(四) 行程问题类
1.行程问题：包括相遇、追及、流水、环形、电梯等问题。
2.时钟问题：
(1)行程问题
1.基本公式:距离＝速度×时间
2.相遇追及问题
3.环形运动问题
4.流水行船问题
5.电梯运动问题
生活故事
苏步青简介：复旦大学名誉校长、中国数学会名誉理事长、中国科学院院士的苏步青（1902．9．23—）是一位德高望重的老数学家。他出生在浙江省平阳县腾蛟区带溪乡的一个农民家庭，他父母生了13个子女，他是次子。童年就要帮助家人割草、喂猪、放牛。由于家庭贫穷，六岁未能上学。他每天放牛路过私塾，就偷偷跑到窗口去偷看偷听老师教书。后来父亲看到他这么爱念书，在他9岁时全家吃杂粮，省下大米，借了几块钱，挑了一担米，带他到离家100里的平阳县唯一的一所小学当插班生。他认识了一些字后，就自己找书看，读《三国演义》、《水浒传》，甚至谈狐说鬼小孩子不容易懂的《聊斋志异》也被他翻阅了一二十遍。他除了当民盟中央参议委员会主任之外，也是中国第七、八届全国政协副主席。苏步青对中国数学学科的建设建立了功勋。他在浙大、复旦为创建国内外有影响的学科，呕心沥血，他为中国文教事业的改革也作出了不可磨灭的贡献。 他在1966年以来搞的计算几何，是他和学生刘鼎元，把代数曲线论中的仿射不变量方法，引入几何计算。他们利用这方法在船体放样，为造船工业作出了贡献。从而缩短船体建造周期，提高船体建造的质量，节省材料和工时消耗。
到了1983年，他们利用这些理论应用在设计汽车车身外形的设计。在九十年代，他们又在把这些计算几何的理论和方法，应用到开发建筑、服装、内燃机等行业的计算机辅助设计系统上。设计师可以从电脑的屏幕上修改设计方案。
生活数学：
甲、乙两人同时从两地出发，相向而行。距离是1000米，甲每分钟走120米，乙每分钟走80米，甲带着一只小狗，狗每分钟走500米，这只狗与甲一道出发，碰到乙的时候，它又掉头朝甲这边走，碰到甲的时候又往乙这边走，直到两人相遇，狗才停下来！问这只狗走了多少米？你能像苏步青一样，很快说出这道题的答案吗？
1000÷（120+80）＝5（分）
500×5＝2500（米）
答：小狗共走了2500米。
例题：两列对开的列车相遇，第一列车的车速为10米/秒，第二列车的车速为12.5米/秒，第二列车上的旅客发现第一列车在旁边开过时共用了6秒，则第一列车的长度为多少米？
    A.60米    B.75米    C.80米    D.135米
解析：这是一个典型的速度和问题，两列火车的速度和为10米/秒+12.5米/秒＝22.5米/秒，两列火车以这样的速度共同行驶了6秒，行驶的距离也即第一列火车的长度。
即22.5米/秒×6秒＝135米。
(1)行程问题
1.相遇问题
甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A，B之间这段路程，如果两人同时出发，那么
AB之间的路程=甲走的路程+乙走的路程
=甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间
=（甲的速度+乙的速度）×相遇时间
=速度和×相遇时间
“相遇问题”的核心是速度和问题。
例：两枚导弹相距41620公里，处于同一路线上彼此相向而行。其中一枚以每小时38000公里的速度行驶。另一枚以每小时22000的速度行驶。他们在碰撞前的1分钟时相距多远？（07年湖南真题）
A．4.162公里 B、41.62公里 C．1000公里 Ｄ．60000公里
解析：碰撞前的1分钟，也就是求一分钟时间内两个导弹所走的距离，60000*1/60=1000公里，答案为C
例：小赵和小李是两位竞走运动员，小赵从甲地出发，小李同时从乙地出发，相向而行，在两地之间往返练习。第一次相遇地点距甲地1.4千米，第二次相遇地点距乙地0.6千米。当他们两人第四次相遇时，地点距甲地有多远？（）
A.2.6千米B.2.4千米C.1.8千米D.1.5千米
设甲乙两地相距S千米，则
相遇次数： 1， 2， 3， 4
两人所走走程和;S， 3S， 5S， 7S
则甲乙两地相距：1.4*3-0.6=3.6千米（？）
第4次相遇时，2人共走了7S，那么小赵的路程是1.4*7=9.8
9.8/3.6=2……2.6（即9.8除以3.6等于2，余数是2.6，即，小赵从甲地走到乙地，又回到甲地，又走了2.6千米），也就是距离甲地2.6千米。
2．追及问题
有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他。这就产生了“追及问题”。实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的速度之差。如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间（追及时间）内：
追及路程＝甲走的路程－乙走的路程
＝甲的速度×追及时间－乙的速度×追及时间
＝（甲的速度－乙的速度）×追及时间
＝速度差×追及时间
 “追及问题”的核心是速度差的问题。
例题：某人在公共汽车上发现一个小偷向相反方向步行，8秒钟后他下车去追小偷，如果他的速度比小偷快一倍，比汽车慢4/5，则此人追上小偷需要（）。
A.68秒 B.78秒 C.88秒 D.98秒
可设小偷的速度为1，人的为2，则汽车为10，8秒钟的时间汽车和小偷相距（10+1）*8=88,然后人去追，88/(2-1)=88秒。
例．甲从A地步行到B地，出发1小时40分钟后，乙骑自行车也从同地出发，骑了10公里时追到甲。于是，甲改骑乙的自行车前进，共经5小时到达B地，这恰是甲步行全程所需时间的一半。问骑自行车的速度是多少公里/小时？（05年湖南真题）
A．12 B．10 C．16 D．15
解析：假设乙骑完全部路程，需要5小时-1小时40分钟=200分钟，甲需要10个小时=600分钟，则甲乙速度之比1：3，跑相同的距离时间比3:1，那么乙追了10公里追上甲，多用了1小时40分钟（100分钟），那么乙用了50分钟，乙的速度：10÷5/6=12公里/每小时
例3．一列队伍沿直线匀速前进，某时刻一传令兵从队尾出发，匀速向队首前进传送命令，他到达队首后马上原速返回，当他返回队尾时，队伍行进的距离正好与整列队伍的长度相等。问传令兵从出发到最后到达队尾行走的整个路程是队伍长度的多少倍？（湖南10年真题）
A．1.5 B．2 C． D．
解析：C。【解析】设队伍长度为1，队伍行走的速度为a，传令兵的速度为b，传令兵从出发到到达队尾的时间为t，则有
所以有:
小明和李刚从甲乙两地相向而行，小明步行从甲到乙，李刚骑车从乙到甲，48分钟相遇，相遇后两人按原有方向前进，李刚到达甲地够返回，16分钟后追上小明，李刚到达乙地后返回又遇上小明，如此周而复始，问当小明到达乙地时，李刚追上小明多少次？
A5 B 4 C 3 D 2
小明48分

甲 乙

16分钟
可求出小明与李刚速度之比1:7.所以追上三次
1） 小王从家开车上班，其实行驶10分钟后发生了故障，小王从后备箱中取出自行车继续赶路，由于自行车的车速只有汽车的3/5，小王比预计时间晚了20分钟到达单位，如果汽车再多行驶6公里，他就能少迟到10分钟，从小王家到单位的距离是（ ）公里。
A. 12 B. 14 C. 15 D. 16
2） 有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送。第一班的学生做车从学校出发的同时，第二班学生开始步行 ；车到途中某处，让第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车并直接开往少年宫。学生步行速度为每小时4公里， 载学生时车速每小时40公里，空车是50公里/小时，学生步行速度是4公里/小时，要使两个班的学生同时到达少年宫，第一班 的 学生步行了全程的几分之几？（学生上下车时间不计）
A.1/7 B.1/6 C.3/4 D.2/5
2010年真题练习：
3．流水问题
我们知道，船顺水航行时，船一方面按自己本身的速度即船速在水面上行进，同时整个水面又按水的流动速度在前进，因此船顺水航行的实际速度（简称顺水速度）就等于船速与水速的和，即
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速－水速
可推知
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2
水速=（顺水速度－逆水速度）÷2
例题2：小王从甲地到乙地，因有风，所以去时用了2个小时，回来时用了3个小时。已知甲乙两地的距离是60公里，求风速是多少？
A.5km/h   B.10km/h  C. 15km/h   D. 20km/h
解析：此题可采用代入法。也可设小王的速度为X，风速为Y，则可列如下方程：
X＋Y＝60÷2
X－Y＝60÷3
解得X＝25，Y＝5。
所以风速为5，答案为A。
例3  某船第一次顺流航行21千米又逆流航行4千米，第二天在同一河道中顺流航行12千米，逆流航行7千米，结果两次所用的时间相等，假设船本身速度及水流速度保持不变，则顺水船速与逆水船速之比是：
A.2.5：1    B.3：1    C.3.5：1    D.4：1
解析：典型流水问题。如果设逆水速度为V，设顺水速度是逆水速度的K倍，则可列如下方程：
21/KV+4/V=12/KV+7/V
将V约掉，解得K=3
所以，正确答案为B。
例题1：一条河的水流速度是2千米/小时，一只船从这条河的上游甲地顺流到达下游的丙地，然后逆流到达乙地，共用6小时。已知这条船的顺流速度是逆流速度的2倍，从甲地到乙地相距12千米。求甲丙两地的距离。
解析：先求出船在顺流中的速度。因为船在顺流中每小时要加上2千米，在逆流中要减去2千米，两者相差2+2=4(千米)，那么船在顺流的时速是4×2=8 (千米) 。所以甲到乙用1.5小时，又因为顺流速度等于逆流船速的2倍，所以船从乙到达丙所用的时间应等于船从丙到乙所用的时间的1/2。那只船从上游到下游所用的时间是1.5+4.5*1/3=3（小时），甲、丙两地相距3×8=24 (千米) 。
4．行程问题的电梯问题

电梯问题核心公式:
异向：电梯级数=（人速-电梯速）*时间，
同向：电梯级数=（人速+电梯速）*时间
例1  商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有：
A.80级    B.100级    C.120级    D.140级 
解析:若设电梯匀速时的速度为X，可列方程：
(X+2)×40=(X+3/2)×50
解得 X=0.5   也即扶梯静止时可看到的扶梯级数=（2+0.5）×40=100，所以，答案为B。
2011湖南选调：
电梯速：(2*50-16/6*30)/(50-30)=1
电梯级数=（2-1）*50=（X-1)*20
5.环形运动问题：
例1  甲、乙、丙三人沿着400米环形跑道进行800米跑比赛，当甲跑1圈时，乙比甲多跑1/7圈。丙比甲少跑1/7圈。若他们各自跑步的速度始终不变，则当乙到达终点时，甲在丙前面：
A.85米    B.90米    C.100米    D.105米
解析：此题的解题关键是要跳出微观，在宏观上进行解题。依据行程问题的公式，在时间相同的情况下，路程比等速度比，所以可知乙、甲、丙的速度比为8/7圈：1圈：6/7圈=8：7：6，所以当乙跑了2圈（800米）时，甲跑了700米，丙跑了600米。
所以，正确答案为C。
例2  甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇。已知甲每秒钟比乙每秒钟多行0.1米，那么，两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是
    A.166米    B.176米    C.224米    D.234米   
解析：此题为典型的速度和问题，为方便理解可设甲的速度为X米/分，乙的速度为Y米/分，则依题意可列方程 8X+8Y=400×3
X-Y=6 (速度差0.1米/秒=6米/分)
从而解得 X=78   Y=72
由Y=72，可知8分钟乙跑了576米，显然此题距起点的最短距离为176米。
例3甲、乙、丙三人沿湖边散步，同时从湖边一固定点出发，甲按顺时针方向行走，乙与丙按逆时针方向行走，甲第一次遇到乙后5/4分钟遇到丙，再过15/4分钟第二次遇到乙。已知乙的速度是甲的2/3，湖的周长为600米，则丙的速度为:
A.24米/分 B.25米/分 C.26米/分 D.27米/分
解析: 解题关键点为“相遇问题的核心是‘速度和’的问题”,可设甲的速度为x，则乙的速度为2/3x，又根据“甲第一次遇到乙后5/4分钟遇到丙，再过15/4分钟第二次遇到乙”，可知(x＋2/3x)×(5/4＋15/4)=600，则=72，如果设丙的速度为y，则有(x＋y)×(5/4＋15/4＋5/4)=600，从而解得y=24m/min。
行程相关习题解析：
例4  姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走40米，走了80米后姐姐去追他。姐姐每分钟走60米，姐姐带的小狗每分钟跑150米。小狗追上了弟弟又转去找姐姐，碰上了姐姐又转去追弟弟，这样跑来跑去，直到姐弟相遇小狗才停下来。问小狗共跑了多少米?
  A.600米    B.800米    C.1200米    D.1600米
解析：追及问题与路程问题结合的经典习题。
首先求姐姐多少时间可以追上弟弟，速度差=60米/分-40米/=20米/分，追击距离=80米，所以，姐姐只要80米÷20米/分=4分种即可追上弟弟，在这4种内，小狗一直处于运动状态，所以小狗跑的路程=150米/分×4分=600米。
例5  某校下午2点整派车去某厂接劳模作报告,往返需1小时。该劳模在下午1点整就离厂步行向学校走来，途中遇到接他的车，便坐上车去学校，于下午2点30分到达。问汽车的速度是劳模的步行速度的几倍?
    A.5倍    B.6倍    C.7倍    D.8倍  
解析：若接劳模往返需1小时，而实际上汽车2点出发，30分钟便回来，这说明遇到劳模的地点在中点，也即劳模以步行速度（时间从1点到2点15分）走的距离和汽车所行的距离（2点到2点15分）相等。设劳模的步行速度为A/小时，汽车的速度是劳模的步行速度的X倍，则可列方程：5/4A=1/4AX  解得 X=5（A）。
例6  两列火车相向而行，甲车V1=36km/h，乙车V2=54km/h。两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长。
    解析：V1＝10m/s, V2=15m/s。从乙车车头经过甲车乘客的车窗这一时刻起，乙车车头和甲车乘客开始作反向运动14秒，每一秒钟，乙车车头与甲车乘客之间的距离都增大（10+15）米，因此，14秒结束时，车头与乘客之间的距离为（10+15）×14＝350（米）。乙车车长就等于甲、乙两车在14秒内所走的路程之和。乙车的车长为350米。
例7 甲、乙二人从相距100千米的A、B两地同时出发相向而行，甲骑车，乙步行，在行走过程中，甲的车发生故障，修车用了1小时。在出发4小时后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度为乙的2倍，且相遇时甲的车已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少?  
解析：设乙的速度为X，则甲的速度为2X，并可列如下方程 3×2X+4X=100
解得X=10
所以，甲的速度为20千米/小时，乙的速度为10千米/小时。
例8 某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米、时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟?
 解析：列车通过隧道此过程列车所走的路程等于车长加隧道长；两车相遇，错车而过指的是从两个列车的车头相遇算起到他们的车尾分开为止，错车时间就等于车长之和除以速度之和.
设某列火车的车长为X，根据速度相等可列方程：(250+X)÷25=(210+X)÷23 ，则X=250
火车的速度为20米/秒， 72公里/时=20米/秒
错车时间为（250+150）÷（20+20）=10
真题练习：
（二）时钟问题
时钟问题的关键点：
时针每小时走30度
分针每分钟走6度
分针走一分钟(转6度)时，时针走0.5度，分针与时针的速度差为5.5度。
例1：从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线？
解析： 5时整时，分针指向正上方，时针指向右下方，此时两者之间间隔为150度，如果要成直线，则分针要超过时针180度，所以在此时间段内，分针一共比时针多走了330度。330/5.5=60分钟，也就是经过60分钟时针与分针第一次成了直线。
例2：从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？

6时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为180度。如果要第一次重合，也就是两者之间间隔变为0度，那么分针要比时针多走180度，此段时间为180/5.5=360/11分钟。
例3：时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线？

时针和分针重合，也就是两者间隔为0度，如果要成一条直线，也就是两者间隔变为180度，那么分针要比时针多走180度，此段时间为180/5.5=360/11分钟。
例4：从9点整开始，经过多少分，在几点钟，时针与分针第一次成直线？

9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为270度。如果要第一次成直线，也就是两者之间间隔变为180度，那么分针要比时针多走90度，此段时间为90/5.5）=180/11分钟。
例：.有甲、乙两只钟表，甲表8时15分时，乙表8时31分。甲表比标准时间每9小时快3分，乙表比标准时间每7小时慢5分。至少要经过几小时，两钟表的指针指在同一时刻?( )（2010河南真题）
A. 12(7/11) B.15 C.15(3/11) D. 17(8/11)
答案为C，16/(1/3+5/7)=15(3/11)
例5 从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有：
Ａ.１次 Ｂ.２次 Ｃ.３次 Ｄ.４次
解析：时针与分针成直角，即时针与分针的角度差为90度或者为270度，理论上讲应为２次，还要验证：
根据角度差/速度差 =分钟数，可得90/5.5= 16又4/11＜60，表示经过16又4/11分钟，时针与分针第一次垂直；同理，270/5.5 = 49又1/11＜60，表示经过49又1/11分钟，时针与分针第二次垂直。经验证，选B可以。
例6 在某时刻，某钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为
A.10:15 B.10:19 C.10:20 D.10:25
解析 时针10-11点之间的刻度应和分针20-25分钟的刻度相对，所以要想时针与分针成一条直线，则分针必在这一范围，而选项中加上6分钟后在这一范围的只有10点15分，所以答案为A。
设此时刻为X分钟。则6分钟后分针转的角度为6(X+6)度,则此时刻3分钟前的时针转的角度为０.5(Ｘ+３)度，以0点为起始来算此时时针的角度为0.5 (Ｘ-３)+10×30度。所谓“时针与分针成一条直线”即０.5(Ｘ-３)+10×30-6(Ｘ+6)=180度，解得Ｘ=15分钟。
真题练习：