第一章 整式的乘除
（单元复习）
希望同学们:
用知识改变自己的命运，用学习成就自己的未来，用拼搏实现自己的梦想，进而实现我们大家的“中国梦”！
复习目标：
1．梳理知识，形成知识网络，能说出本章的知识要点及其联系，进一步熟悉整式的乘除运算。
2．通过整式的乘除运算，让学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程，发展学生的符号感和应用意识，树立数学建模思想，提高应用数学思想方法解决问题的能力。
3．会借助图形的面积验证一些代数恒等式，体会数形结合思想，感受数学与现实生活的密切联系。
第一章 单元复习课
一、整式乘除中的运算法则
1.同底数幂的乘法的运算性质.
同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即，
am·an＝am＋n (m，n都是正整数).
(1)底数必须相同.
(2)适用于两个或两个以上的同底数幂相乘.
2.幂的乘方.
幂的乘方，底数不变，指数相乘.即：
(am)n＝amn(m，n都是正整数).
3.积的乘方.
积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即，(ab)n＝anbn(n是正整数).
4.同底数幂的除法的运算性质.
同底数幂相除，底数不变，指数相减.即
am÷an＝am－n (a≠0,m，n都是正整数，m＞n).
(1)底数必须相同.(2)适用于两个或两个以上的同底数幂相除.
5.零指数幂.
因为am÷am＝1，又因为am÷am＝am－m＝a0,所以a0＝1.其中a≠0.即：任何不等于0的数的零次幂都等于1.
对于a0：(1)a≠0.(2)a0＝1.
6.单项式与单项式相乘.
把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变,作为积的因式.
7.单项式与多项式相乘.
就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
8.多项式与多项式相乘.
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
9.平方差公式.
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，
即(a+b)(a-b)=a2-b2.
10.完全平方公式.
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)这两数积的2倍,即(a±b)2=a2±2ab+b2.
11.单项式相除.
把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
12.多项式除以单项式.
先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.
二、整式乘除法则的比较
1.同底数幂的乘法与除法比较.
注：(1)同底数幂相乘(相除)时，对于底数可以是一个数，一个单项式，还可以是一个多项式.
(2)同底数幂相除时，因为零不能作除数，所以底数不能为0.
2.幂的乘方与积的乘方比较.
注：(1)同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方要区分开，避免用错公式.
(2)公式中的“a”“b”可以是单项式，也可以是多项式.
(3)对于幂的乘方，当有三重幂时也适用此性质.
(4)对于积的乘方，积中有三个或三个以上的因式时也适用此性质.
3.整式的乘法.
注：(1)对于含有负号的式子乘方时易出现符号错误.
(2)单项式乘以单项式时容易漏乘只在一个单项式中所含有的字母.
(3)单项式与多项式相乘，漏乘多项式中的常数项.
(4)对“项”的理解存在偏差，误认为项不包括系数的符号，计算时符号出错.
4.乘法公式.
注：(1)公式中的a，b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式.
(2)完全平方公式可以用口诀记忆：首平方，尾平方，首尾乘积2倍在中央.
(3)完全平方公式常用的变形有以下几种：
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab.
(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2).
(a+b)2-(a-b)2=4ab.
这几种变形在计算求值、代数式变形中有着广泛的应用，要熟练掌握.
5.整式的除法.
注：(1)单项式除以单项式漏掉某个同底数幂或只在被除式中出现的字母.
(2)多项式除以单项式时漏项造成错误.
幂的运算
【相关链接】
幂的运算包括同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘方及零指数幂和负整指数幂的运算,它是整式运算的基础，如单项式乘单项式的实质就是同底数幂的乘法.幂的运算是中考命题热点之一，常以选择题、填空题的形式出现.
【例1】(2012·淮安中考)下列运算正确的是( )
(A)a2·a3=a6 (B)a3÷a2=a
(C)(a3)2=a9 (D)a2+a3=a5
【思路点拨】根据幂的运算法则计算各个选项→得出结论
【自主解答】选B.因为a2·a3=a5 ，故A错 ；因为(a3)2=a6 ，故C错；D中a3和a2不是同类项,不能合并，故D错.
灵活应用：
1、若am=3,an=5,则am-n=_____
2、计算(0.2)2012 x 52013=_____
3、已知a2-b2=30,a-b=6,则
a+b=_____
4、计算(x+y)2(x-y)2
学以致用
有一位狡猾的地主，把一块边长为a米的正方形土地租给赵老汉耕种。隔了一年，他对赵老汉说：“我把你这块地的一边减少6米，另一边增加6米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”赵老汉一听，觉得好像没有吃亏，就答应了。同学们，你们觉得赵老汉有没有吃亏？为什么？
乘法公式
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乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，即(a+b)(a-b)=a2-b2和(a±b)2=a2±2ab+b2.这类公式是简便计算整式乘法的有利工具，也是我们继续学习新知识的基础.解决此类问题的关键是把握公式的结构特征，准确应用.
【例2】(2012·佛山中考)如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为4，则另一边长为_____.
【思路点拨】根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解.
【自主解答】设拼成的长方形的另一边长为x，
则4x=(m+4)2-m2=(m+4+m)(m+4-m)，
解得x=2m+4.
答案：2m+4
整式的运算
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整式的运算包括整式的加减、乘除、幂的运算等.解决此类问题的关键是严格按运算顺序计算，即：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，应先算括号里面的.
【例3】(2012·嘉兴中考)计算：(x+1)2-x(x+2).
【教你解题】
确定运算顺序
按照法则运算
计算最后结果
先乘方、再乘除、最后加减
原式=(x2+2x+1)-(x2+2x) =x2+2x+1-x2-2x
1
【命题揭秘】
结合近几年中考试题分析，整式的考查有以下特点：
1.命题内容以幂的运算和化简求值为主，有时也会出现考查整式的有关概念的题目.幂的运算命题形式以选择题为主，而整式的化简求值通常以解答题的形式出现.
2.命题的热点为幂的运算法则的考查以及整式的运算及进行整式的化简和求值.
1.计算-(-3a2b3)4的结果是( )
(A)81a8b12 (B)12a6b7
(C)-12a6b7 (D)-81a8b12
【解析】选D.-(-3a2b3)4=-(-3)4a8b12=-81a8b12.
2.(2012·内江中考)下列计算正确的是( )
(A)a2+a4=a6 (B)4a+3b=7ab
(C)(a2)3=a6 (D)a6÷a3=a2
【解析】选C.A，B两个选项中，不是同类项的幂根本不能相加；C选项是幂的乘方的应用，是正确的；D选项根据同底数幂的除法法则，应该是a6÷a3=a3,所以正确结果是C.
3.(2012·南宁中考)芝麻作为食品和药物，均被广泛使用，经测算，一粒芝麻约有0.000 002 01千克，用科学记数法表示为( )
(A)2.01×10-6千克 (B)0.201×10-5千克
(C)20.1×10-7千克 (D)2.01×10-7千克
【解析】选A.0.000 002 01=2.01×0.000 001=2.01×10-6.
4.计算a3b2÷ab2=____.
【解析】a3b2÷ab2=(a3÷a)(b2÷b2)=a2.
5.
（1） (1－3y )( 1+3y )( 1+9y2）
（2） ( ab+1)2－ ( ab－1)2
5.(a-3b+2c)(a+3b-2c)=(_____)2-(____)2.
【解析】(a-3b+2c)(a+3b-2c)
=［a-(3b-2c)］［a+(3b-2c)］
=a2-(3b-2c)2.
答案：a 3b-2c
6.(2012·潍坊中考) 如图中每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：1+3+5+7+…+(2n-1)=____(用n表示，n是正整数)
【解析】因为1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42，所以1+3+5+7+…+(2n-1)=n2.
答案：n2
7.先化简，再求值：(4ab3-8a2b2)÷4ab+(2a+b)(2a-b),其中a=1,b=2.
【解析】原式=b2-2ab+4a2-b2
=-2ab+4a2,
当a=1,b=2时，-2ab+4a2=-2×1×2+4×12
=-4+4=0.
【归纳整合】在化简求值的运算中，要注意必须先化简再求值，化简在整个题目中所占的分值比较重，而化简一般是整式的混合运算,应注意其运算顺序.
8.(2012·杭州中考)化简：2［(m-1)m+m(m+1)］［(m-1)m-m(m+1)］.若m是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表示一个什么数？
【解析】2［(m-1)m+m(m+1)］［(m-1)m-m(m+1)］，
=2(m2-m+m2+m)(m2-m-m2-m)
=-8m3，原式=(-2m)3，表示3个-2m相乘.
9.(2012·宁波中考)用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：

(1)第5个图形有多少颗黑色棋子？
(2)第几个图形有2 013颗黑色棋子？请说明理由.
【解析】(1)第1个图形需棋子6颗，
第2个图形需棋子9颗，
第3个图形需棋子12颗，
第4个图形需棋子15颗，
第5个图形需棋子18颗，
…
第n个图形需棋子3(n+1)颗.
答：第5个图形有18颗黑色棋子.
(2)设第n个图形有2 013颗黑色棋子，
根据(1)得3(n+1)=2 013，
解得n=670，
所以第670个图形有2 013颗黑色棋子.