第四讲
带余数的除法
回顾整除的意义
回顾：
整除 在除法15÷3=5中，没有余数，（也可以说余数是0）我们把这种除法叫做 ，15是3的 ，也是商5的 ，除数3和商5都是被除数15的 。
他们之间有这样的关系：
15÷3=5 、 15÷5=3、 15=3×5
即 被除数÷除数=商 被除数÷商=除数
被除数=除数×商
整除
倍数
倍数
约数
也就是说：在被除数、商、余数中，知道其中任何两个，就可以求出第三个。
带余除法的意义
做除法16÷3你发现它与15÷3有什么不同： 16÷3=5……1 即16=3×5+1 ，此时被除数除以除数出现了余数，我们把这种除法叫做 。
这里，仍然把5叫做商 ，把1叫做16除以3的余数。
被除数、除数、商、余数之间的关系
被除数=除数×商+余数
带余除法
简单应用（1）被除数=除数×商+余数的应用
例1、一个数除以26，商为15，余数是12，求这个数
解：∵被除数=除数×商+余数
∴被除数=26×15+12=
例2、127除以一个数，商和余数分别是6和7，求这个数
解： ∵被除数=除数×商+余数，即127=除数×6+7
∴ 127=除数× 6+7
除数× 6=127－7=120
除数=
390+12=402
综合运用（一）被除数=除数×商+余数的应用
例1、一个两位数去除251，得到的余数是41 ，求这个两位数
解：根据被除数=除数×商+余数可知
251=除数×商+41
即210=除数×商 且除数大于41
∵210＝2×3×5×7
＝2×105＝3×70＝5×42
∴这个两位数是42或者70。
综合运用（一）被除数=除数×商+余数的应用
例2、用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16。被除数、除数、商与余数的和是933。求被除数和除数各是多少？
解 根据被除数=除数×商+余数可知
被除数=除数×40+16
由 被除数＋除数＋商＋余数＝933可得
除数×40＋16＋除数＋40＋16＝933
∴除数×40＋除数＝861 即 除数×41=861
∴除数＝861÷41＝21
被除数＝21×40＋16＝856
被除数、除数、商、余数关系应用的思路回眸
1、在 关系式 被除数=除数×商+余数 中，知道其中任何三个，就可以求出第三个。如果不能迅速地列出算式，可以将所给的条件代入关系式中寻找。
2、当题目中所给的条件与被除数，除数，商及余数有关时，常常可以考虑利用关系式被除数=除数×商+余数进行分析和解答
简单应用（2）利用余数解决排序问题
例1、如上图，含有红蓝两种颜色的一串珠子按规律穿在一条细丝线上，你能告诉大家第2011个珠子的颜色吗？
分析：所穿珠子的规律
解：这串珠子的规律是每九个为一个循环，其中的第1、3、6个是红色的，
2011÷9=223…4
所以，第2011个珠子是蓝色的。
简单应用（2）利用余数解决排序问题
例2、今天是2011年11月12日，星期六，明年的11月12日是星期几？（没写答案）

例3、某年十月里有五个星期六，四个星期天日，想一想，这年的10月1日是星期几？
解：因为10月份有31天，每周有7天 31÷7＝4………3。
根据题意可知有5天的一定是星期四、星期五、星期六。所以，10月1日是星期四。
例4、3月18日是星期日，从3月17日作为第一天往回数，[即3月16日（第二天），15日（第三天），……]的第1993天是星期几？
分析：每周有7天，
19937=284（周）……5（天）
从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天是星期二。
简单应用（2）利用余数解决排序问题
有关排序的小结
在循环排序问题中，应当首先找到排序的规律，再利用除法求出排了多少轮，余数是多少。进而得出结论。
小结与作业
今天学习了什么：
1、带余除法中的数量关系：
被除数=除数×商+余数当题目中所给的条件与被除数，除数，商及余数有关时，常常可以考虑利用关系式被除数=除数×商+余数进行分析和解答
2、排序问题：在循环排序问题中，应当首先找到排序的规律，再利用除法求出排了多少轮，余数是多少。进而得出结论。
第一次作业：课本习题四1、
补充作业
1、某年的十月份有5个星期二，4个星期三，这年的十月一日是星期几？
2、某年的二月份有5个星期一，4个星期二，二月一是星期几？
3、两个自然数相除, 商是22, 余数是8, 被除数、除数、商、余数之和为866, 那么被除数和除数分别等于多少?
4、王老师准备将872个笔记本分给六年级二班的学生，她简单计算之后，又补上21个笔记本，这样就可以将笔记本平均分给班里每个学生. 问：六年级二班有多少名学生？（47人）
补充作业
1、某年的十月份有5个星期二，4个星期三，这年的十月一日是星期几？
解：十月份有31天，31÷7＝4……3，由题意知，这一月的31日是星期二，有五天的是星期日、星期一，星期二，所以这一年的十月一日是星期日。
2、某年的二月份有5个星期一，4个星期二，二月一是星期几？
分析：如果是平年，二月份有28天，28÷7＝4。都是4天，由题意知，这一年是闰年，有29天，29÷7＝4……1，因此，二月一是星期一。
3、两个自然数相除, 商是22, 余数是8, 被除数、除数、商、余数之和为866, 那么被除数和除数分别等于多少?
解 根据被除数=除数×商+余数可知
被除数=除数×22+8
由 被除数＋除数＋商＋余数＝866可得
除数×22＋8＋除数＋22＋8＝866
∴除数×22＋除数＝828 即 除数×23=828
∴除数＝828÷23＝36
被除数＝36×22＋8＝800
4、王老师准备将872个笔记本分给六年级二班的学生，她简单计算之后，又补上21个笔记本，这样就可以将笔记本平均分给班里每个学生. 问：六年级二班有多少名学生？（47人）
分析：872加上21后是学生人数的倍数
872+21=893=19×47
第二课时
今天我们探究的问题是：
1、带余除法中余数不变的规律。
2、带余除法余数不变规律的应用——逐步满足条件法
带余除法的一些简单规律（1）
1、我们看下面的算式：
15÷6=2… …3
（15+6）÷6=
（15+6×2）÷6=
（15+6×3）÷6=
（15+6×7）÷6=
我们发现这样的规律：规律（一）
被除数加上除数的倍数后，结果的余数不变 .
也可以说：要想保持余数不变，被除数要加上除数的倍数
3… …3
4… …3
5… …3
9… …3
“被除数加上除数的倍数后，结果的余数不变 ”的简单应用
例、143除以7余3，除以8余7，除以12余11，1000以内还有这样的数吗？如果有，请写出来。
分析：
要想使余数不变，143加的必须是7、8、12的倍数，即7、8、12的最小公倍数[7,8,12]的倍数。
“被除数加上除数的倍数后，结果的余数不变 ”的简单应用
例、143除以7余3，除以8余7，除以12余11，1000以内还有这样的数吗？如果有，请写出来。
解：∵[7，8，12]=168
∴ 143+168=311 143+168×2=479
143+168×3=647 143+168×4=815
143+168×5=983
所以还有311、479、647、845、983.
带余除法的一些简单规律（2）同余规律
例、一个自然数，被4、5、6、9去除，余数都是1，试求符合条件的最小自然数。
分析：减去1后就能被4、5、6、9整除，说明它比[4,5,6,9]大1
（为什么说求最小的？）
例、一个自然数，被4除余2，被5除余3，被6除余4，被9除余7，试求符合条件的最小自然数。
如果自然数n分别除以几个除数所得的余数都是a，那么n比这几个除数的公倍数大b；
如果余数比这几个除数都小b，那么n比这几个除数的公倍数小b。
综合运用（二）同余规律的应用
例5、一个数除以3余2，除以5余3 ，除以7余2，求符合条件的最小数
解：符合条件除以3 余2，除以7余2的最小数是[3,7]+2=23，
而且23÷5=4……3
所以，符合条件的数是23
综合运用（二）同余规律的应用
例6、（课本例9）69、90和125被某个正整数N整除时，余数相同，试求N的最大值
解：∵三个数被N除余数相同，
∴N︱(90－69），即N︱21；
N︱(125－90)，即N︱35。
∴ N是21和35 的约数，
∵要求N的最大值，
∴ N是21和35的最大公约数 即N=7
综合运用（三）逐步满足条件法
例7、（课本例6）一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1.求适合条件的最小的自然数
分析:“除以5余3”，即“加上2后能被5整除”，同样，“除以6余4 ”即“加2后能被6整数”
解：[5，6] －2=28,即28适合前两个条件，通过尝试，28+[5,6] ×4=148
148÷7=21…1
并且148＜[5,6,7]=210
所以，适合条件的最小的自然数是148
课后小结
一、带余除法的意义及简单应用
二、带余除法的一些简单规律
三、综合运用的一些例子和方法
一、带余除法的意义及简单应用
简单应用（1）被除数=除数×商+余数
简单应用（2）利用余数解决排序问题
二、带余除法的一些简单规律
（1）被除数加上除数的倍数后，结果的余数不变
（2）如果自然数n分别除以几个除数所得的余数都是a，那么n比这几个除数的公倍数大a；
如果余数比这几个除数都小b，那么n比这几个除数的公倍数小b。
（3）如果两个整数a和b被自然数n除余数相同，那么这两个整数的差（大减小）一定能把n整除。反过来：如果两个整数之差恰好能把n整除，那么这两个整数除以n所得的余数一定相同。
三、综合运用的一些例子和方法
综合运用（一）
被除数=除数×商+余数的应用
综合运用（二）
同余规律的应用
综合运用（三）
逐步满足条件法
拓展练习
1、用某个自然数除300、262和205，得到相同的余数，问这个自然数是几？
2、在1-400的自然数中，被3，5，7除的余数都是2的数共有多少个?
拓展练习参考答案
1、用某个自然数除300、262和205，得到相同的余数，问这个自然数是几？
解：设这个自然数为N，
∵“某个自然数除300、262和205，得到相同的余数，”
∴N∣(300－262)，即N∣38
N∣(262－205)，即N∣57
∴ N是38和57的公约数。
∵ (38,57)=19
∴这个自然数是19
3、在1-400的自然数中，被3、5、7除的余数都是2的数共有多少个?
解：被3、5、7除余数都是2的数，是比3、5、7的公倍数大2的数
∵ [3，5，7] ＝105
∴105×1＋2＝107
105×2＋2＝212
105×3＋2＝317
答：符合条件的自然数共有三个，
它们是107、212和317。.
4、一个自然数分别去除83, 213, 二个余数的和是9,问：这二个余数中最小的一个是多少？
分析：因为两个余数的和是9，去掉9后，两个数的和一定是除数的倍数。
解：（83＋213）－9＝287＝7×41
83÷7＝11………6
213÷7＝30………3
83÷41＝2………1
213÷41＝5………8
答：这二个余数中最小的一个是1。
5、王老师准备将872个笔记本分给六年级二班的学生，她简单计算之后，又补上21个笔记本，这样就可以将笔记本平均分给班里每个学生. 问：六年级二班有多少名学生？
分析：由题意知，872加上21后是显示人数的倍数，即班级人数是893的约数
解：∵ 893＝19×47
又∵六年级二班的人数不可能是19，
∴六年级二班的人数是47人。
逐步满足条件法
3、一个数被5除余4，被7除余3，被6除余4 ，这个数最小是多少？（逐步满足条件法）
解：由除以5余4，除以6余4，可知，
这个数应当是5和6 的公倍数加4，
[5,6] ＝30，4＋ [5,6] ＝4＋30＝34，
经试验可知：34＋30×2＝94，符合条件，
所以这个数最小是94。
被除数、除数、商、余数的关系
4、被除数除以除数，商8，余数是14，被除数、除数商、余数的和是351。求被除数与除数。
解 根据被除数=除数×商+余数可知
被除数=除数×8+14
由 被除数＋除数＋商＋余数＝.351可得
除数×8＋14＋除数＋8＋14＝351
∴除数×8＋除数＝315 即 除数×9=315
∴除数＝315÷9＝35
被除数＝35×8＋14＝294
逐步满足条件法
5、一个数除以4余3，除以6余5，除以7余1，这个数最小是多少？
解：由除以4余3，除以6余5，可知，
这个数应当比4和6 的公倍数少1，
[4,6] ＝12， [4,6] 1＝11，
经试验可知：11＋12×5＝71，符合条件除以7余1，
所以这个数最小是71。
逐步满足条件法
6、小青有一盒巧克力，7粒一数还少3粒。5粒一数又多2粒，3粒一数正好。这盒巧克力至少有多少粒？
解：“5粒一数多2粒”其实是少3粒，
由条件“7粒一数还少3粒，5粒一数又多2粒，”可知，
总粒数比7和5的公倍数少3粒，
[7,5] －3＝32，
经试验可知，32＋35×2＝32＋70＝102符合条件“3粒一数正好”，（或者35×3－3＝102）
所以这盒巧克力至少有102粒。
7、有苹果、橘子个一筐，苹果有240个，橘子有313个，把这两筐水果分给一些小朋友，已知苹果分到最后余两2个，橘子分到最后还余7个。求最多有多少个小朋友？
分析：从240个苹果里减去2个，恰好分完，从313个橘子里减去7个，也恰好分完，因此，小朋友的人数应当是238和306的公约数中的最大公约数。