奥数
五年级
奥数
奥数并没什么难的，只要大家跟着老师认真的走，自己慢慢的总结归纳，就会摸出其中的奥妙
我对奥数认识
奥数就是奥林匹克数学的简称。适当的学习奥数可以锻炼思维，是大有好处的，万不可把奥数功利化。一般来说，学生从小
学三年级开始比较合适，四、五

年级入手也不算太晚。可以通过系统的奥数学习开发思维。
锻炼学生思维能力
培养学生会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等能力。通过奥数的学习，让孩子们会用归纳、演绎和类比进行推理，会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点。对于今后的其他理科科目学习的帮助很大，打牢理科学习的扎实基础。
努力吧！
概述
对以前所学奥数知识的梳理
计算
几何图形
行程问题
常用单位换算总结
鸡兔同笼（假设法的解题思想）
牛吃草问题：原有草量=（牛吃速度-草长速度）×时间
找规律
回顾总结
对以前所学知识的梳理
计算
四则混合运算繁分数
简便计算
估算（求某式的整数部分：扩缩法）
比较大小
定义新运算
特殊数列求和
数论
计数问题
四则混合运算繁分数
（1）运算顺序
（2）分数、小数混合运算技巧
一般而言：
加减运算中，能化成有限小数的统一小数形式；乘除运算中，统一以分数形式。
⑶带分数与假分数的互化
⑷繁分数的化简
简便计算
⑴凑整思想
⑵基准数思想
⑶裂项与拆分
⑷提取公因数
⑸商不变性质
⑹改变运算顺序运
运算定律的综合运用
连减的性质
连除的性质
同级运算移项的性质
增减括号的性质
变式提取公因数
形如：

估算

求某式的整数部分：扩缩法
比较大小
1通分
2通分母
3通分子
4跟“中介”比
5利用倒数性质
6定义新运算
7特殊数列求和
数论
奇偶性问题
奇奇=偶 奇×奇=奇
奇偶=奇 奇×偶=偶
偶偶=偶 偶×偶=偶
位值原则
形如：=100a+10b+c
n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)
n的所有约数和：（1+P1+P1+…p1）（1+P2+P2+…p2）…（1+Pk+Pk+…pk）
同余定理
① 同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b(mod m)
②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。
③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。
④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。
⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
9．完全平方数性质
①平方差： A-B=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B， A-B同奇偶性。
②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。
约数个数为3的是质数的平方。
③质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。
④平方和。
10．孙子定理（中国剩余定理）
11．辗转相除法
12．数论解题的常用方法：
枚举、归纳、反证、构造、配对、估计
数论续
数的整除特征：
整除数特 征2末尾是0、2、4、6、83各数位上数字的和是3的倍数5末尾是0或59各数位上数字的和是9的倍数11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数4和25末两位数是4（或25）的倍数8和125末三位数是8（或125）的倍数7、11、13末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数整除性质
如果c|a、c|b，那么c|(ab)。
如果bc|a，那么b|a，c|a。
如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。
如果c|b,b|a,那么c|a.
a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
带余除法
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r
当r=0时，我们称a能被b整除。
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0≤r＜b a=b×q+r
6. 唯一分解定理
任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即
n= p1× p2×...×pk
约数个数与约数和定理
设自然数n的质因子分解式如n= p1× p2×...×pk那么：
计数问题
加法原理：分类枚举
乘法原理：排列组合
容斥原理：
总数量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC
常用：总数量=A+B-AB
抽屉原理：
至多至少问题
握手问题
在图形计数中应用广泛
角、线段、三角形，
长方形、梯形、平行四边形
正方形
几何图形
平面图形
⑴多边形的内角和
N边形的内角和=(N-2)×180°
⑵等积变形（位移、割补）
三角形内等底等高的三角形
平行线内等底等高的三角形
公共部分的传递性
极值原理（变与不变）
⑶三角形面积与底的正比关系
S1︰S2 =a︰b ； S1︰S2=S4︰S3 或者S1×S3=S2×S4
⑷相似三角形性质（份数、比例）
① ; S1︰S2=a2︰A2
②S1︰S3︰S2︰S4= a2︰b2︰ab︰ab ; S=（a+b）2
⑸燕尾定理
S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△GEC＝BE：EC；
S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△GFC＝AF：FC；
S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；
⑹差不变原理
知5-2=3，则圆点比方点多3。
⑺隐含条件的等价代换
例如弦图中长短边长的关系。
⑻组合图形的思考方法
化整为零 先补后去 正反结合
立体图形
⑴规则立体图形的表面积和体积公式
⑵不规则立体图形的表面积
整体观照法
⑶体积的等积变形
①水中浸放物体：V升水=V物
②测啤酒瓶容积：V=V空气+V水
⑷三视图与展开图
最短线路与展开图形状问题
⑸染色问题
几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。
行程问题
相遇问题
追及问题（包括钟面上的追及问题）
多次相遇（包括线型路程和环型路程 ）

列车过桥问题
流水行船

环形跑道

结合分数、工程、和差问题的一些类型。

行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法。
相关公式
速度×时间=路程
路程÷时间=速度
路程÷速度=时间
路程和=速度和×相遇时间
路程差=速度差×追及时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2
水速=（顺水速度-逆水速度）÷2
多次相遇
线型路程： 甲乙共行全程数=相遇次数×2-1
环型路程： 甲乙共行全程数=相遇次数
其中甲共行路程=单在单个全程所行路程×共行全程数
教学目标：
1. 掌握 行程问题的应用题的结构，掌握简单实际问题中的数量关系。
2.会解答问题。
3.经历解决问题的过程，体验数学与日常生活密切相关。
重难点：
重点：用方程解决相遇问题中求相遇时间的问题

难点：找出相遇问题的数量关系。
行程问题中正反比例关系的应用
路程一定，速度和时间成反比。
速度一定，路程和时间成正比。
时间一定，路程和速度成正比。
行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法。
行程问题
【例1】火车通过一条长1140米的桥梁用了50秒，火车穿过1980米的隧道用了80秒，求这列火车的速度和车长。（过桥问题）
　　【例2】一列火车通过800米的桥需55秒，通过500米的隧道需40秒。问该列车与另一列长384、每秒钟行18米的列车迎面错车需要多少秒钟？（火车相遇）
　　【例3】龟兔赛跑，全程5.4千米，兔子每小时跑25千米，乌龟每小时跑4千米，乌龟不停的跑，但兔子却边跑边玩，它先跑1分，然后再玩15分，又跑2分，玩15分，再跑3分，玩15分，……，那么先到达终点的比后到达终点的快几分钟呢？（停走问题）
　　【例4】有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲于乙、丙背向而行。甲每分40米，乙每分38米，丙每分36米。出发后，甲和乙相遇后3分钟又与丙相遇。这花圃的周长是多少？（多人行程）
　　【例5】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒钟3米，乙的速度是每秒钟2米。如果他们同时分别从直路的两端出发，10分钟内共相遇了几次？(平行线+
小结:
同学们,你们觉得列方程解应用题有哪几个步骤?
1.弄清题意,找等量关系;
2.设未知数, 列方程;
3.解方程,并检验;
4.写答案.
常用计量单位小结
1长度单位：千米，米，分米，厘米，毫米
2面积单位：平方千米，平方米，平方分米，平方厘米，平方毫米
3体积（容积）单位：立方千米，立方米，立方分米（升），立方厘米（毫升），立方毫米
4重量单位：吨，千克，克，毫克
5时间单位：秒，分，时，天，月，季度，年，世纪
6货币单位：元，角，分
※长度单位换算
1千米=1000米
1米=10分米=100厘米=1000毫米
1分米=10厘米=100毫米
1厘米=10毫米
※面积单位换算
1平方千米=100公顷
1公顷=10000平方米
1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
1平方厘米=100平方毫米
※体(容)积单位换算
1立方米=1000立方分米

1立方分米=1000立方厘米

1立方分米=1升

1立方厘米=1毫升

1立方米=1000升
※重量单位换算
1吨=1000 千克

1千克=1000克

1千克=1公斤
1克=1000毫克
※时间单位转换
1世纪=100年
1年=12月
大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月
小月(30天)的有:4\6\9\11月
平年2月28天, 闰年2月29天
平年全年365天, 闰年全年366天
1日=24小时
1时=60分
1分=60秒
1时=3600秒
※货币单位换算
1元=10角

1角=10分

1元=100分
长度单位与面积、体积单位的关系寻找
一个正方体的棱长
扩大了2倍，
它的棱长总和扩大
（ ） 倍，
表面积扩大（ ）倍，
体积扩大（ ）倍
趣话一角
从前有三个和尚，一个讲真话，一个讲假话，还有一个有时讲真话、有时讲假话。一天，一位智者遇到这三个和尚，他问第一个和尚：“你后面的是哪个和尚？”和尚回答道：“讲真话的。”他又问第二个和尚：“你是哪一个和尚？”得到的回答是：“有时讲真话、有时讲假话的。”他继续问第三个和尚：“你前面的是哪个和尚？”第三个和尚回答说：“讲假话的。”根据他们的回答，智者马上就分清了他们各是哪一个和尚，你知道了吗？ 假设第一个和尚回答的是真话，即第二个和尚是讲真话的和尚。但第二个和尚说自己有时讲真话、有时讲假话，这就和第一个和尚说的相矛盾，所以第一个和尚回答的不是真话，那么第二个和尚就不是讲真话的和尚，所以第三个和尚是讲真话的和尚。再由第三个和尚回答的是真话可知，第二个和尚是讲假话的，由此可知，第一个和尚是有时讲真话、有时讲假话的和尚。
采用假设法，把不同的倍数假设为相同的倍数，相对
固定一个量，这样便于找出差异的原因，从而使问题得解。
采用假设法，把真实的情形假设为虚构的，使原来不易产生的“量”、“率”对应产生对应。
鸡和兔共33只，已知每只鸡2条腿，每只兔
4条腿，且鸡和兔共有腿96条，问鸡兔各几只？
解：假设全是鸡，则应有鸡33只，有腿33×2条。
比现有腿96条少：96－33×2（条），这是因为
每假设一只兔为鸡，腿从4条减少到2条，故应
有：（96－33×2）÷（4－2）=15（只）兔。
鸡有：33－15=18（只）
或：假设全是兔，则应有兔33只，有腿33×4条。
比现有腿96条多：33×4－96（条），这是因为
每假设一只鸡为兔，腿从2条增加到4条，故应
有：（33×4－96）÷（4－2）=18（只）鸡。
兔有：33－18=15（只）
答：鸡有18只，兔有15只。
鸡和兔共33只，已知每只鸡2条腿，每只兔
4条腿，且鸡和兔共有腿96条，问鸡兔各几只？
题目特点：
1，这道题要求我们求几个量？
答：两个。鸡的只数和兔的只数。
2，这两个量在已知条件中有怎样的数量关系？
答：已知它们的和，以及它们的不同倍数的和。
方法提炼：
在解这道题时，我们如何利用这一“不同倍数”关系来
解题的？采用了什么方法？这样做的目的是什么？
答：采用假设法，把不同的倍数假设为相同的倍数，相对
固定一个量，这样便于找出差异的原因，从而使问题得解。
请总结出“假设法”解题的步骤：
1，假设；
2，找出假设的情况与真实情况间的差异；
3，找出造成差异的原因。
公式一隅
鸡数=（兔脚数×总头数-总脚
数）÷（兔
脚数-鸡脚数）
兔数=（总脚数-鸡脚数×总头
数）÷（兔
脚数-鸡脚数）.
鸡和兔共33只，已知每只鸡2条腿，
每只兔4条腿，且鸡和兔共有腿96条，问鸡兔各
几只？
鸡和兔共100只，已知已知每只鸡2条腿，
每只兔4条腿，且鸡的腿比兔的腿少70只，问鸡兔各
几只？
课堂讨论：

课后研究：
作业：用我们今天研究和讨论的第一种“鸡兔同笼问题”
的方法，研究讨论第二种类型的“鸡兔同笼问题”。小组
讨论并写出研究报告。要求写出：
1，题目特点；
2，从题目解法中你得到了什么解题方法；
3，用这样的方法可以解哪些应用题（如工程问题、
行程问题、浓度问题等）。
牛吃草问题
牛吃草问题是英国大物理学家牛顿提出来的数学名题,也叫牛顿问题。这类题是讲牛在一片匀速生长的草地上吃草，假设每头牛每天的吃草量相同，那么草地上除了原有的草，还有新长出来的草，而且又被牛每天消耗一部分，也就是说随着时间的变化，我们考察的量也在不断的变化，这就给我们解答这类应用题带来了难度。此类问题，由于解题思路具有一定的规律和模式，只要认真学习，仔细分析，就能掌握这类问题的特点和解答方法，正确解答。
难点
解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天、每周都在均匀地生长，时间愈长，草的总量越多。草的总量是由两部分组成的：①某个时间期限前草场上原有的草量；②一段时间内草场均匀生长而新增的草量。因此，我们在解答这类题时必须设法找出这两个量来：即原有的草量和牧场上新增的草量。然后将牛分出一部分吃新生长的草，另一部分牛吃原有的草，吃原有草所用的时间就是这片草地能吃多少时间。
摸出解这类题的规律
1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；
2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；
牛吃草3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。　
5）分析解答这类应用题时，可以将一头牛单位时间的吃草量设为1份。
基本思路
①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差)”求出天数。
　　②已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。
　　③根据(“原有草量”+若干天里新生草量)÷天数”，求出只数。
到底有多难
“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。”
　　一般解法：把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有：
　　(1)27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162 (这162包括牧场原有的草和6天新长的草。)
　　(2)23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207 (这207包括牧场原有的草和9天新长的草。)
　　(3)1天新长的草为：(207－162)÷(9－6)＝15
　　(4)牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72
　　(5)每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷(21－15)＝72÷6＝12(天)
　　所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。
有一片牧场，草每天都匀速生长(草每天增长量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草，如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，假设每头牛吃草的量是相等的。(1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？(2)要使牧草永远吃不完，最多可放多少头牛？
　　解答：
　　1) 草的生长速度：(21×8-24×6)÷(8-6)=12(份)
　　原有草量：21×8-12×8=72(份)
　　16头牛可吃：72÷(16-12)=18(天)
　　2) 要使牧草永远吃不完，则每天吃的份数不能多于草每天的生长份数
　　所以最多只能放12头牛。
公式解法
找规律
⑴周期性问题
年月日、星期几问题
余数的应用
⑵数列问题
等差数列
通项公式 an=a1+(n-1)d
求项数： n=求和： S=等比数列
求和： S=裴波那契数列
⑶策略问题
抢报30
放硬币
⑷最值问题
最短线路
a.一个字符阵组的分线读法
b.在格子路线上的最短走法数
最优化问题
a.统筹方法
b.烙饼问题
逻辑推理
等价条件的转换
列表法
对阵图
竞赛问题，涉及体育比赛常识
火柴棒问题
移动火柴棒改变图形个数
移动火柴棒改变算式，使之成立
智力问题
突破思维定势
某些特殊情境问题
解题方法小结（结合杂题的处理）
代换法
消元法
倒推法
假设法
反证法
极值法
设数法
整体法
画图法
列表法
排除法
染色法
构造法
配对法
列方程
⑴方程
⑵不定方程
⑶不等方程
对于适合学习奥数的孩子来说，通过学习奥数可以：
1、促进在校成绩的全面提高，培养良好的思维习惯；
　　2、使学生获得心理上的优势，培养自信；
　　3、有利于学生智力的开发；
　　4、数学是理科的基础，学习奥数对于这个学生进入初中后的学习物理化学都非常有好处（很多重点中学就是因为这个原因招奥数好的学生）。
　　奥数着重培养一个人的逻辑思维能力，奥数学习是一种智力游戏，要量力而行，千万不要当成负担
概括来说具备以下特征的孩子比较适合学奥数：
一、对数学有浓厚的兴趣
　　二、突出的自学能力
　　三、强烈的独立意识
　　四、超常的记忆力
　　五、超常的心算能力
　　六、坚强的意志品质
　　七、富于创造性
　　八、高远的志向和报负
什么时候开始学奥数比较合适？
一般从小学三年级开始比较合适，四、五年级入手也不算太晚。太早了孩子的理解能力有限，并且这个时候数学基础还没有打好，孩子学奥数理解起来比较吃力，很容易遇到困难。如果因此而使孩子的兴趣受打击，使他产生畏难、厌学情绪就糟了。
　　在孩子学奥数之前，家长可以从其他方面入手潜移默化，培养孩子的数学兴趣和能力。观察能力是数学学习的开始，比如带孩子上街时，启发他认门牌号上的数字，说说这是几位数；再比如玩具中也有数学，可以让孩子通过玩具识别三角形、长方形等各种形状……。也就是重点培养孩子观察生活中的数学，加强孩子的数感训练，这对孩子将来学数学很有帮助。
奥数学习的方法
学习没有捷径，但是有技巧，同样，奥数学习也是如此，我总结了五个有用的奥数学习小方法。
　　第一种：记笔记。
　　这方法其实很普遍也很简单，但恰恰是很多同学不容易做到的，记笔记有很多好处，一是可以把老师的精华记录下来方便复习，二是练习学生的书写能力，三是可以让学生养成边听边写的学习能力，这对于提高学习效率是非常有效的。
　　第二种：错题本。
　　很多孩子都马虎，但有些马虎其实是同学对知识点理解不清晰造成的，这类的题目一定要记录下来。还有的是出题者故意设计的陷阱，这也可以记录下来，定时复习，久了之后很多马虎自然而然地就避免了。
第三种：题目分类本。
　　和错题本一样，专门记录自己做过的试题，分类指的是将自己做过的试题分为几大类，一类是极其简单，自己一看就会的。一类是有一定难度，需要思考找到突破口的，还有一类就是难度很大，需要综合运用很多知识并进行推理才能解答的，后两类都应该是我们的记录重点。在对试题分类的过程中同学自然地就增强了对试题的进一步理解。
　　第四种：旧题新解。
　　不定时的翻翻原来做过的试题，但是重点是思考有没有新的解题思路和解题技巧。这样不断地增加思考有利于形成学生思考习惯的形成，也有利于学生发散思维的形成，多角度考察问题的思路，并随时利用新学知识去解决问题。
　　第五种：学习小组。
　　定期地和小组成员分享好试题，好方法，好技巧，好经验，即可以增加同学之间的情感，又可以在交朋友的过程学习到新的东西，提高学习效率，培养合作精神，增强协调能力。
知识梳理
总结回顾
小组合作：编一道题来考一考你的同桌。