第七讲 从不定方程 的整数解说起
灵活的运用分数的运算，可以使我们的运算变得简单、快捷。
情景引入
亮亮是五年级的优等生，最喜欢做一些有难度的数学题。最近，刚刚学完分数的加减运算，一天，他在做完家庭作业后，一个个题目吸引了他的注意力：
他想：这个题目肯定不会是先通分后再加减，一定会有规律可以用，你能帮帮他吗？
一、知识回顾
1、单位分数（分数单位）
把单位1分成8份，每份就是单位1的（ ）
2、分数的基本性质
3、分数的约分与通分
4、分数的加减运算：同分母分数相加减
异分母分数相加减
分数的约分与通分
做一做
2
2
20
分数的加减运算
1、计算下列各题，你发现了什么？
2、计算下列各题，你又发现了什么？
规律：
用你发现的规律计算
引例
在运算时我们曾经见过这样的运算：两个单位分数的和或（差）仍是单位分数
反过来，给你一个单位分数，你能把它拆成两个单位分数的和或（差）吗？
（一） 的方法(1)和步骤
1、求出n2的值，
2、把n2分解因数，求出每一对互补因子和自补因子t和t’，
3、代入化和公式（1）
解的个数是（n2的因数个数+1）÷2
①
(其中t×t’=n2)
应用举例 求出
所有结果
解：因为122=144=1×144=2×72=3×48=4×36
=6×24=8×18=9×16=12×12
所以方程有8组解：
144=2×2×2×2×3×3
公式（1）的特例
②
此时，t=1，t’=n2
推广（一）
的推广（二）
由
可以得到化和公式（3）
特殊的由 可以
和与加数的关系得到另外两个化差公式
（二） 方法和步骤
的应用举例
计算（1）
（2）
（二） 的一般方法
1、求出n2的值，
2、把n2分解因数，求出每一对互补因子和t和t’，
3、代入化差公式（3）
解的个数是（n2的因数个数-1）÷2
(其中t×t’=n2且t ＜t’)
应用举例
解：因为62=36=1×36=2×18=3×12=4×9
所以，方程共有4组解；
的推广
可以得到化差公式（4）
进而得到公式（5）
化差公式的（4）、（5）应用举例
1、求出12的所有因数，并把它的因数，按从小到大的顺序排列：1、2、3、4、6、12
2、从六个因数中任取两个配成一个组合（a,b）共有
（1，1） （1，2）（1，3）（1，3）（1，6）（1，12）
（2，2）（2，3）（2，4）（2，6）（2，12）
（3，3）（3，4）（3，6）（3，12）
（4，4）（4，6）（4，12）
（6，6）（6，12）
共（ 21组） （12，12）
3、利用化和公式（4）
我们以 为例介绍另一种
解 的方法和步骤
1、求出12的所有因数，并把它的因数，按从小到大的顺序排列：1、2、3、4、6、12
2、从六个因数中任取两个配成一个组合（a,b）共有（12，6）（12，4）（12，3）（12，2）（12，1）（6，4）（6，3）（6，2）（6，1）；
（4，3）（4，2）（4，1）
（3，2）（3，1）；
（2，1） （ 15组）
3、利用公式（6）
我们以 为例介绍另一种
解 的方法（2）和步骤