3.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程．
2．灵活运用二倍角公式及其不同变形，能正用、逆用公式，进一步树立化归思想方法．
基础梳理
2sinαcosα　cos2α－sin2α　
2cos2α－1　 1－2sin2α
思考应用
1. 公式中的角是否为任意角？
思考应用
2．试应用二倍角的正弦、余弦公式化简并讨论函数 的奇偶性与周期性．
自测自评
分析：本题考查二倍角公式以及弦化切方法的简单应用．
二倍角公式的简单应用
跟踪训练
1．(1)已知 求sin 2α，cos 2α，tan 2α之值．
(2)(2011年江苏卷)已知 的值为________．
已知sinθ＋cosθ= 求 sin 2θ，cos 2θ的值．
利用二倍角公式化简与求值
跟踪训练
已知tan2β＝tan2α＋ 求证 ： cos 2α－2cos 2β＝1.
分析：本题考查利用二倍角公式证明．首先要降幂，然后才可以寻找到二倍角的形式，进而寻找到它们的关系．
利用二倍角公式化简与证明
点评： 有条件的等式证明，常常先观察条件式及欲证式中左右两边的三角函数式的区别与联系，灵活使用条件变形即可得证．
跟踪训练
分析：本题考查利用二倍角公式证明．
(1)直接利用二倍角公式将原式化为的三角函数形式；
(2)首先看分母，利用“1”与三角函数的关系，将已知条件化简后再向右边靠近．
点评： 无条件的等式证明，常用综合法(执因索果)和分析法(执果索因)，证明的形式有化繁为简、左右归一、变更论证等．不论采用什么证明方式和方法，都要认真分析等式两边三角函数的特点、角度和函数关系，找出差异，寻找证明的突破口．
已知α，β∈ ，tan α与tan β是方程x2＋3 x＋4＝0的两根，求α＋β.
分析：本题考查三角函数公式在方程中的应用问题．利用韦达定理求得根与系数的关系代入求解是常用方法之一．
二倍角公式与其他知识的综合问题
跟踪训练
4．在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这个矩形的面积最大？
解析：如右图所示，设∠AOB＝θ，且θ为锐角，半圆的半径为R，则面积最大的矩形ABCD必内接于半圆O，且两边长分别为
|AB|＝Rsin θ，
|DA|＝2|OA|＝2Rcos θ.
则这个矩形的面积为
S矩形ABCD＝|AB|·|DA|＝Rsin θ·2Rcos θ＝R2sin 2θ.
所以，当sin 2θ＝1(θ为锐角)，即θ＝45°时，矩形ABCD的面积取得最大值R2.
答案：当这个矩形的长和宽与半圆的半径的比是2∶1∶时，所截矩形的面积最大．
1．函数y＝cos2x－sin2x的最小正周期是(　　)
解析：∵y＝cos 2x，
∴函数的最小正周期T＝π.
答案：A
2．(2010年广州高一统考)y＝(sin x－cos x)2－1是(　　)
A．最小正周期为2π的偶函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为π的奇函数
1．利用同角三角函数基本关系式求值常有两类题：
一类是已知角α的某个三角函数值，求其它三角函数值．解法是直接利用三角函数基本关系式求解．
另一类是已知tanα的值，求关于sinα，cosα的齐次分式的值的问题，比如求 的值，因为cosα≠0，所以用cosnα除之，将待求式化为关于tan α的表达式，可整体代入tan α＝m的值，从而完成待求式的求值．
2．关于化简与证明：(1)sin2α＋cos2α＝1及2＝1＋ 2sin αcos α是常用的技巧；同时应注意正切化两弦．(2)利用同角三角函数关系式证明时，要熟悉公式，方法有从左至右或从右至左或从两侧同时证明．
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本小节结束