3.1 不等关系与不等式
我们用数学符号“≠”，“>”，“<”，“≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式.
思考一下什么是不等式？
作差→变形→判断符号→确定大小.
作差比较法其一般步骤是:
例．比较x2－x与x－2的大小.
解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2 =(x－1)2+1，
因为(x－1)2≥0，
所以(x2－x)－(x－2)>0，
因此x2－x>x－2.
比较两个数(式)的大小的方法:
（2）变形
（4）结论
小结：作差法的步骤：（1）作差→（2）变形→（3）定号→（4）结论
其中，变形的方法有：配方法；因式分解法；分子有理化等。
（1）作差
（3）判号
1．两个实数比较大小关系
在数学问题中经常要遇到比较大小问题，其方法有两个，一是作差比较法；二是作商比较法．
要点阐释
(2)作商比较法的前提条件是两个正数的大小比较，特别适合一些指数幂式子的大小比较，它是将两个正数(或式子)作商，并由“商”与1的大小关系而得到两个数的大小．
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性质1:如果a>b,那么bb.即
性质2:如果a>b,b>c,那么a>c.即
性质3:如果a>b,那么a+c>b+c.即
性质4:
如果a>b,c>0,那么ac>bc.
如果a>b,c<0,那么ac不等式的性质
性质5:如果a>b,c>d, 那么a+c>b+d.
性质6:如果a>b>0,c>d>0, 那么ac>bd.
性质7:如果a>b>0, 那么an>bn,(n∈N,n≥1).
加法法则
乘法法则
乘方法则
开方法则
不等式的性质
运用性质
倒
数
性
质
例1 已知a＞b＞0，c＜0，
求证: .
课本练习3
2．利用不等式性质判断不等关系
要点阐释
特别提醒：
(1)同向不等式不能相减．
(2)异向不等式不能相加．
(3)两边同乘或除以一个负数，不等 式要反向．
(4)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd与a>b，c>d⇒/ ac>bd易混淆，其中，应注意它们的区别，前一个各项为正，后一个没有正负，故不成立．
答案：D
答案：C
例1.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍, 写出满足上述所有不等关系的不等式.
假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根。
根据题意，应当有什么样的不等式呢？
(3)截得两种钢管的数量都不能为负.
(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm
的钢管数量的3倍；
(1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm；
分析：
应用1：用不等式（组）表示不等关系
例1.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍, 写出满足上述所有不等关系的不等式.
假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根。
根据题意，应当有什么样的不等式呢？
(3)截得两种钢管的数量都不能为负.
(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm
的钢管数量的3倍；
分析：
应用1：用不等式（组）表示不等关系
例1.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍, 写出满足上述所有不等关系的不等式.
假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根。
根据题意，应当有什么样的不等式呢？
(3)截得两种钢管的数量都不能为负.
分析：
应用1：用不等式（组）表示不等关系
例1.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍, 写出满足上述所有不等关系的不等式.
假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根。
根据题意，应当有什么样的不等式呢？
分析：
x≥0,y≥0
数学应用1：用不等式（组）表示不等关系
例1.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍, 写出满足上述所有不等关系的不等式.
上面三个不等关系，是“且”的关系，要同时满足的话，用不等式组表示：
分析：
x≥0,y≥0
应用1：用不等式（组）表示不等关系
考虑到本例的实际意义，还应有x,y∈N
例1.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍, 写出满足上述所有不等关系的不等式.
上面三个不等关系，是“且”的关系，要同时满足的话，用不等式组表示为：
x,y∈N
应用1：用不等式（组）表示不等关系
找量、分析量与量之间的关系
找关键词
建立不等式模型的步骤为：
提炼总结
审题
设量
列不等式（组）
不等式的基本原理
例2．比较x2－x与x－2的大小.
解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2 =(x－1)2+1，
因为(x－1)2≥0，
所以(x2－x)－(x－2)>0，
因此x2－x>x－2.
（2）变形
（4）结论
小结：作差法的步骤：（1）作差→（2）变形→（3）定号→（4）结论
其中，变形的方法有：配方法；因式分解法；分子有理化等。
（1）作差
（3）判号
基本原理的应用：比较两个数(式)的大小
基本原理的应用
作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→定号→结论.
性质1:（对称性）
性质2:（传递性）
性质3:（可加性）
性质4:（可乘性）
不等式的性质
性质5（同向可加性）如果a>b,c>d, 那么a+c>b+d.
性质6（同向可乘性）如果a>b>0,c>d>0, 那么ac>bd.
性质7:（乘方性）如果a>b>0, 那么an>bn,(n∈N,n≥1).
性质运用
课本练习3
性质运用