小学奥数举一反三
(三年级)
第1讲 找规律
一、知识要点
按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如自然数列：1，2，3，4，……双数列：2，4，6，8，……我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填写空缺的数。
按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，那么就可以知道其余所有的数。寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。善于发现数列的规律是填数的关键。
二、精讲精练
【例题1】
在括号内填上合适的数。
（1）3，6，9，12，（ ），（ ）
（2）1，2，4，7，11，（ ），（ ）
（3）2，6，18，54，（ ），（ ）
【思路导航】

在（1）列数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为：12+3=15、15+3=18。
在（2）列数中，第2个数比第1个数增加1，第3个数比第2个数增加2，第4个数比第3个数增加3……故空格里面的两个数分别为：11+5=16，16+6=22。
在（3）列数中，相邻的两个数的积都是3，即每一个数乘以3都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为：54×3=162、162×3=486。
【练习1】

在括号内填上合适的数。
（1）2，4，6，8，10，（ ），（ ）
（2）1，2，5，10，17，（ ），（ ）
（3）2，8，32，128，（ ），（ ）
（4）1，5，25，125，（ ），（ ）
【例题2】

先找出规律，再在括号里填上合适的数。
（1）15，2，12，2，9，2，（ ），（ ）
（2）21，4，18，5，15，6，（ ），（ ）
【思路导航】

在（1）列数中，通过观察可以发现这是分为单数和双数两个不同的数列。其中双数列都为2，而单数列是前数比后数大3，根据这一规律，括号里应填的数为：9-3=6、2。
在（2）列数中，通过观察可以发现这也是分为单数和双数两个不同的数列。其中单数列是前数比后数大3，双数列都是后数比前数大1，根据这一规律，括号里应填的数为：15-3=12、6+1=7。
【练习2】

按规律填数。
（1）2，1，4，1，6，1，（ ），（ ）
（2）3，2，9，2，27，2，（ ），（ ）
（3）18，3，15，4，12，5，（ ），（ ）
（4）1，15，3，13，5，11，（ ），（ ）
（5）12，1，10，1，8，1，（ ），（ ）
【例题3】

根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。

1、
2、
【思路导航】

经仔细观察、分析表格中的数可以发现：
1、每一列下面的数与上面的数的差均为4，即9-5=4，14-10=4；11-7=4，16-12=4；13-9=4。依此规律，空格中应填的数为：14+4=18。
2、左下角数与右上角数的商与上面数的乘积即为中间数。如8÷2×4=16； 8÷4×7=14。依此规律，空格中应填的数为： 4÷3×9=12。
【练习3】

找出排列规律，在空缺处填上适当的数。

1、

2、
第2讲 有余除法
一、知识要点
把一些书平均分给几个小朋友，要使每个小朋友分得的本数最多，这些书分到最后会出现什么情况呢？一种是全部分完，还有一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的人数少，否则还可以继续分下去。每次除得的余数必须比除数小，这就是有余数除法计算中特别要注意的。
解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知，就可以确定除数，然后再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被除数。
在有余数的除法中，要记住：（1）余数必须小于除数；（2）被除数＝商×除数＋余数。
二、精讲精练
【例题1】

[ 　]÷6＝8……[ 　]，括号内被除数最大是几？最小是几？
【思路导航】

已知商为8、除数为6，则余数最大为5、最小为1，即可求出最大的被除数为6×8＋5＝53，最小的被除数为6×8＋1＝49
答：被除数最大是53，最小是49。
【练习1】

(1)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。[ 　]÷8＝3……[ 　]
(2)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。[ 　]÷4＝7……[ 　]
(3)下题中要使除数最小，被除数应为________。 [ 　]÷[ 　]＝12……4
【例题2】

算式[ 　]÷[ 　]＝8……［ 　］中，被除数最小是几？
【思路导航】

题中只告诉我们商是8，要使被除数最小，那么只要除数和余数小就行。除数最小为2，余数最小为1，那么被除数则为8×2＋1＝17。
【练习2】

(1)下面算式中，被除数最小是几？
①[ 　]÷[ 　]＝4……［　　］
②[ 　]÷[ 　]＝7……［　　］
③[ 　]÷[ 　]＝9……［　　］
(2)下面算式中商和余数相等，被除数最小是几？
①[ 　]÷[ 　]＝3……［　　］
②[ 　]÷[ 　]＝6……［　　］
【例题3】

算式28÷[ 　]＝[ 　]……4中，除数和商分别是______和______。
【思路导航】

根据“被除数＝商×除数＋余数”，可以得知“商×除数＝被除数－余数”，所以本题中商×除数＝28－4＝24。这两个数可能是1和24，2和12，3和8，4和6，又因为余数为4，则除数不得小于4，因此除数可以是24，12，8，6,商分别为1，2，3，4。
答：除数和商分别是24，1；12，2；8，3；6，4。
【练习3】

（1）下面算式中，除数和商各是几？
①22÷[ 　]＝[ 　]……4
②65÷[ 　]＝[ 　]……2
③37÷[ 　]＝[ 　]……7
④48÷[ 　]＝[ 　]……6
（2）149除以一个两位数，余数是5,请写出所有这样的两位数。
【例题4】

算式[ 　]÷7＝[ 　]……[ 　]中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？
【思路导航】

题目中告诉我们除数是7，商和余数相等，因为余数必须比除数小，所以余数和商可为1，2，3，4，5，6。这样被除数就可以求出来了。
7×1＋1＝8 7×2＋2＝16 7×3＋3＝24
7×4＋4＝32 7×5＋5＝40 7×6＋6＝48

答：被除数可以是8，16，24，32，40，48。
【练习4】

(1) 下列算式中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？
①[ 　]÷6＝[ 　]……[ 　]
②[ 　]÷5＝[ 　]……[ 　]
③[ 　]÷4＝[ 　]……[ 　]
(2)算式[ 　]÷9＝[ 　]……[ 　]中，商和余数相等，被除数最大是____。
(3)算式[ 　]÷[ 　]＝[ 　]……4中，除数和商相等，被除数最小是几？
第3讲 配对求和
一、知识要点
被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出了1+2+3+4+……+99+100的结果。小高斯是用什么办法算得这么快呢？原来，他用了一种简便的方法：先配对再求和。
数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用以下关系式：
等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
末项＝首项＋公差×（项数－1）
项数＝（末项－首项）÷公差＋1
二、精讲精练
【例题1】

你有好办法算一算吗？
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（　　　　）
【思路导航】

很容易看出这是一个等差数列，公差为1，首项是1，末项是10。依据前面的公式：
项数＝（末项－首项）÷公差＋1
（10－1）÷1＋1＝10
等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
（1+10） ×10 ÷2 ＝ 55
答：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝（　55　）
【练习1】

速算。
（1） 1+2+3+4+5+……+20
（2）1+2+3+4+……+99+100
（3） 21+22+23+24+……+100
（4）21+23+25+27+29+31+33
（5） 312+315+318+321+324
【例题2】

有一堆木材叠堆在一起，一共是10层，第1层有16根，第2层有17根，……下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根？
【思路导航】

这也是一个等差数列，公差为1，首项是16，项数是10。依据前面的公式：
项数＝ （末项－首项）÷公差＋1
末项＝（项数－1） ×公差＋首项
末项＝（10 －1 ） ×1 ＋16＝25
等差数列的和＝ （首项＋末项）×项数÷2
（16＋ 25） ×10 ÷2 ＝ 205

答：这堆木材共有205根。
【练习2】

（1）体育馆的东区共有30排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个座位，……这个体育馆东区共有多少个座位？
（2）有一串数，第1个数是10，以后每个数比前一个数大4,最后一个数是90，这串数连加的和是多少？
（3）有一个钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，……十二点钟敲12下，分钟指向6敲1下，这个钟一昼夜敲多少下？
【例题3】

计算1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-81
【思路导航】

这题相对较复杂些。仔细观察，上列可以变成如下：
1000 － （11 ＋12 ＋ 13＋ 14＋15 ＋16 ＋17 ＋18 ＋ 19＋ 81＋82 ＋ 83＋ 84＋ 85＋ 86＋ 87＋ 88）
括号里有两个等差数列。一个数列的首项是11，末项是19；另一数列的首项是81，末项是88，公差均为1。项数分别为9，8。依据前面的公式：等差数列的和＝ （首项＋末项）×项数÷2
两列数的和分别为：（11＋ 19） ×9 ÷2 ＝ 135
（81＋ 88） ×8 ÷2 ＝ 676
则1000 －（135 ＋676） ＝189
【练习3】

（1）1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1

（2）1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-87-17-88-18-89-19

（3） 2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16
第4讲 加减巧算
一、知识要点
在进行加减运算时，为了又快又好，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一些巧算的方法。加减法的巧算主要是运用“凑整”的方法，把接近整十、整百、整千的数看做所接近的数进行简算。
进行加减巧算时，凑整之后，对于原数与整十、整百、整千……相差的数，要根据“多加要减去，少加要再加，多减要加上，少减要再减”的原则进行处理。另外，可以结合加法交换律、结合律以及减法的性质进行凑整，从而达到简算的目的。
二、精讲精练
【例题】
你有好办法迅速算出结果吗？
502+799-298-98
【思路导航】

按照“凑整”的方法，502+799-298-98可变为：
500+2+800-1-（300 -2）-（100-2）
=500+800-300-100+2-1+2+2
=900+6-1
=905
【练习】

（1） 308+203-399-97
（2） 99999+9999+999+99+9
（3） 1999+199+19
（4） 375+483+525+617
第5讲 图形个数
一、知识要点
同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形……那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。
要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。
二、精讲精练
【例题1】

数出下图中有多少条线段？
【思路导航】

方法一：我们可以采用以线段左端点分类数的方法。以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD 3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD 2条；以C点为左端点的线段有：CD 1条。所以，图中共有线段3+2+1=6（条）。
方法二：把图中线段 AB、BC、CD看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成的线段有：AB、BC、CD 3条；由2条基本线段构成的线段有:AC、BD 2条；由3条基本线段构成的线段有：AD 1条。所以，图中一共有3+2+1=6（条）线段。
【练习1】

（1）数出下图中有多少条线段？


（2）数出下图中有几个长方形？
【例题2】

数出图中有几个角？
【思路导航】

数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。
方法一：以OA为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD 3个；以OB为一边的角还有：∠BOC、∠BOD 2个；以OC为一边的角还有：∠COD 1个。所以，图中共有角3+2+1=6（个）。
方法二：把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看做基本角来数，那么，由1个基本角构成的角有：∠AOB、∠BOC、∠COD 3个；由2个基本角构成的角有: ∠AOC、∠BOD 2个；由3个基本角构成的角有：∠AOD 1个。所以，图中一共有3+2+1=6（个）角。
【练习2】

数出图中有几个角？

（1） （2）
【例题3】

数出下图中有几个三角形？
【思路导航】

方法一：我们可以采用按边分类数的方法。以PA为边的三角形有：△PAB、△PAC、△PAD、3个；以PB为边的三角形还有：△PBC、△PBD 2个；以PC为边的三角形还有：△PCD 1个。所以，图中共有三角形3+2+1=6（个）。
方法二：我们发现，要数出图中三角形的个数，只需数出线段 AD中包含几条线段就可以了，即3+2+1=6（个）。所以图中共有6个三角形。
【练习3】

数出图中共有多少个三角形？

（1） （2）
【例题4】

数出下图中有多少个长方形？
【思路导航】

数图中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长、宽两对线段围成，线段 CD上有3+2+1=6（条）线段，其中每一条与AC中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽，这里共有6×1=6（个）长方形，而AC上共有2+1=3（条）线段也就有6×3=18（个）长方形。
它的计算公式为：
长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数
（3+2+1）×（2+1）=18（个）
答：图中共有18个长方形。
【练习4】

（1）数出下图中有多少个长方形？





（2）数出右图中有多少个正方形？
【例题5】

有5个同学，每两个人握手一次，一共要握手多少次？
【思路导航】

这道题可以用数线段的方法来解答。根据题意，画出线段图，每一个端点代表一个同学。


从上图可以看出，第1个同学要与其余4个同学握手共握手4次；第2个同学还要与其余3个同学握手共握手3次，第3个同学要与其余2个同学握手共握手2次；第4个同学还要与最后1个同学握手共握手1次。
所以，一共要握手4+3+2+1=10（次）
【练习5】

（1）银海学校三年级有9个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要拔河几次？


（2）有1，2，3，4，5，6，7，8等8个数字，能组成多少个不同的两位数？
第6讲 植树问题
一、知识要点
爸爸给晶晶出了一道题：“小朋友们植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了9棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？”晶晶随口答道：“27米。”同学们，晶晶答对了吗？
这一类应用题我们通常称为“植树问题”。解答这类问题的关键是要弄清总距离、间隔长和棵数三者之间的关系。解答植树问题先要考虑植树的方式，一般在不封闭的线路上植树，棵数＝总距离÷间隔长＋1；在封闭的线路上植树，棵数＝总距离÷间隔长。
另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来解答。比如锯木头、爬楼梯问题等等，这时解题的关键是要将题目中的条件和问题与植树问题中的“总距离”、“间隔长”、“棵数”对应起来。
二、精讲精练
【例题1】

小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了9棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？
【思路导航】

要得出正确的结果，我们可以画出如下的示意图：


根据“已经植了9棵”，从图中可以看出，第一棵树和第九棵树之间的间隔是9-1=8（个），每个间隔是3米，所以第一棵和第九棵相距3×8=24（米），具体列式如下：
3×（9-1） =3×8=24（米）
答：第一棵和第九棵树相距24米。
【练习1】

（1）在路的一侧插彩旗，每隔5米插一面，从起点到终点共插了20面，这条道路有多长？

（2）在学校的走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了20盆，这条走廊长多少米？
【例题2】

在一条长42米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了14棵，已知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？
【思路导航】

根据“在路的两侧共栽了14棵树”这个条件，我们可以先求出每一侧栽了14÷2=7（棵）树，那么从第1棵树到第7棵树之间的间隔是7-1=6（个）。42米长的大路平均分成6段，每段是42÷6=7（米）。
列式如下：
42÷（14÷2-1）=42÷（7-1）=42÷6 =7（米）
答：相邻两棵树之间的距离是7米。
【练习2】

在公园一条长30米的路的两侧放椅子，从起点到终点共放了12把椅子，相邻两把椅子的距离相等，相邻两把椅子之间相距多少米？
【例题3】

在一条长42米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了14棵，已知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？
【思路导航】

我们先求出钢管被锯开了28÷4=7（处），因而被锯开的段数有7+1=8（段）。
列式如下： 28÷4+1 =7+1 =8（段）
答：这根钢管被锯成了8段。
【练习3】

一根圆木锯成2米长的小段，一共花了12分钟。已知每锯下一段要3分钟，这根圆木长多少米？
【例题4】

甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到4楼时，乙恰好跑到3楼，照这样计算，甲跑到16楼时，乙跑到了多少楼？
【思路导航】

解答爬楼梯问题时，不能以楼层进行计算，而要用楼梯段数进行计算，因为第一层楼是不用爬的，“楼层数-1”才是要走的“楼梯段数”，根据题意“甲跑到4楼时，乙恰好跑到3楼”，实际上是说“甲跑3段楼梯与乙跑2段楼梯所用的时间相同。”照这样计算，甲跑到16楼，也就是跑了15段楼梯，应是甲跑3段楼梯所用的时间的5倍，在同一时间里，乙跑的楼梯段数也是他跑2段楼梯的5倍，也就是这时乙跑了10段楼梯，即他跑到了第10+1=11（楼）。列式如下：
（3-1）×[（16-1）÷（4-1）]+1 =2×5+1 =11（楼）
答：甲跑到16楼时，乙跑到了11楼。
【练习4】

小明和小红两人爬楼梯比赛，小明跑到第4层时，小红跑到第5层，照这样计算，当小明跑到第16层时，小红跑到了第几层？
【例题5】

一个圆形跑道长300米，沿跑道周围每隔6米插一面红旗，每两面红旗中间插一面黄旗，跑道周围各插了多少面红旗和黄旗？
【思路导航】

在圆周上插旗，插的面数正好等于分成的段数，所以插了红旗300÷6=50（面），由于每两面红旗中间插一面黄旗，所以黄旗的面数就等于红旗的面数，也是50面。
300÷6=50（面）
答：跑道周围插了50面红旗和50面黄旗。
【练习5】

（1）有一个正方形水池，周长是200米。如果沿着水池周围每隔10米装一盏红灯，再在相邻的两盏红灯中间等距离地装4盏黄灯。问水池周围一共装了几盏红灯？几盏黄灯？
（2）一条公路长480米，在两旁植树，两端都植。每隔12米植一棵樟树，两棵樟树中间又等距离地栽了3棵柳树。问樟树和柳树各栽了多少棵？
第7讲 简单推理
一、知识要点
数学课上，老师布置了一道题：
□＋△=28 □=△＋△＋△
□=（ ） △=（ ）
要得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，能使你变得更聪明，头脑更灵活。数学上有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。
解答这类推理题时，要求小朋友仔细观察，认真分析等式中几个图形之间的关系，寻找解题的突破口，然后再利用等量代换、消去等方法来进行解答。
二、精讲精练
【例题1】

下式中，□和△各代表几？
□＋△=28 □=△＋△＋△
□