第十九讲 数论问题
知识点梳理
我们常见的形式有数字谜，计数，行程，综合应用题等。涉及到我们学过的因数、倍数、余数、分解质因数、整除性等知识点。所以要求同学们一定打好基础，熟练掌握，才能灵活应用。解决数论题目的主要方式就是——分解质因数(把合数表示质数乘积的形式)，我们一定要有分拆、分解、分类讨论的思想意识。
一、 整除的特征：
（1）2的倍数特征：末位数是0、2、4、6、8的数.
（2）3、9的倍数特征：各位数之和是3的倍数或9的倍数.
（3）5的倍数特征：末位数是0或5.
（4）4的倍数特征：末两位数是4的倍数.
（5）8的倍数特征：末3位数是8的倍数.
（6）11的倍数特征：奇位数字之和与偶位数字之和的差是0或11的倍数.
二、分解质因数：指的就是把一个合数表示成质数乘积的形式的过程。
唯一分解定理：
　　那么N的因数个数n=（1+p1）×(1+p2) ×…(1+pn)
三、辗转相除法
辗转相除法主要针对两个较大数求最大公因数而言的。
就是用其中较大数除以较小数，得余数r1;接下来每一步都用上一步的除数除以余数r2…以此类推，直到除尽为止，最后一步除数就是它们的最大公因数。
典型例题精讲
例1. 9600共有多少个因数？
解 析
9600=
因数个数=（7+1）×（1+1）×（2+1）
= 48（个）
例2. 七位数A1994BC能被9, 5和8整除，试确定数字A、B、C的值。
解 析
（1）此七位数可被5整除,则个位必须为0或5;
此七位数又可被8整除,则个位数"C"一定是0.
（2）七位数可被8整除,则后三位数"4B0"可被8整除,
故B只能为0、4或8。
（3）七位数又能被9整除,则各位数字之和可被9整除.
故当B=0时,A=4; 当B=4时,A=9; 当B=8时,A=5.
所以符合条件的七数为4199400、9199440或5199480。
原数：A1994BC
例3. 求2821和1519的最大公因数。
解 析
辗转相除法求最大公因数
2821÷1519=1……1302
1519÷1302=1……217
1302÷217=6
（2821,1519）=217
例4.有一个三位数，被4除余1，被5除余4，被7除余2，这个数最小是多少？
解 析
设这个数为X, X÷4=A……1
X÷5=B……4
X÷7=C……2
每个算式中，每次商减一，余数就增加一个
除数，这样可以得到同余是“9”，再求4、5、
7的最小公倍数是140，再加9等于149。
例5. 要使185×84×135×52×（ ）乘积的末五位数都是0，（ ）中应填入的自然数最小值是多少？
解 析
要使乘积末五位都是0，就要使这五个因数中有5个2和5个5。所以要把这四个数分解质因数，看缺少几个5和几个2，括号里就填出它们的乘积。
解: 185=5×37 共有4个2和2个5
135=5×27 缺少3个5和1个2
84=2×2×21 5×5×5×2=250
52=2×2×13 答：括号里填250。
例6. 有一个整数，用它去除70、110、160所得的三个余数之和是50，这个整数是多少？
解 析
把三个数加起来的和减去50，把所得的差分解，可以求出这个整数。
70+110+160-50=290
290=29×10
这个整数就是29。
例7. 四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克如下:8、9、10、11、12、13。已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?
解 析
每个瓶子称3次，所以把称量的结果之和除以3得到各称量一次的和。
8+9+10+11+12+13=63（千克）， 63÷3=21 （千克），
21= 19+2， 所以油重19千克，四只瓶子共重2千克， 每只瓶重2÷5=0.5千克， 最重的是13-0.5×2=12千克。
例8. 商店有6箱货物，分别重15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克，两个顾客买走了其中的5箱，其中一个顾客买走的货物质量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的这箱货物重多少千克？
解 析
因为拿走的一定是3的倍数，把所有的数加起来，再减去20才是3的倍数，所以，剩下的是20千克。
15+16+18+19+20+31=119千克
1+1+9=11 11不是3的倍数，
11-2=9 ， 9是3的倍数。
答：剩下的是20千克。
例9. 两个自然数的积是5766，这两个数的最大公因数是31，求这两个数。
解 析
两个数的乘积等于最大公因数和最小公倍数的乘积，所以，用它们的积除以最大公因数等于最小公倍数，再用最小公倍数除以最大公因数，将得数分解质因数，再乘以最大公因数就是所求的这两个数，注意讨论符合条件的数可能不止一组。
5766÷31÷31=6 6=2×3=1×6 1×31=31, 6×31=186; 2×31=62,
3×31=93
答案有两组：31,186和62,93，
例10. 某校2012年的学生人数是个完全平方数，2013年的学生人数比上一年多101人，这个数字也是一个完全平方数。该校2013年的学生人数是多少人？
解 析
设2012有学生 人，2013年有学生 人，


（y+x)×(y-x)=101
101=101×1 y=51
x+y=101 x=50
y-x=1 51×51=2601（人）
课后作业
2001个连续的自然数之和为a×b×c×d，若a、b、c、d都是质数，则a+b+c+d的最小值是多少？
祝你学习愉快！