长方体和正方体（二）
专题简析
在长方体、正方体问题中，我们还会常常遇到这样一些情况：把一个物体变形为另一种形状的物体；把两个物体熔化后铸成一个物体；把一个物体浸入水中，物体在水中会占领一部分的体积。
解答上述问题，必须掌握这样几点：
1，将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗），体积不变；
2，两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和；
3，物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。
例题1 有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水，乙水箱空着。从里面量，甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽24厘米，深25厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，现在水面高多少厘米？
典型例题精讲1
【思路导航】 由于后来两个水箱里的水面的高度一样，我们可以这样思考：把两个水箱并靠在一起，水的体积就是（甲水箱的底面积+乙水箱的底面）×水面的高度。这样，我们只要先求出原来甲水箱中的体积：40×32×20=25600（立方厘米），再除以两只水箱的底面积和：40×32＋30×24=2000（平方厘米），就能得到后来水面的高度。
练一练1：有两个水池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空着，它长6分米、宽和高都是4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高。问水面高多少？
解：设两个池中水面的高度为x米，
由题意得 8×6×x+4×4×x=8×6×3        48x+16x=144            64x=144              x=2.25． 答：水面的高度是2.25米．
计算法：总水量是8×6×3=144立方分米甲的底面积是8×6=48平方分米
乙的底面积是4×4=16平方分米两者水面高度是：144÷（48+16）=2.25（分米）
答：水面的高度是2.25米．
练一练2：有一个长方体水箱，从面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米，箱中水面高10厘米。放进一个棱长20厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面。这时水面高多少厘米？
水箱的底面积是：40×30＝1200（平方厘米）水的体积是：1200×10＝12000（立方厘米）正方体铁块的底面积是：20×20＝400（平方厘米）水箱放入正方体铁块后,底面积变成了1200－400＝800（平方厘米）现在水面高：12000÷800＝15（厘米）
答：这时水面高15厘米。
将表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。
分析 因为正方体的六个面都相等，而54=6×9=6×（3×3），所以这个正方体的棱是3厘米。用同样的方法求出另两个正方体的棱长：96=6×（4×4），棱长是4厘米；150=6×（5×5），棱长是5厘米。知道了棱长就可以分别算出它们的体积，这个大正方体的体积就等于它们的体积和。
体积=3×3×3+4×4×4+5×5×5=216立方厘米
答：这个大正方体的体积是216立方厘米。
典型例题精讲2
练一练1：:有三个正方体铁块，它们的表面积分别是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。现将三块铁熔成一个大正方体，求这个大正方体的体积。
24÷6=4（平方厘米），因为2×2=4，所以棱长是2厘54÷6=9（平方厘米），因为3×3=9，所以棱长是3厘米294÷6=49（平方厘米）因为7×7=49，所以棱长是7厘
大正方体体积：
2×2×2+3×3×3+7×7×7=378（立方厘米）答：这个大正方体的体积是378立方厘米．
练一练2：将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方体，已知这个长方体的长是13厘米，宽7厘米，求它的高。

两个正方体熔铸成一个长方体,体积不变.表面积为216平方厘米的正方体,一个面的面积为36平方厘米,棱长为6厘米,体积为6×6×6=216（平方厘米）表面积为384平方厘米的正方形,一个面的面积为64平方厘米,棱长为8厘米,体积为8×8×8=512（平方厘米）熔铸成的长方体的高为：（216+512）÷（13×7）=8（厘米）答：熔铸成的长方体的高为8厘米.
典型例题精讲3
一个长方体盛水容器的底面是一个边长60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米、底面边长15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深0.5米，如果把铁柱取出，容器里的水深将是 多少厘米？
【思路导航】将铁柱取出，下降的水的体积等于铁柱的体积，先根据长方体体积=长×宽×高计算出铁柱的体积，再除以长方体容器的底面积就可以求出下降的水的高度，用原来的高度减去下降的高度就是现在的水深．
0.5米=50厘米 50×15×15=11250（立方厘米 ）11250÷60÷60=3.125（厘米），50-3.125=46.875（厘米）．答：容器里的水深是46.875厘米．
练一练1有一块边长是5厘米的正方体铁块，浸没在一个长方体容器里的水中，取出铁块后，水面下降了0.5厘米，这长方体容器的底面积是多少平方厘米？
5×5×5÷0.5， =125÷0.5， =250（平方厘米）答：长方体容器的底面积是250平方厘米。
练一练2：有大中小三个长方形水池，它们的池口都是正方形，边长分别为6分米，3分米和2分米．现在把两堆碎石分别沉入中小两个水池内．这两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米．如果把这两堆碎石都沉入大池内，那么，大池的水面将升高多少厘米？（结果保留整数）
6分米=60厘米，3分米=30厘米，2分米=20厘米，放中池里碎石的体积：30×30×6=5400（立方厘米），放小池里碎石的体积：20×20×4=1600（立方厘米），两堆碎石总体积：5400+1600=7000（立方厘米），大水池的水面升高：7000÷（60×60）≈2（厘米），答：大水池的水面升高了2厘米．
典型例题精讲4
有一个长方体容器（如下图），长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是多少厘米？
【思路导航】首先求出水的体积30×20×6=3600（立方厘米）。当容器竖起来以后，水流动了，但体积没有变，这时水的形状是一个底面积是20×10=200平方厘米的长方体。只要用体积除以底面积就知道现在水的深度了。
30×20×6÷（20×10）=18（厘米）
答：竖起来后水深18厘米。
练一练1：有两个长方体水缸，甲缸长3分米，宽和高都是2分米；乙缸长4分米、宽2分米，里面的水深1.5分米。现把乙缸中的水倒进甲缸，水在甲缸里深几分米？
4×2×1.5÷（3×2）=12÷6，=2（分米）答：水深2分米。
练一练:2：有一块边长2分米的正方体铁块，现把它煅造成一根长方体，这长方体的截面是一个长4厘米、宽2厘米的长方形，求它的长。

2×2×2÷（4×2）=1（厘米）答：它的高是1厘米．
典型例题精讲5
一个长方体容器内装满水，现在有大、中、小三个铁球．第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次把中球取出，把小球和大球一起沉入水中，已知每次从容器中溢出的水量的情况是：第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的2.5倍．那么大球的体积是小球的多少倍？
【思路导航】
第一次从容器中溢出的水量=小球的体积V1；第二次从容器中溢出的水量+小球的体积V1=中球的体积V2；即第二次从容器中溢出的水量=中球的体积V2-小球的体积V1=3V1，V2=4V1；第三次从容器中溢出的水量+中球的体积V2=大球的体积V3+小球的体积V1； 即第三次从容器中溢出的水量=大球的体积V3+小球的体积V1-中球的体积V2=2.5V1，V3+V1-4V1=2.5V1V3=5.5V1，答：大球的体积是小球的5.5倍．
练一练1：一个正方形容器，边长是25厘米，里面注满了水，有一根长50厘米，横截面是12平方厘米的长方体铁棒，现将铁棒垂直插入水中．问会溢出多少立方厘米的水？
12×25=300（立方厘米）．答：会溢出300立方厘米的水．
练一练:2：一个长方体容器，底面是一个边长为60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米，底面边长为15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深为0.5米．现在把铁块轻轻地向上提起24厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？
15×15×24÷（60×60-15×15）=5400÷3375=1.6（厘米）24+1.6=25.6（厘米）答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长25.6厘米．