不等式
第三章
世界上工程师建造了很多美妙绝伦的建筑，其中很多工程师打破了对称美的传统形式，利用不等关系与不对称美的思想设计了无数的经典之作．不等关系是客观世界中广泛存在的一个基本关系，各种类型的不等式在现代数学的各个分支及其应用中起着十分重要的作用．
本章，我们将学习不等关系的一些基本规律和一些相关的数学模型，例如：基本不等式，线性规划等，并利用它们解决一些简单的实际问题．
知识线索：本章的主要内容有不等关系、一元二次不等式、基本不等式、线性规划及其简单应用等基础知识．
不等式始终贯穿在整个中学教学之中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数的定义域、值域的确定，三角、数列、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切关系．能够运用不等式的性质，定理和方法分析解决有关函数的性质，方程实根的分布的问题，解决涉及不等式的应用问题和转化为不等式的其他数学问题．
§1　不等关系
第三章
购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.1m(含1.1m)而不超过1.5m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超1.5m时应买全价票．每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．从数学的角度，应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？
1.在数学意义上，不等关系体现的几个方面．
(1)____________之间的不等关系；
(2)____________之间的不等关系；
(3)____________之间的不等关系；
(4)____________之间的不等关系．
常量与常量
变量与常量
函数与函数
一组变量
2．两数(式)大小比较的常用方法
a>b
aa＝b
a>b
a>
>
>
>
>
1.设xA．x2ax>a2
C．x2a2>ax
[答案]　B
[答案]　B
[答案]　B
[解析]　A项不能传递下去，C项不满足倒数不等式的条件，D项只有a>b>0时才成立．故选B．
[答案]　D
5．已知x≤1，f(x)＝3x3，g(x)＝3x2－x＋1，则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)________g(x)．
[答案]　≤
[解析]　f(x)－g(x)＝3x3－(3x2－x＋1)
＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)，
∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1>0，
∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.
∴f(x)≤g(x)．
某钢铁厂要把长度为4 000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式．
[分析]　应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000mm；②截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．
用不等式表示不等关系
[方法总结]　用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：
①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量；
②列不等关系．列出待求量具备哪些不等关系(即满足什么条件)；
③列不等式(组)．挖掘题意，建立已知量和待求量之间的关系式，并分析某些变量的约束条件(包含隐含条件)．
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？
不等式的基本性质
其中真命题的个数是(　　)
A．2　　　　　　 B．3
C．4　 D．5
[答案]　C
[解析]　①c的正、负或是否为零未知，因而判断ac与bc的大小关系缺乏依据，故该命题是假命题．
②由ac2>bc2知c≠0，所以c2>0，所以a>b，
故该命题是真命题．
[方法总结]　通过本例，可以使我们熟悉不等式的基本性质，更好地掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．
[答案]　×　×　√　√
运用作差法比较大小
已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
设a>0，b>0且a≠b，试比较aabb与abba的大小．
[分析]　根据同底数幂的运算法则，可考虑作商比较法．
运用作商法比较大小
比较1816与1618的大小．
[分析]　已知的两个不等式为异向不等式，所以必定要转化为同向不等式，才能用不等式的基本性质；已知不等式为整式，而要证的不等式为分式，所以必定要两边同除以一个不为0的数(或同乘以一个数的倒数)．
证明不等式
[方法总结]　本题的难点在于寻找由已知证结论的合理“线路”，而要寻找到合理“线路”，就要消灭已知与结论的差异(已知为整式，结论为分式)，统一形式，因此可以倒推，把结论中的不等式变形为整式，以启发思路．
应用不等式的性质讨论范围