探索之旅
奥数专题6：容斥问题
容斥问题
1、什么是容斥问题
2、容斥原理
容斥原理的进阶练习
基础 详解：什么是容斥问题
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容斥问题
容—包括
斥—排除
6＋6－1=11（人）
答：共有11人。
排队问题：从前面数，从后面数，丽丽都排第6，这一排共有几个人？
洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？
8×2－7=9（个）
答：一共要9个夹子。
容斥问题
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对几个事物，如果采用两种不同的分类，那么具有性质1或性质2的事物个数等于性质1＋性质2减去它们的共同性质。
例：学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？

拉手风琴的人数：24人
弹电子琴的人数：17人
两种都会弹的人数：8人
？人
24＋17－8=33（人）
答：一共有33人。
容斥原理：
1、找分的类：2类
找1、2类共有的
2、2类的总个数等于2类的和减去它们的共有的。
五年级学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有30人，问五年级一共有多少人？

语文优秀的人数：65人
数学优秀的人数：87人
两科都优秀的人数：30
？人
65＋87－30=122（人）
答：五年级一共有122人。
四（一）班学生参加数学小组和科技小组，每个学生至少参加一个小组，有25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。那么四（一）班一共有多少人？
25＋23－19=29（人）
答：一共有29人。
例：一班有48人，班主任在班会上问：“谁做完了语文作业？请举手”有37人举手，又问：“谁做完了数学作业？请举手”有42人举人，最后问：“谁语文、数学作业都没做完？请举手”结果没有人举手。求这个班语文、数学作业都做完的人数是多少个？

做完语文的人数：37人
做完数学的人数：42人
两科做完的人数：？
48人
37＋42－48=31（人）
答：这个班语文、数学作业都做完的人数是31人。
想：
五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？

语文优秀的人数：65人
数学优秀的人数：87人
两科做完的人数：？
122人
65＋87－122=30（人）
答：语文、数学都优秀的有30人。
在1到100的全部自然数中，既不是5的倍数，也不是6的倍数有多少个？

5的倍数的个数数：
6的倍数的个数：
30的倍数的个数：
？个
100÷5=20（个）
答：有67个。
不是5的倍数；不是6的倍数；不是30的倍数
5的倍数的个数；
6的倍数的个数；30的倍数的个数
100÷6=16 （个） ……4
100÷30=3 （个） ……10
20＋16－3=33 （个）
100－33=67 （个）
例：
全班学生40人，爱好音乐的有18人，爱好舞蹈的有21，爱好美术的有9人，既爱好音乐又爱好舞蹈的有3人，既爱好音乐又爱好美术的有1人，但没有人这三种都爱好，也没有人都不爱好的。问有多少既爱好舞蹈又爱好美术？

18＋21＋9－3－1－40
=44－40
=4（人）
答：有4人既爱好舞蹈又爱好美术。
某班有学生50人，其中35人会游泳，38人会骑自行车，40人会溜冰，46人会打乒乓。问四项活动都会的至少有多少人？

一项不会的就不符合
一项不会的尽可能的多，即考虑重复的
不会游泳的：
50－35=15（人）
不会骑自行车的：
50－38=12（人）
不会溜冰的：
50－40=10（人）
不会打乒乓的：
50－46=4（人）
四项都会的至少有：
50－（15＋12＋10＋4）=9（人）
课后过关：
一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？
练习时间：容斥原理
探索之旅
五年级96名学生都订了刊物，有64人订了少年报，有48人订了小学生报，问两种刊物都订的有多少人？
64人
48人
？人（两种都订的）
96人
64+48-96=112-96=16（人）
1、一个班的52人都在做语文和数学作业，有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业，这个班语文、数学作业都做完的有多少人？
2、五年级有112人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优，其中，语文得优的有65人，数学得优的有87人，问语文、数学得优的有多少人？
3、某班有50名学生，在一次测试中有26人满分，在第二次测试中有21人满分。如果两次测试都没有得过满分的学生有17人，那么，两次测试都获满分的有多少人？
某地区的外语教师中，每人至少懂得英语和日语中一种语言。已知有35人懂英语，有34人懂日语，两种语言都懂的有21人，这个地区有多少个外语教师？
1、某校的每个学生至少爱好体育和文娱中的一种活动，已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少人？
2、某班在一次测试中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人语文、数学都未获优，这个班共有多少个学生？
3、第一小组的同学们都在两道数学思考题，做对第一题的有15人，做对第二题的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人，第一小组一共有多少人？
6÷12= 0.87-0.49= 17×40= 3.2＋1.68= 2.8×0.4=
14-7.4= 5.4×400= 5×1.06=         4.3÷0.5=             0.14×50= 
5.7－3.9=  6.3÷0.7=  3.06÷0.3= 18.2＋1.8=    9.9＋2.7= 32.1×3=     7.34－4=     0.125÷0.25=  2.56-0.37=  1.05×4=

1.5+0.25×4=              
3×0.2×0.5=         
0.84×1.60.84×0.6= 
12.5×18.5×0.8=
口算下面各题：
在100个外语教师中，懂得英语的75人，懂日语的45人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师，问：只懂英语的教师有多少人？
75+45=120（人）
120-100=20（人）
75-20=55（人）
答：只懂英语的教师有55人。
1、40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题，已知做对第一题的有30人，做对第二题的有21人，问：只做对第一题的有多少人？
巩固练习
2、五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优，已知语文65 人得优，数学78人得优，求只有语文一门得优的人数。
3、全班46名同学，仅会打乒乓球的有28人，会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人，仅会打羽毛球的有多少人？
例：学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问：这250名同学中，乒乓球组都不会参加的有多少人？
83+86-25=169-25=144（人）
250-144=106（人）
答：乒乓球组都不会参加的有106人。
1、100位旅客中，有70人懂英语，有65人懂日语，既懂英语又懂日语的有45 人，那么，既不懂英语又不懂日语的有多少人？
2、五（1）班有学生50人，在一次测试中，语文90分以上的有30人，数学90分以上的35人，语文和数学都在90分以上的有20人，90分以下的有多少人？
3、老师在统计考试成绩。数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人，两科中有一科有90分以上的有38人，问：两样都得90分以上的有多少人？
例：实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？
1、五一小学举行小学生田径运动会，其中24名运动员不是六年级的，28名运动员不是五年级的，已知五、六年级运动员共32名，五、六年级和中低年级运动员各有几名？
2、少年乐团学生中有170名不是五年级的，有135名不是六年级的，已知五六年级的共有205人，少年乐团中五六年级以外的学生共有多少人？
3、六一儿童节同学们做小花，有24朵不是红色的，有20朵不是黄色的，已知红花和黄花一共有18朵，其他颜色的花一共做了多少朵？
小结：
容斥认识
容斥原理
进阶练习