找规律填数
关键词-归纳
-等差数列
-完全平方数
【例1】找规律填数。
分析：每个方格里4个角上的数相加的和等于中间的数。
解：？号应填0.
【例2】按数字规律填出图中空缺的数。
解：在各圆内，上面两数之和等于下面两数之差。
30−（13+8）=9；（17−2）−5=10.
图中空缺的数分别是9和10.
【例3】○里填几？
解：因为8+4−2=10，3+2−3=2，
所以，○里填：12+1−5=8.
【随堂练习1】（ ）里填几？
解：2+4+2=8，3+6+2=11，4+7+2=13，所以6+8+2=16，（）里填16.
【例4】在每个方格内填上一个数字，只能填1、2、3、4四个数字，要求不论横看、竖看，还是斜看，4个格的数字和都是10，即每一横行、竖行、斜行上的4个数字互不相同。怎样填？
2
3
4
3
3
1
4
1
4
2
2
1
解：角上只能填2和3，先在角上填好2和3，其他就好确定了。
【随堂练习2】按规律填上第五个数组中的数。 {1，5，10}、{2，10，20}、{3，15，30}、{4，20，40}、{（ ），（ ），（ ）}.
解： {（5），（25），（50）}.
等差数列
如果一个数列，从第2项起，每一项与前一项的差是一个固定数，这样的数列叫做等差数列，这个差叫做这个数列的公差。
数列的第一项叫首项，最后一项叫末项。
数列中项的总数之和为数列的“项数”。在数列中，项数是一个正整数。
著名的等差数列三大公式：
第一个，已知项数，求末项：
①末项=首项+公差×（项数−1）
第二个，已知末项，求项数：
②项数=（末项−首项）÷公差+1
第三个：③和=（首项+末项）×项数÷2
【例5】求和：1+2+3+4+5+6+7+8=？
解：1+2+3+4+5+6+7+8
=（1+8）×8÷2
= 36.
【例6】求数列的和：1，3，5，7，⋯，95，97，99.
解：项数：（99−1）÷2+1=50，
和：（99+1）×50÷2=2500.
【随堂练习3】求出1到100之内所有3的倍数的和。
解：1到100内3的倍数为3，6，9，12，⋯，96，99.这是首项为1，末项为99，公差为3的等差数列。
项数：（99−3）÷3+1=33，
和：（99+3）×33÷2
=102×33÷2
=51×33
=1683
完全平方数
一个自然数自乘所得的积称为完全平方数。100以内的完全平方数是0、1、4、9、16、25、36、49、64、81共10个。
0=0
1=1
4=1+3
9=1+3+5
16=1+3+5+7
25=1+3+5+7+9
36=1+3+5+7+9+11
49=1+3+5+7+9+11+13
64=1+3+5+7+9+11+13+15
81=1+3+5+7+9+11+13+15+17
【例7】发现下列各数列的规律，在括号内填上合适的数。（1）1，3，5，（ ），9；（2）2，4，8，16，32，（ ），（ ）；（3）2，5，8，11，（ ），17，（ ）.
解：
（1）都是奇数，括号中应填7；
（2）从第2项起，后面一项都是前面一项的2倍，括号内应填入64，128；
（3）从第2项起，每一项比前面一项多3.所以括号内应填入14，20.
【例8】有一排加法算式：4+2，5+8，6+14，7+20，⋯.按这规律排的第10个加法算式是怎样的？它的结果是多少？
解：这排加法算式，每个算式的前一个数构成数列：4，5，6，7，⋯；后一个数构成数列2，8，14，20，⋯.
对前一个数列，第10项是13；对后一个数列，第10项是2+6×（10−1）=56.
所以，这排算式的第10个是13+56.它的结果是69.
【随堂练习4】有一排加法算式：4+2，5+8，6+14，7+20，⋯.按这规律排的第99个加法算式是怎样的？它的结果是多少？
解：这排加法算式，每个算式的前一个数构成数列：4，5，6，7，⋯；后一个数构成数列2，8，14，20，⋯.
对前一个数列，第99项是102；对后一个数列，第99项是2+6×（99−1）=590.
所以，这排算式的第99个是102+590，它的结果是692.
【例9】观察已有数的规律，在（ ）内填入恰当的数。
分析：此图称为杨辉三角形，是我国宋代数学家杨辉在他的《译解九章算法》中最早给出的。
每层最外面两个数都是1，从第三层起，除去最外面两个数，其他数都等于在它肩上的两个数的和。
解：第六层括号内应填的数依次为5，10，10，5.
【随堂练习5】根据这一规律，写出杨辉三角形第七层、第八层的所有的数。
解：第七层的数是1，1+5=6，5+10=15，10+10=20，10+5=15，5+1=6，1.
第八层的数是1，1+6=7，6+15=21，15+20=35，20+15=35，15+6=21，6+1=7，1.
【例10】观察下面数列的规律，在括号内填上适当的数： 3，5，9，15，23，33，45，（ ）.
分析：从第2项起，每一项与前面一项之差依次为2，4，6，8，⋯，即相差2的1倍，2的2倍，2的3倍，2的4倍……因此，括号内的数比45多2×7.
解：45+2×7=59，括号内应填59.
【例11】找出数列的规律，并在括号内填入适当的数： 25，3，22，3，19，3，（ ），（ ）.
分析：所有偶数项的数都是3.
奇数项，每一项都比前一个少3.
解：括号内应填入16，3.
【随堂练习6】发现规律，并在括号内填入适当的数： 15，6，13，7，11，8，（ ），（ ）.
分析：
奇数项构成数列15，13，11，⋯.
偶数项构成数列6，7，8，⋯.
解：括号内应填入9，9.
【例12】已知算式：1+1，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17，⋯.问：第几个算式的得数是992？
分析：将数列写成4列：
1+1 2+3 3+5 4+7
1+9 2+11 3+13 4+15
1+17 ⋯
也就是将算式的和写成4列：
2 5 8 11
10 13 16 19
18 ⋯
其中每一列下面的数比上面多8，而且第二、四列两列是奇数，一、三两列是偶数，而且第三列是8的倍数。
解：992=8×124，所以992出现在第三列第124行，因而是数列的4×124−1=495（项），即第495个算式的得数是992.
【随堂练习7】发现规律，在括号内填入适当的数： 2，5，8，11，10，13，16，19，18，（ ），（ ）.
解：
2， 5， 8， 11，
10，13，16， 19，
18，⋯
13+8=21，16+8=24.
规律
发现规律 → 验证规律 → 应用规律

一、加减乘除四则运算

二、等差数列

三、完全平方数数列

四、双重数列