第三节 圆周角和圆心角的关系(一)
第三章 圆
回顾与思考
如图1 ,∠AOB是 角。
如图2 , AB=CD ,则∠AOB与∠COD的大小关系是： 。
B
A
O
C
D
圆心
相等
用心想一想，马到功成
在射门游戏中，球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关。
用心想一想，马到功成
如图，当他站在B，D，E的位置射球时,对球门AC的张角的大小相等吗？
你能观察到这三个角有什么共同特征吗?
用心想一想，马到功成
为解决这个问题我们先来研究一种角。
观察图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？
用心想一想，马到功成
观察图中的∠ABC，可以发现，它的顶点在圆上，它的两边分别与圆还有另一个交点。像这样的角，叫做圆周角。
请同学们考虑两个问题：
（1）顶点在圆上的角是圆周角吗？
（2）角的两边都和圆相交的角是圆周角吗？
为解决这个问题，我们先回答下面的问题。
下列各图形中的角是不是圆周角？请说明理由。
A
B
C
D
E
由圆周角的定义可知，只有C是圆周角，其它都不是。
你能总结出圆周角的特征吗？
圆周角有两个特征：
①角的顶点在圆上；
②两边在圆内的部分是圆的两条弦。
用心想一想，马到功成
我们再来研究圆周角的性质。
为了解决这个问题，我们先研究一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间的关系。
请同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周角。
用心想一想，马到功成
归纳同学们的意见我们得到以下几种情况。
①∠ABC的一边BC经过圆心O。
②∠ABC的两边都不经过圆心O。
③∠ABC的两边都不经过圆心O。
请问∠ABC与∠AOC它们的大小有什么关系？说说你的想法，并与同伴进行交流。
下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况，即∠ABC的一边BC经过圆心O。
∵ ∠AOC是△ABO的外角，
∴ ∠AOC=∠ABO+∠BAO。
∵ OA=OB，
∴ ∠ABO=∠BAO。
∴ ∠AOC=2∠ABO，
如图,我们可以观察到∠AOC是△ABO的外角，∠ABC是△ABO的一个内角，它们两者存在一定关系.
下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况，即∠ABC的一边BC经过圆心O。
∵ ∠AOC是△ABO的外角，
∴ ∠AOC=∠ABO+∠BAO。
∵ OA=OB，
∴ ∠ABO=∠BAO。
∴ ∠AOC=2∠ABO，
那么当∠ABC的两边都不经过圆心O时，∠ABC与∠AOC又有怎样的大小关系呢？
我们可以考虑把这两种情况分别转化成刚才的特殊情形来考虑。
也就是借用直径，连接BO并延长，与圆相交于点D。
D
（此时我们得到与图①同样的情形）
如图，连接BO并延长，与圆相交于点D。（此时我们得到与图①同样的情形）
D
如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图①同样的情形）
D
如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图①同样的情形）
D
认真观察，探求结果
通过对三种情形的证明，同学们再认真观察图形，你会得到什么结果？
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 。
一半
一题多变
如图，在⊙O中，∠BOC=50°，
则∠BAC= 。
25°
一题多变
如图，在⊙O中，∠BOC=50°，
则∠BAC= 。
变化题2：如图，∠BAC=40°，则∠OBC= 。
变化题1：如图，点A，B，C是⊙O上的三点， ∠BAC=40°，则∠BOC= 。
25°
50°
80°
由∠BAC=40°可得∠BOC=80°，再由△BOC是等腰三角形可求得∠OBC。
开拓创新 试一试
如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ AOB=2∠ BOC，
∠ ACB与∠ BAC的大小有什么关系？为什么？
请同学们认真观察∠AOB与∠ACB，∠BOC与∠BAC的关系。
答：∠ACB=2∠BAC.理由是:
∵∠AOB=2∠ACB
∠BOC=2∠BAC
∠AOB=2∠BOC
∴2∠ACB =2（2∠BAC）
∴∠ACB=2∠BAC
大胆尝试，练一练！
由∠BCD=100°，我们可求出对应的圆心角∠1是200° ，则∠BOD就可求。
解：∵∠BCD=100°
∴∠1=200°
∴∠BOD=360°－200°=160°
大胆尝试，练一练！
解：∵∠BCD=100°
∴∠1=200°
∴∠BOD=360°－200°=160°
观察∠BOD与∠BAD的关系就可以求∠BAD的大小。
课内拓展延伸
1.到目前为止,我们学习到和圆有关的角有几个?它们各有什么特点?相互之间有什么关系?
答:和圆有关的角有圆心角和圆周角.圆心角顶点在圆心;圆周角顶点在圆上，角的两边和圆相交。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
谢谢合作!