小学四年级奥数教程
第一讲 高斯求和
高斯的故事
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人。大约10岁时，老师在算术课上出了一道难题：“把1到100的整数写下来，然后把它们加起来！”每当有考试时他们班有如下的习惯：第一个做完的就把石板（当时通常用于写字）面朝下地放在老师的桌子上，第二个做完的就把石板摆在第一张石板上，就这样一个个落起来。这道难题当然难不倒学过算术级数的人，但对于刚学算术不久的孩子来说，难度较大。老师心想：终于可以休息一下了！但他错了，因为还不到几秒钟，高斯已经把石板放在讲桌上了。同时说道：“答案在这儿”。而其他学生还在埋头苦干，把数字一个个加起来，有的额头都出汗了。但高斯却静静地坐着，对老师投来的怀疑眼光毫不在意。考完后，老师一张张地检查着石板，大部分都做错了，当然也免不了吃一顿鞭打。最后，高斯的石板被翻了过来，只见上面只有一个数字：5050。这正是正确的答案。老师吃了一惊！
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，高斯把这道题巧算为：
（1+100）×100÷2＝5050。

高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：
（1）1，2，3，4，5，…，100；
（2）1，3，5，7，9，…，99；
（3）8，15，22，29，36，…，71。
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
根据等差数列的求和公式，可以变形得到如下的数量关系：项数=（末项-首项）÷公差+1
末项=首项+公差×（项数-1）
首项=末项-公差×（项数-1）
例1 ：⑴ 1＋2＋3＋4＋5 ＋ …＋19＋20＝？
⑵ 2＋4＋6＋8＋ …＋48＋50＝？
分析：观察上面两道题，不难发现它们都是等差数列。第⑴题的首项是1，末项是20，共有20个数。而第⑵题的首项是2，末项是50，共有25个数。由等差数列求和公式可得：
　 ⑴ 1＋2＋3＋4＋5 ＋ …＋19＋20
＝（1＋20）×20÷2
＝21×20÷2
＝210
⑵2＋4＋6＋8＋ …＋48＋50
＝（2＋50）×25÷2
＝52×25÷2
＝650
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
练一练：

⑴计算1＋2＋3＋4＋5 ＋ …＋49＋50的和
解：原式＝（1＋50）×50÷2
＝51×50÷2
＝1275
⑵计算1＋3＋5＋7＋ …＋97＋99的和
解：原式＝（1＋99）×50÷2
＝100×50÷2
＝2500
⑶第一行放了1颗糖，第二行放了2颗糖，第三行放了3颗糖，依此类推，第四十行放了40颗糖，第一～四十行一共放了多少颗糖？
1＋2＋3＋4＋5 ＋ …＋40
＝（1＋40）×40÷2
＝41×40÷2
＝820（颗）
例2：求5＋8＋11＋14＋…＋29＋32的和
分析：这是一个公差为3、首项为5、末项为32的等差数列。如果按等差数列求和的公式计算，还必须先找出项数。根据项数＝（末项－首项）÷公差＋1，这个等差数列的项数是（32－5）÷3＋1 ＝10。
解：（32－5）÷3＋1
＝27÷3＋1
＝9＋1
＝ 10
5＋8＋11＋14＋…＋29＋32
＝（5＋32）×10÷2
＝37×10÷2
＝185
练一练：
⑴计算3＋7＋11 ＋ …＋43＋47的和
解：（47－3)÷4＋1
＝44÷4＋1
＝11＋1
＝12
3＋7＋11 ＋ …＋43＋47
＝(3＋47)×12÷2
＝50×12÷2
＝600÷2
＝300
练一练：
⑵计算5＋10＋15 ＋ …＋90＋95＋100的和
解：（100－5)÷5＋1
＝95÷5＋1
＝19＋1
＝20
5＋10＋15 ＋ …＋90＋95＋100
＝(5＋100)×20÷2
＝105×20÷2
＝2100÷2
＝1050
练一练：
⑶美羊羊学做蛋糕，第一天做了5个蛋糕，以后每天都比前一天多做2个，最后一天做了25个蛋糕，美羊羊这些天中一共做了多少个蛋糕？
（25－5)÷2＋1
＝20÷2＋1
＝10＋1
＝11

(5＋25)×11÷2
＝30×11÷2
＝330÷2
＝165
例3：有一列数按如下规律排列：10、17、24、31…
这列数中前80个数的和是多少？
分析：这是一个公差为7、首项为10、项数为80的等差数列，末项未知。如果按等差数列求和的公式计算，还必须先找出末项。根据末项=首项+公差×（项数-1），这个等差数列的末项是10＋7 ×（ 80－1）＝563。
解： 10＋7 ×（80－1）
＝10＋7 ×79
＝10＋553
＝563
（10＋563）×80÷2
＝573×80÷2
＝22920
练一练：
⑴有一列数按如下规律排列：5、9、13、17……这列数中前24个数的和是多少？
5＋4×（24－1）
＝5＋4 ×23
＝5＋92
＝97
（5＋97）×24÷2
＝102×24÷2
＝1224
练一练：
⑵小明练习写毛笔字，第一天写了8个大字，以后每一天都比前一天多写3个，小明30天一共写了多少个毛笔字？
8＋3×（30－1）
＝8＋3 ×29
＝8＋87
＝95
（8＋95）×30÷2
＝103×30÷2
＝1545
练一练：
⑶有一堆粗细均匀的圆木，最上面有33根，每一层都比上一层多1根，一共堆了15层，这堆圆木一共有多少根？
33＋1×（15－1）
＝33＋1×14
＝33＋14
＝47
（33＋47）×15÷2
＝80×15÷2
＝600
例4：（2＋4＋6＋ …＋2012）－（ 1＋3＋5＋ …＋2011）
分析：这道题可以分别求出括号内两个数列的和，然后相减。仔细观察，不难发现，这两个数列的项数一样多。而且前面括号内第一个数与后面括号内第一个数相减得1，前面括号内第二个数与后面括号内第二个数相减也得1……以此类推。
解法一：（2012－2）÷2＋1
＝2010÷2＋1
＝1005＋1
＝1006
（2＋4＋6＋ …＋2012）－（1＋3＋5＋ …＋2011）
＝（2＋2012）×1006÷2 －（1＋2011）×1006÷2
＝2014×1006÷2－2012×1006÷2
＝1013042－1012036
＝1006
解法二：（2＋4＋6＋ …＋2012）－（1＋3＋5＋ …＋2011）
＝（2－1）＋（4－3）＋ … ＋（2012－2011）
＝1×1006
＝1006
练一练：
⑴ （7＋9＋11＋ …＋25）－（5＋7＋9＋…＋23）
解法一：（25－7）÷2＋1
＝18÷2＋1
＝9＋1
＝10
（7＋9＋11＋…＋25）－（5＋7＋9＋…＋23）
＝（7＋25）×10÷2－（5＋23）×10÷2
＝32×10÷2－28×10÷2
＝160－140
＝20
解法二：（7＋9＋11＋…＋25）－（5＋7＋9＋…＋23）
＝（7－5）＋（9－7）＋…＋（25－23）
＝2×10
＝20
练一练：
⑵1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋…＋58＋59－60
分析：计算这道题，可以变减为加，整体推算。其中，减数均为3的倍数，共有60÷3＝20（个）
1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋…＋58＋59－60
＝（1＋60）×60÷2－（3＋60）×20÷2×2
＝61×60÷2－63×20÷2×2
＝1830－1260
＝570
例4：求所有加6以后被11整除的三位数的和。
分析：解决这道题，首先应弄清楚“加6以后被11整除的三位数”是哪些数。“加6以后被11整除的三位数”，换一个说法，也就是“被11除余5的三位数。
在这些数中最小的三位数是104，最大的三位数是995，而且相邻两数都相差11。即这些三位数依次是104、115、126、…995。显然，它们成等差数列，所以可以利用等差数列求和的公式来求和。首项是104，末项是995，公差是11。
解：项数＝（995－104）÷11＋1
＝891÷11＋1
＝81＋1
＝82
总和＝（104＋995）×82÷2
＝1099×82÷2
＝45059
练一练：
⑴100以内所有加5后是6的倍数的数的和是多少？
分析：100以内“加5后是6的倍数的数”，换一个说法，也就是“被6除余1的数。
在这些数中最小的是1，最大的是91，而且相邻两数都相差6。即这些数依次是1、7、13、…91。显然，它们成等差数列，所以可以利用等差数列求和的公式来求和。首项是1，末项是91，公差是6。
解：项数＝（91－1）÷6＋1
＝90÷6＋1
＝15＋1
＝16
总和＝（1＋91）×16÷2
＝92×16÷2
＝736
练一练：
⑵在1—400中，所有不是9的倍数的数的和是多少？
分析：1—400中，所有“不是9的倍数的数的和” ，可以先求出1—400各数的和，再去掉所有9的倍数的数的和，就能得到所要求的结果。而在所有9的倍数的数中，最小的是9，最大的是396，相邻两数都相差9。即这些数依次是9、18、27、…396。显然，它们成等差数列。项数是（ 396－9）÷9＋1＝44
（1＋2＋3＋…＋400）－（9＋18＋27＋…＋396）
＝（1＋400）×400÷2－（9＋396）×44÷2
＝401×400÷2－405×44÷2
＝80200－8910
＝71290
练一练：
⑶求所有被7除余数是1的三位数的和是多少？
分析：在被7除余数是1的三位数中，最小的是106，最大的是995，而且相邻两数都相差7。即这些数依次是106、113、120、…995。显然，它们成等差数列，所以可以利用等差数列求和的公式来求和。首项是106，末项是995，公差是7。
解：项数＝（995－106）÷7＋1
＝889÷7＋1
＝127＋1
＝128
总和＝（106＋955）×128÷2
＝1101×128÷2
＝70464