3．2　一元二次不等式及其解法
1．从实际问题中，抽象出一元二次不等式模型．理解一元二次不等式及其解集的概念．
理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三个二次之间的关系．
2．进行数形结合思想、函数与方程的思想等数学思想方法的训练．
1．一元二次不等式的概念．
我们把只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式叫做 ．
使一元二次不等式成立的 叫做一元二次不等式的解集．
一元二次不等式
未知数的取值范围
2．一元二次不等式的解法．
一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式：
(1)ax2＋bx＋c＞0(a＞0)；
(2)ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．
上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过方程ax2＋bx＋c＝0的根确定．设△＝b2－4ac，则：
③△＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式(1)的解集为R；不等式(2)的解集为．
对于二次项系数是负数(即a＜0)的不等式，可以先依据不等式的性质把二次项系数化成正数，再参照上述两种形式求解．
也可以直接参照a＞0的情形画出图象，对比图象上的正负值区间写出解集．
3．一元二次不等式的解集、一元二次方程的根、二次函数图象三者之间的关系如下表：
5．一元高次不等式的解法(数轴标根法)．
(1)将不等式通过移项分解因式化为f(x)＝a(x－x1)(x－x2)…(x－xn)＞0(或＜0)的形式，其中xk(k＝1,2……n)是方程的n个不同的根，且每个因式中x的系数为1.
(2)将n个不同的根标在数轴上，然后穿线．穿线时从轴上最右边一个根开始，由x轴上方向下穿过第一个根然后向左依次自下而上，自上而下画一条曲线连续穿过n个根．
(3)数轴上方的曲线对应区间就是f(x)＞0的解集；数轴下方的曲线对应区间就是f(x)＜0的解集．
(4)如果分解因式后有重根，则“奇过偶不过”，即乘方指数是奇数的画线时穿过x轴，乘方指数是偶数的，画线时到此根对应x 轴上点后返回，不穿过去．
重点：(1)一元二次不等式的解法，函数与方程的思想，数形结合的思想．
(2)从实际问题中抽象一元二次不等式模型．通过图象讨论一元二次不等式的解法，培养数形结合思想．
难点：(1)三个二次之间的关系．
(2)分式不等式向整式不等式转化．
③含绝对值号的不等式，可分段去掉绝对值号讨论，也可采用两边平方法，应据题目特点选取方法．
④高次不等式一般分解因式后用标根法解决．
⑤解不等式组，要利用数轴与图象的直观，熟练运用集合的交、并运算．
2．“≥”是“＞”与“＝”的组合体，相应解集是不等式解集与方程解集的并集．
3．解一元二次不等式的步骤：
①对相应一元二次方程的根的情况作出判断，有根的求出根．
②画相应二次函数的简图，与x轴有交点的将根值标上．
③根据图象写出一元二次不等式的解集．
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，和二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)及ax2＋bx＋c＜0(a＞0)三者之间的关系为：
从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在x轴上方部分的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在x轴下方部分的点的横坐标x的集合．
从方程观点来看，一元二次方程的根是二次函数与x轴交点的横坐标，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，就是大于大根，或者小于小根的实数的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是大于小根，且小于大根的实数的集合．
关键是二次函数的零点，就是相应二次方程的根．也是相应二次不等式的解集的分界点．ax2＋bx＋c＞0的解集就是y＝ax2＋bx＋c的函数值为正值的区间．ax2＋bx＋c＜0的解集就是y＝ax2＋bx＋c的函数值为负值的区间．使y＝0的是方程的根，使y>0(或y＜0)的是不等式的解集．
5．解一元二次不等式的程序框图如下(一元二次不等式为标准形式ax2＋bx＋c＞0，其中a≠0)：
6．不等式的解集要用集合表示．(包括区间)
7．借助现代信息技术画图，观察图象上任一点纵坐标变化情况，直观理解．
[例1]　求函数y＝x2＋x－2的零点．并回答当x取何值时y＞0，当x取何值时y＜0?
[解析]　令y＝0即x2＋x－2＝0，∴x＝1或x＝－2，∴此二次函数的零点为1和－2；作出函数y＝x2＋x－2的图象可见：
当x＜－2或x＞1时，y＞0；当－2＜x＜1时，y＜0.
合作探究
使不等式3x2＋2x＞2－3x成立的x的取值范围是________．

[分析]　由例1知，移项后，使一边为二次函数，另一边为0，就可以利用二次函数的正负值找出y>0和y<0对应的x的取值范围，也就是不等式的解集．
(1)不等式9x2－6x＋1＞0的解集为________．
(2)不等式x2－4x＋5＜0的解集为________．
(2)∵Δ＝－9＜0，方程x2－4x＋5＝0无实数解，函数y＝x2－4x＋5的图象是开口向上的抛物线，与x轴无交点，所以不等式的解集为Ø.
[点评]　1.通过上述几例可知，当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般分为三步：(1)确定方程ax2＋bx＋c＝0的根；(2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；(3)由图象得出不等式的解集．
2．二次函数的简图在草纸上可不画y轴，画示意图以提高解题速度.
[例2]　解不等式－2x2＋x＋1＜0.
[分析]　按照例1的解法，可先求出方程的根，再结合图象写出解集，也可以先把二次项系数化为正数求解．
[点评]　一般地，对于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取类似a＞0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．
不等式－x2＋4x－4＞0的解集为________．
[答案]　∅
[解析]　不等式可化为x2－4x＋4＜0，
∵x2－4x＋4＝(x－2)2≥0，∴不等式解集为∅.
合作探究
已知一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则a＝________，b＝________.
[分析]　由于一元二次不等式解集的分界点是相应二次方程的两根．所以解答就从这个关系入手．
[解析]　由于ax2＋bx＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，所以二次函数y＝ax2＋bx＋1(a≠0)的图象是开口向下的抛物线，且与x轴交于两点(－2,0)，(1,0)．所以，－2和1是方程ax2＋bx＋1＝0的两根，由韦达定理，得
[点评]　注意知识之间的内在联系.
[例3]　解关于x的不等式：0≤x2－x－2≤4.
[分析]　上述不等式含有两部分：x2－x－2≥0和x2－x－2≤4，因此原不等式的解集是这两部分解集的交集．
[解析]　先解x2－x－2≥0，
∵方程x2－x－2＝0的根为x1＝－1，x2＝2，函数y＝x2－x－2的图象开口向上，
∴x2－x－2≥0的解集为{x|x≤－1，或x≥2}．
再解x2－x－2≤4，
不等式化为x2－x－6≤0，方程x2－x－6＝0的两根为x3＝－2，x4＝3，函数y＝x2－x－6的图象开口向上，
∴x2－x－6≤0的解集为{x|－2≤x≤3}．
所以原不等式的解集为{x|x≤－1，或x≥2}∩{x|－2≤x≤3}＝{x|－2≤x≤－1，或2≤x≤3}．
[例4]　某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？
解这个不等式得，3.75≤x≤6.25，
A市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5.
故在3.75小时后，A市会受到台风的影响，时间长达2.5小时．
汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速40km/h以内的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场测得甲车的刹车略超过12m，乙车的刹车略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？
[解析]　要分清谁是应付主要责任者，就需分析行车速度，要弄清速度问题，就要利用刹车距离函数与实测数据，构建数学模型，由题意列出不等式
甲：0.1x＋0.01x2＞12
乙：0.05x＋0.005x2＞10
∵x＞0，∴解得x甲＞30 km/h，x乙＞40 km/h，经比较知乙车超过限速，应付主要责任．
[例5]　解关于x的不等式56x2＋ax－a2＜0.
[答案]　A
[例7]　解不等式：2x3＋x2－5x＋2＞0
[答案]　A
[答案]　B
[答案]　A
4．(2010～2011·内蒙古田家炳中学高二期中)已知集合A＝{x|x2＋2x－3<0}，解集B＝{x|x－a<0}，若A⊆B，则a的取值范围是(　　)
A．a≤1 B．a≥1
C．a<1 D．a>1
[答案]　B
[解析]　A＝{x|－3二、填空题
5．已知集合A＝{x|x2－x－6＞0}，B＝{x|0＜x＋a＜4}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．
[答案]　1≤a≤2
6．二次不等式ax2＋(1－2a)x＋a＋1＞0的解集为R的条件是________．
7．不等式(x2－4)(x－6)2≤0的解集是________．
[答案]　{x|－2≤x≤2或x＝6}
[解析]　当x＝6时，(x2－4)(x－6)2≤0成立；
当x≠6时，(x－6)2＞0，∴不等式等价于x2－4≤0，
∴－2≤x≤2.
∴原不等式的解为－2≤x≤2或x＝6.
9．不等式0≤x2－2x－3＜5的解集为________．
[答案]　{x|－2＜x≤－1或3≤x＜5}
[解析]　由x2－2x－3≥0得：x≤－1或x≥3；
由x2－2x－3＜5得－2＜x＜4，
∴－2＜x≤－1或3≤x＜5.
10．若关于x的不等式mx2－mx＋1＜0的解集不是空集，则m的取值范围是________．
[答案]　(－∞，0)∪(4，＋∞)
[解析]　当m＝0时，1<0不成立，∴m≠0；当m<0时，抛物线y＝mx2－mx＋1开口向下，∴不等式mx2－mx＋1<0的解集一定不是空集；当m>0时，要使解集非空，应有Δ＝m2－4m>0，∴m>4，综上知不等式mx2－mx＋1<0的解集不是空集时m＜0或m＞4.