第二节 等差数列及其前n项和
1.等差数列的定义
如果一个数列从①　     起,每一项与前一项的差等于②     ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的③　     ,通常用字母④         表示,定义的表达式为an+1-an=d(n∈N*).
2.等差数列的通项公式
等差数列{an}的通项公式是⑤         .
3.等差中项
如果⑥    A=     ,那么A叫做a与b的等差中项.
第二项
同一个常数
公差
d
an=a1+(n-1)d
c
4.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am+⑦         (n,m∈N*).
(2)若{an}是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则⑧         .
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为⑨        .
(4)若{an},{bn}(项数相同)是等差数列,则{pan+qbn}(p,q是常数)仍是等差数列.
(5)若{an}是等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为⑩         的等差数列.
5.等差数列的前n项和公式
等差数列{an}的前n项和Sn=          或Sn=     na1+     .
(n-m)d
ak+al=am+an
2d
md
c
c
6.等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn= n2+ n.
数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A、B为常数).
7.等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则Sn存在最 　     值;若a1<0,d>0,则Sn存在
最 　     值.
 
1.在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6= (　    )
A.-1　    B.0　    C.1　    D.6
大
小
答案    B　设数列{an}的公差为d,由a4=a2+2d,a2=4,a4=2,得2=4+2d,d=-1,∴
a6=a4+2d=0.故选B.
2.若等差数列{an}的前5项之和S5=25,且a2=3,则a7= (　    )
A.12　    B.13　    C.14　    D.15
 答案    B　由S5= ⇒25= ⇒a4=7,所以7=3+2d⇒d=2,所以
a7=a4+3d=7+3×2=13,故选B.
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a4=6,则S5等于 (　    )
A.10　    B.12　    C.15　    D.30
 答案    C    S5= = =15,故选C.
4.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有 (　    )
c
c
A.a1+a101>0　    B.a2+a100<0
C.a3+a99=0　    D.a1=51
 答案    C　∵S101=0,∴S101= ·101=0,∴a1+a101=a2+a100=a3+a99=0.故
选C.
5.已知等差数列{an}中,a5+a9-a7=10,记Sn=a1+a2+…+an,则S13的值为　　　    .
 答案    130
 解析　由a5+a9-a7=10可得2a7-a7=a7=10,由等差数列前n项和公式可得S13=
 =13a7=130.
c
c
等差数列的基本运算
典例1    (1)(2015课标Ⅰ,7,5分)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10= (　    )
A. 　    B. 　    C.10　    D.12
(2)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于 (　    )
A.8　    B.10　    C.12　    D.14
(3)(2013课标全国Ⅰ,7,5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m= (　    )
A.3　    B.4　    C.5　    D.6
 答案    (1)B    (2)C    (3)C
c
解析    (1)由S8=4S4得8a1+ ×1=4× ,解得a1= ,∴a10=a1+9d=
 ,故选B.
(2)∵S3= =3a2=12,∴a2=4.
∵a1=2,∴d=a2-a1=4-2=2.
∴a6=a1+5d=12.故选C.
(3)解法一:∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,
∴am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,
∴公差d=am+1-am=1,
由Sn=na1+ d=na1+ ,
得 
由①得a1= ,代入②可得m=5.
解法二:∵数列{an}为等差数列,且前n项和为Sn,
∴数列  也为等差数列.
∴ + = ,
即 + =0,
解得m=5,经检验为原方程的解.故选C.
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题.
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中可起到变量代换作用,a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用解题方法.
1-1　设Sn为等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=　　　    .
 答案　-72
 解析　设等差数列{an}的公差为d,
由已知,得 解得 
∴S16=16×3+ ×(-1)=-72.
1-2　已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.
c
解析    (1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.
因为a1=1,a3=-3,所以1+2d=-3,解得d=-2,
则an=1+(n-1)(-2)=3-2n(n∈N*).
(2)由(1)知an=3-2n,则Sn= =2n-n2.
由Sk=-35,得2k-k2=-35,即k2-2k-35=0,
解得k=7或k=-5.又k∈N*,所以k=7.
等差数列的性质及应用
典例2    (1)等差数列{an}中,a1+a7=26,a3+a9=18,则数列{an}的前9项和为 
(　    )
A.66　    B.99　    C.144　    D.297
(2)设数列{an},{bn}都是等差数列.若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=　　　    .
(3)等差数列{an}的前m项和为30,前3m项和为90,则它的前2m项和为　　        .
 答案    (1)B    (2)35    (3)60
 解析    (1)由a1+a7=2a4=26,得a4=13.
由a3+a9=2a6=18,得a6=9.
c
∴S9= = =99.故选B.
(2)∵(a1+a5)+(b1+b5)=2(a3+b3)=42,
∴a5+b5=42-7=35.
(3)由Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,
可得2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m,
即S2m= = =60.
一般地,运用等差数列的性质可以化繁为简、优化解题过程.但要注意性质运用的条件,如m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq,该性质的运用条件是序号之和相等、项数相同.
2-1　已知等差数列{an}的公差为2,项数是偶数,所有奇数项之和为15,所有偶数项之和为25,则这个数列的项数为 (　    )
A.10　    B.20　    C.30　    D.40
 答案    A　设项数为2n,公差为d,则S偶-S奇=nd=2n=25-15=10,故选A.
2-2　设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知前6项和为36,最后6项的和为180,Sn=324(n>6),则n=　　　    .
 答案    18
 解析　由题意知a1+a2+…+a6=36, ①
an+an-1+an-2+…+an-5=180, ②
①+②得(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216,∴a1+an=36,
c
c
c
等差数列的判定与证明
典例3　若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1= .
(1)求证: 是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
 解析    (1)证明:当n≥2时,由an+2SnSn-1=0,
得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,又易知Sn≠0,所以 - =2,
又 = =2,故 是首项为2,公差为2的等差数列.
(2)由(1)可得 =2n,∴Sn= .
c
当n≥2时,an=Sn-Sn-1= - = =- .
当n=1时,a1= 不适合上式.
故an=
证明一个数列为等差数列的基本方法有两种:一是定义法,证明an-an-1=d(n≥2,d为常数);二是等差中项法,证明2an+1=an+an+2.若证明一个数列不是等差数列,则可以举反例,也可以用反证法.
3-1　已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3·a4=117,a2+
a5=22.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn= ,是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列?若存
在,求出c的值;若不存在,请说明理由.
 解析    (1)设等差数列{an}的公差为d,则d>0,
由等差数列的性质,得a3+a4=a2+a5=22,
所以a3,a4是关于x的方程x2-22x+117=0的解,所以a3=9,a4=13,易得a1=1,d=4,
故an=1+(n-1)×4=4n-3.
(2)解法一:存在.由(1)知Sn= =2n2-n,所以bn= = (c≠0).
c
c
处理等差数列前n项和的最值问题的常用方法:
(1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项;(2)将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质求解.
4-1　若将本例中的条件“a1=29,S10=S20”改为“a1>0,S5=S12”,如何求解?
 解析　解法一:由S5=S12得5a1+10d=12a1+66d,即d=- a1<0.
所以Sn=na1+ d=na1+ · 
=- a1(n2-17n)=- a1 + a1,
因为a1>0,n∈N*,所以当n=8或n=9时,Sn有最大值.
解法二:同解法一得d=- a1<0.
c
设此数列的前k项和最大,则 
即 
解得 即8≤k≤9,
又k∈N*,所以k=8或9,
所以当n=8或n=9时,Sn有最大值.
解法三:同解法一得d=- a1<0,
由于Sn=na1+ d= n2+ n,
设f(x)= x2+ x,则函数y=f(x)的图象为开口向下的抛物线,
由S5=S12知,抛物线的对称轴为x= = ,
易知当1≤n≤8时,Sn单调递增;当n≥9时,Sn单调递减,且S8=S9,所以当n=8或n=9时,Sn最大.
 4-2　若将本例中的条件“a1=29,S10=S20”改为“a3=12,S12>0,S13<
0”,如何求解?
 解析　因为a3=a1+2d=12,所以a1=12-2d,
因为 所以
c
解得- 故公差d的取值范围为 .
解法一:由d<0可知{an}为递减数列,
因此,在1≤n≤12中,必存在一个自然数n,使得an≥0,an+1<0,
此时对应的Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.
由于 因此a7<0,a6>0,
因此S6最大.
解法二:由d<0可知{an}是递减数列,
令 可得 
由- 所以5.5