第七章 平行线的证明
《数学》(北师大.八年级 上册)
7. 5.1三角形内角和定理
你还记得上节课学过的常见公理及证明、证明的步骤吗？
2. 线段公理：两点之间线段最短。
公理：人们在长期实践中总结出的大家公认为正确的道理, 叫做公理。
想一想
1.直线公理：两点确定一条直线。
3.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
4.垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
5.平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
6. 三角形全等的判断公理：SAS ASA SSS。
9.全等三角形性质公理：对应角相等，
对应边相等。
10：等式的有关性质和不等式的有关性质
都可以看作公理
在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这一性质也看作公理,称为“等量代换”.
其它公理
证明的一般步骤：
第一步：分析条件、结论，画出图形．
第二步：根据条件、结论、结合图形，写出 已 知、求证。
　 第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，
第四步：结合图形，写出证明过程．
证明：运用学过的公理、定理、定义、性质,
用推理的方法判定一个命题是真命题的过程叫证明
同学们，你们知道其中的道理吗？
问题1
命题：三角形的三个内角和是180°
你能验证这个命题吗？你还记得这个结论的探索过程吗?
演示
下一页
三角形的三个内角和是多少?
方法一: 将各角沿着某一条直线折叠
验证：三角形的三个内角和是180°
图1
图2

图3
A
B
C
A
A
B
B
C
C
(2)根据前面的公理和定理,
你能用自己的语言说说这
一结论的证明思路吗?你能
用比较简捷的语言写出
这一证明过程吗?.

结论：三角形的内角和等于1800.
证明：过点A作EF∥BC
∴ ∠B=∠2（两直线平行,内错角相等）
同理∠C=∠1
∵∠2+∠1+∠BAC=1800（平角定义）
∴ ∠B+∠C+∠BAC=1800（等量代换）
已知：如图，△ABC.
求证：∠A +∠B +∠C =180°
E F
如果一个图形是三角形
那么这个三角形三个内角和是180
E F
这里EF称为辅助线, 通常画成虚线.
∵ EF∥BC
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上自己加上的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。注意要说明所加辅助线的位置、名称和性质。
思路总结：
为了证明三角形三个内角的和为180°,通常应用转化思想。转化为：
平角或利用两直线平行，同旁内角互补
结论：三角形的内角和等于1800.
∴ ∠B+∠BAC +∠C =180°
（等量代换）
已知：△ABC.
求证：
∠A +∠B +∠C =180°
证明：过点A作AE∥BC，
则∠B=∠1(两直线平行,内错角相等)
∵∠1+∠BAC+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
已知:如图6-9,△ABC.
求证:∠A+∠B+∠C=1800.
证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,
你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?.
∴ ∠1=∠A(两直线平行,内错角相等),
∴ ∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等).
又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义),
∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换).
分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样,就相当于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置.
这里的CD,CE称为辅助线,辅助线通常画成虚线.
结论:三角形的内角和是180°
.
∵ CE∥AB,
开启 智慧
你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗？
添加辅助线思路：1、构造平角2、构造同旁内角
… …
三角形内角和定理
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.
△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.
∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:
∠A=1800 –(∠B+∠C).
∠B=1800 –(∠A+∠C).
∠C=1800 –(∠A+∠B).
∠A+∠B=1800-∠C.
∠B+∠C=1800-∠A.
∠A+∠C=1800-∠B.
这里的结论,以后可以直接运用.
应用篇
已知：三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数。
解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x,
x+3x+5x=180°
解得　　x=20°
所以三个内角度数分别为
20°,60°,100°。
例题
由三角形内角和为180°得
3、如图，直线AB∥CD,在AB、CD外有一点P，连结PB、PD，交CD于E点。则∠ B、∠ D、∠ P 之间是否存在
一定的大小关系？
A
B
C
P
D
E
他们是怎样的，并加以证明？
证明：因为 AB ∥CD
（
1
（
2
所以 ∠1 + ∠ B =1800
(两直线平行，同旁内角互补）
因为∠2+ ∠P +∠D=1800
（三角形内角和定理）
∠1= ∠2 （对顶角相等）
所以∠ B=∠P +∠D (等量代换）
证明：因为 AB ∥CD
因为∠2+ ∠P +∠D=1800
（三角形内角和定理）
3、如图所示，AD、BC相交于O点，若∠A＝35°， ∠B＝56°， ∠D＝46°，则∠C的度数是（ ）
A、 31°
B、 45°
C、 41°
D、 76°
A
B
O
C
D
这种图形称、“又”字型
结论：∠A +∠B =∠C+∠D
B
闯关规则：每一关设置一道题，听到教师口令后再举手抢答（答对有奖哦）！准备好了吗？
智勇大闯关
下面将请出快乐男生王栎鑫与我们一起进入今天的闯关练习。
练习2.如图，求A1+A2+A3+A4+A5的度数。
拓广探究
第一关
你真棒！！
如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E+ ∠F的
度数。
A
B
C
D
E
F
第二关
1
3
2
你太聪明了！！！
思维拓展：
1、（1）如图(甲)，在五角星图形中，求
∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数。
（2）把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的五角之和与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？
A
E
第三关
相等
你真是太聪明了，不可思议啊
在△ABC中,如果BC不动,把点A“压”向BC,那么当点A越来越接近BC时, ∠A就越来越大(越来越接近1800),而∠B和 ∠C,越来越小(越来越接近00).由此你能想到什么?
如果BC不动,把点A“拉离”BC,那么当A越来越远离BC时,∠A就越来越小(越来越接近00),而∠B和∠C则越来越大,它们的和越来越接近1800, 当把点A拉到无穷远时,便有AB∥AC,∠B和∠C成为同旁内角,它们的和等于1800.由此你能想到什么?
第四关
你太神了，我太崇拜你了，
回顾与小结
本节课里你学到了什么？？？
1、三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等于180 °
2、通过思考、探究、去总结三角形内角和的定理，并且发现要证明三角形三个内角的和等于180 °需
转化为：平角或两直线平行同旁内角和等于180°。
3、三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质是通过平行线来移动角。
教科书P180习题7.6第1、2、3、4题．
布置作业
谢谢！
再见！