图
形
计
数
图形计数【关键词】分类
【例1】数一数，图中共有多少条线段？
题目不难，但怎么才能避免多数或是少数呢？
【分类】我们把要数的图形按照一定的规律分分类，然后分别去数每一类有多少个，最后把每一类的数字加到一块，这样就能不重复、不遗漏。
【例1】数一数，图中共有多少条线段？
解：（1）以A为端点的线段有：6条；
（2）以B为端点的线段有：5条；
（3）以C为端点的线段有：4条；
（4）以D为端点的线段有：3条；
（5）以E为端点的线段有：2条；
（6）以F为端点的线段有：1条；
因此，共有线段：6+5+4+3+2+1=21（条）.
【例2】数一数，下图中有多少个角？
O
解：（1）以OA为一边的角有：3个；
（2）以OB为一边的角有：2个；
（3）以OC为一边的角有：1个；
因此，共有角：3+2+1=6（个）.
【随堂练习1】数一数，图中共有几个角？
解：9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（个）.
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【例3】数一数，下图中有（ ）个三角形。
观察图，我们发现有的三角形是由单块图形组成的，有的是由两块或是四块图形组成的。这样，我们可以如下分类。
解：（1）单块三角形：2个；
（2）两块组成的三角形：3个；
（3）四块组成的三角形：1个。
因此，一共有2+3+1=6（个）三角形。
【记住】要养成先分类再数数的好习惯。这样就能不遗漏、不重复，稳稳地把题目算出来。
【例4】数一数，图中共有（ ）个三角形。
有时候复杂的问题我们一时看不清楚，就需要简化一下。
比如，先去掉中间的线段，图形如下：
用分类的方法，
（1）一块图形的三角形有6个；
（2）两块图形的三角形有5个；
（3）三块图形的三角形有4个；
。。。。。。
（6）六块图形的三角形有1个.有三角形6+5+4+3+2+1=21（个）.
【例4】数一数，图中共有（ ）个三角形。
上面三条粗线围起来的图形也是21个三角形。
下面三条粗线围起来的图形是6个三角形。
所以，一共有三角形：21+21+6=48（个）.
【例5】数一数，下图中有多少个长方形？
解法一：
（1）单块长方形：4个；
（2）两块组成的长方形：4个；
（3）四块组成的长方形：1个；
因此，总共有4+4+1=9（个）.
【例5】数一数，下图中有多少个长方形？
解法二：
长被分成2段，宽被分成2段，所以一共有（2+1）×（2+1）=9（个）长方形。
【随堂练习2】数一数，图中共有多少个长方形？
解法一：（1）单块长方形：10个； （2）两块组成的长方形：13个；
（3）三块组成的长方形：6个；（4）四块组成的长方形：8个；
（5）五块组成的长方形：2个；（6）六块组成的长方形：3个；
（7）八块组成的长方形：2个；（8）十块组成的长方形：1个
因此，总共有10+13+6+8+2+3+2+1=45（个）.
【随堂练习2】数一数，图中共有多少个长方形？
解法二：
长被分成5段，宽被分成2段，所以一共有
（5+4+3+2+1）×（2+1）=45（个）长方形。
【例6】含有☆的正方形有（ ）个。
解：（1）含有☆的单个小正方形：1个；
（2）含有☆，四个小正方形组成的正方形：4个；
（3）含有☆，九个小正方形组成的正方形：1个；
因此，含有☆的正方形总共有1+4+1=6（个）.
【例7】数一数，图中共有几个小正方体木块。
【分层数】
解：第一层：4个；
第二层：4+1=5个；
一共有4+5=9个小正方体木块。
【随堂练习3】数一数，下图中有多少个正方体？
解：
第一层：1个；
第二层：1+3=4个；
第三层：4+5=9个；
第四层：9+7=16个；
一共有1+4+9+16=30个小正方体木块。
【例8】在一块画有2×3方格网的木板上钉了12颗钉子，以钉子为顶点，用橡皮筋能围成（ ）个正方形。
解：（1）单个正方形：6个；
（2）四个小正方形组成的正方形：2个；
想象一下，把那些线都去掉，只留下钉子，除了按照前面两种用横线、竖线围正方形的方法，还能不能想出其他方法呢？
【例8】在一块画有2×3方格网的木板上钉了12颗钉子，以钉子为顶点，用橡皮筋能围成（ ）个正方形。
右图用线标出了另外两个正方形。
所以，答案是：6+2+2=10（个）.
【随堂练习4】下面有20个点，每相邻的两个点之间距离都相等，将四个点用直线连起来可以得到一个正方形。用这样的方法，你可以得到（ ）个正方形。
解：（1）单个正方形：12个；
（2）四个小正方形组成的正方形：6个；
（3）九个小正方形组成的正方形：2个；
（3）单个格子的斜正方形：6个；
（4）两个格子的斜正方形：4个。
一共有正方形：
12+6+2+6+4=30（个）.
收获
【知识点总结】
数线段规律：一条直线上如果有n个点，那么线段总数为1+2+3+⋯+（n−1）.
线段的总条数等于从1开始的连续自然数之和，这个连续自然数中最大的数是线段中所有端点（包括线段最边上的两个端点）数减1，同时也是基本线段的条数。
数角规律：角的个数等于从1开始的连续自然数之和，这个连续自然数中最大的数是射线的条数减1，同时也是基本角的个数。
数三角形规律：数三角形时，可以简化成数有共同顶点的角的个数，或是数公共底边上线段的条数。
收获
【知识点总结】
数长方形规律：一个规则的长方形图形（由m行、n列构成），它的长方形总数为（1+2+3+⋯+m）×（1+2+3+⋯+n）.
数正方形规律：对于n行n列（n×n）的大正方形来说，正方形的总数为1×1+2×2+3×3+⋯+n×n.
【作业1】数一数，下列各图中有多少个三角形？
（1）解：2+1=3.
（2）解：4+4=8.
（3）解：3+1+1=5.
【作业1】下图中共有14个正方形，请你都找出来。
解：（1）单个小正方形：9个；
（2）四个小正方形组成的正方形：4个；
（3）九个小正方形组成的正方形：1个；
因此，正方形总共有9+4+1=14（个）.
【作业7】数数一数，下列图中各有多少个小正方体木块？
（1）解：从上往下数：
第一层：1个；
第二层：1+2=3个；
第三层：3+3=6个；
共有小正方形木块：1+3+6=10个.
上一层的基础，加上本层看得见的
（2）解：从上往下数：
第一层：2个；
第二层：2+2=4个；
第三层：4+2=6个；
共有小正方形木块：2+4+6=12个.
【作业14】把下面的大正方体的表面涂上红色，沿着线把它锯成小正方体。想一想，3面红色的小正方体有几个？2面红色的有几个？1面红色的有几个？没有红色的有几个？
内容
【作业15】一列火车从石家庄开往上海，中间要停靠6个车站。这条铁路上有多少条不同的路段？
解：7+6+5+4+3+2+1=28（条）.
石家庄 1 2 3 4 5 6 上海
【思考一下】一列火车从石家庄开往上海，中间要停靠6个车站。铁路公司需要为这条线路准备多少种车票？
解：（7+6+5+4+3+2+1）×2=56（种）.