小学奥数平面几何五大定律
1.等积模型
2.鸟头定理
3.蝴蝶定理
4.相似模型
5.燕尾定理
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如右图
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图
反之 ，如果，则可知直线AB平行于CD
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在∆ABC中，D,E分别AB,AC是上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上如图 (2))则
图（1）
图（2）
三、蝴蝶定理
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
①
②
③ S的对应份数为
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
②
①
或者
四、相似模型
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．
(一)金字塔模型
(二) 沙漏模型
① ②
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
五、燕尾定理
在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么 ．
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为∆ABO和∆ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
【例 2】长方形的面积为36 ，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？
【解析】特殊点法．找的特殊点，把点H与点D重合，那么图形就可变成上右图：
这样阴影部分的面积就是∆DEF的面积，根据鸟头定理，则有：
即
【例 3】如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB=8，AD=15，四边形EFGO的面积为多少？
【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积．
由于长方形ABCD的面积为15×8=120，所以三角形BOC的面积为120÷4=30，所以三角形AOE和DOG的面积之和为
又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为
所以四边形EFGO的面积为30-20=10．
【例 4】如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是多少？
【解析】连接AF，BD，
根据题意可知CF=5+7+15=27，DG=7+15+6；
所以，
于是：
可得 ．故三角形ADG的面积是40．
可得 ．故三角形ADG的面积是40．
【例 6】如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2CB，GD=3DC，HA=4AD，平行四边形ABCD的面积是2， 求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．
【解析】连接AC，BD，根据共角定理
所以
又
同理可得
所以
所以
【例7】如图所示的四边形的面积等于多少？
【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：
因此，原来四边形的面积为12×12=144.(也可以用勾股定理)
把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三角形 OCD的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.
【例 8】如图所示，∆ABC中， ，AB=3，BC=5，以AC为一边向∆ABC外作正方形ACDE，中心为O，求∆OBC的面积．
【解析】如图，将∆OAB沿着点O顺时针旋转 ，到达∆OCF的位置．
由于OB=OF， ，所以∆BOF是等腰直角三角形，且斜边

BF为5+3=8，所以它的面积为
由于 ，所以 ，而
所以 ， ， 那么B、C、F三点在一条直线上．
根据面积比例模型，∆OBC的面积为 ．
【例 11】如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，∆CEF、∆OEF、∆ODF、∆BOE的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求∆OCF的面积；⑵求∆GCE的面积．
【解析】根据题意可知，∆BCD的面积为2+4+4+6=16，那么∆BCO和∆CDO的面积都是16÷2=8，所以∆OCF的面积为8-4=4；
所以
由于∆BCO的面积为8，∆BOE的面积为6，所以∆OCE的面积为8-6=2，根据蝴蝶定理，
那么
【例12】如图，长方形ABCD中，BE:EC=2:3，DF:FC=1:2，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积．
【解析】连接AE，FE(如右图）
又因为
因为BE:EC=2:3，DF:FC=1:2，
所以
又因为 ，
所以
所以长方形ABCD的面积是72平方厘米．
【例13】如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求阴影部分的面积 ．
【解析】如右图所示，连接AC、EF．设AF、CE的交点为N．
在梯形AEFC中，由于EF：AC=1：2，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为1：2：2：4：，所以三角形EFN的面积为 ，那么四边形的面积为 ．
可知AC∥EF且AC=2EF．那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的1/4，所以三角形BEF 的面积为1/8，梯形的面积为3/8
而图中四个空白四边形的面积是相等的，所以图中阴影部分的面积 ．
【例14】如图，已知正方形ABCD的边长为4，F是边BC的中点，E是边CD上的点，且DE：EC=1：3，AF与BE相交于点G，求
【解析】连接AE，延长AF与DC的延长线交于点M，．
又CE=3，所以EM=7，则GB：GE=AB：EM=4：7 ．
因为F是边BC的中点，所以CM=AB=4
所以
【例 15】如图，ABCD为正方形，AM=NB=DE=FC=1cm且MN=2cm，请问四边形PQRS的面积为多少？
【解析】由AB∥CD，有 ，所以PC=2PM
所以
又 ，所以
所以
【例 18】如图，面积为1的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求阴影部分面积.
【解析】令BI与CD的交点为M，AF与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP。
设 份，则 份 ， 份， 份
⑴求 ：
所以
所以
所以
同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是∆ABC面积的
在∆ABC中，根据燕尾定理，
【例 18】如图，面积为1的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求阴影部分面积.
（2）求 ：在∆ABC中，根据燕尾定理，
所以
同理
所以
同理另外两个五边形面积是∆ABC面积的 ，
在∆ABC中，根据燕尾定理，
所以
所以