两个向量,且a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，
a⊥b
a·b=0
x1x2+y1y2=0
例题讲解
已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的形状,并给出证明.
∴ △ABC是直角三角形
向量的数量积是否为零,是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法之一
a、b都是非零向量，a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角
例题讲解
设a=(5,-7),b=(-6,-4),求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1°)
解
a·b = 5×(-6)+(-7) ×(-4)
= -30+28
= -2
练习
已知i=(1,0),j=(0,1),与2i+j垂直的向量是[ ]
A. 2i-j B . i-2j
C. 2i+j D . i+2j
已知a=(λ,2),b=(-3,5),且a和b的夹角是钝角,则λ的范围是[ ]
B
A
练习
B
练习
分析：为求a与b夹角，需先求a·b及|a||b|，再结合夹角θ的范围确定其值.
0≤θ≤π
解
记a与b的夹角为θ
又0≤θ≤π
知三角形函数值求角时,应注重角的范围的确定
已知a＝(３,４),b＝(４,３),求x，y的值使(xa+yb)⊥a,且｜xa+yb｜=1.
练习
小结
向量数量积的坐标表示
向量模的计算
平面内两点间的距离公式
向量垂直的充要条件
作业
课本第121页习题2.4A组题6,7,8