加法原理与乘法原理
专题简析
加法原理和乘法原理是计数研究中最常用、也是最基本的两个原理．所谓计数，就是数数，把一些对象的具体数目数出来．当然，情况简单时可以一个一个地数．如果数目较大时，一个一个地数是不可行的，利用加法原理和乘法原理，可以帮助我们计数
加法原理完成一件工作有n种方式，用第1种方式完成有m1种方法，用第2种方式完成有m2种方法，…，用第n种方式完成有mn种方法，那么，完成这件工作总共有m1+m2+…+mn种方法．．

1. 加法原理
设完成一件事有m种方式，
第一种方式有n1种方法，
第二种方式有n2种方法,
…；
第m种方式有nm种方法,
无论通过哪种方法都可以完成这件事，
则完成这件事总共
有n1 + n2 + … + nm
种方法 .
例如，某人要从甲地到乙地去,
可以乘火车,
也可以乘轮船.
火车有两班
轮船有三班
乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?
3 + 2 种方法
回答是
2. 乘法原理
设完成一件事有m个步骤，
第一个步骤有n1种方法，
第二个步骤有n2种方法,
必须通过每一步骤,才算完成这件事，
例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？
乘法原理和加法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础 .
3、排列：一般地，从n个不同的元素中任取出m个（m≤n）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样．如果两个排列的元素不完全相同．或者各元素的排列顺序不完全一样，则这就是两个不同的排列。
从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作 。
m = n时称全排列
例如：n=4, m =3
第1次选取
第2次选取
第3次选取
4、组合：一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合。

从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作 。
组合数公式: 从n个不同元素取 m个
（1 m n)的不同组合总数为：
你能证明吗？
一般地，求从n个不同元素中取出m个元素排成一列的排列数 可以分两步求得：
　　第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有 种方法；
　　 第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有 种排法.
　　故由乘法原理得到：
　 = ·
　　
因此
　　              
　　

这就是组合数公式.
例如，
从A城到B城有三种交通工具：火车、汽车、飞机．坐火车每天有2个班次；坐汽车每天有3个班次；乘飞机每天只有1个班次，那么，从A城到B城的方法共有2+3+1=6种．
乘法原理完成一件工作共需n个步骤：完成第1个步骤有m1种方法，完成第2个步骤有m2种方法，…，完成第n个步骤有mn种方法，那么，完成这一件工作共有m1×m2×…×mn种方法．
例如:
从A城到B城中间必须经过C城，从A城到C城共有3条路线(设为a，b，c)，从C城到B城共有2条路线(设为m，t)，那么，从A城到B城共有3×2=6条路线，它们是：am，at，bm，bt，cm，ct．
下面我们通过一些例子来说明这两个原理在计数中的应用．
例1、利用数字1，2，3，4，5共可组成：
(1)、多少个数字不重复的三位数？
(2)、多少个数字不重复的三位偶数？
(3)、多少个数字不重复的偶数？
解： (1)百位数有5种选择；十位数有4种选择；个位数有3种选择．
所以共有5×4×3=60个数字不重复的三位数．
(2)先选个位数，共有两种选择：2或4．在个位数选定后，十位数还有4种选择；百位数有3种选择．
所以共有2×4×3=24个数字不重复的三位偶数．
(3)分为5种情况：
一位偶数，只有两个：2和4．
二位偶数，共有8个：12，32，42，52，14，24，34，54．
三位偶数由上述(2)中求得为24个．
四位偶数共有2×(4×3×2)=48个．
括号外面的2表示个位数有2种选择(2或4)．
五位偶数共有2×(4×3×2³1)=48个．
由加法原理，偶数的个数共有2+8+24+48+48=130．
例2、从1到300的自然数中，完全不含有数字3的有多少个？
解法一
将0到299的整数都看成三位数，其中数字3不出现的，百位数字可以是0，1或2三种情况．十位数字与个位数字均有九种，
因此除去0共有3×9×9-1=242(个)．
解法二
将符合要求的自然数分为以下三类：
(1)、一位数，有1，2，4，5，6，7，8，9共8个．
(2)、二位数，在十位上出现的数字有：
1，2，4，5，6，7，8，9的有8种情形，在个位上出现的数字除以上八个数字外还有0，共9种情形，
故二位数有：8×9=72个．
(3)、三位数，在百位上出现的数字有1，2两种情形，在十位、个位上出现的数字则有0，1，2，4，5，6，7，8共9九种情形，
故三位数有：2×9×9=162个．
因此，从1到300的自然数中完全不含数字3的共有：8+72+162=242个．
例3、在小于10000的自然数中，含有数字1的数有多少个？
解 ：不妨将1至9999的自然数均看作四位数，凡位数不到四位的自然数在前面补0．使之成为四位数．
先求不含数字1的这样的四位数共有几个，即有0，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字所组成的四位数的个数．由于每一位都可有9种写法，所以，根据乘法原理，由这九个数字组成的四位数个数为：9×9×9×9＝6561，
其中包括了一个0000，它不是自然数，所以比10000小的不含数字1的自然数的个数是6560，于是，小于10000且含有数字1的自然数共有9999-6560=3439个．
例4、求正整数1400的正因数的个数．
解 ：因为任何一个正整数的任何一个正因数(除1外)都是这个数的一些质因数的积，因此，我们先把1400分解成质因数的连乘积1400=
所以这个数的任何一个正因数都是由2，5，7中的n个相乘而得到(有的可重复)．于是取1400的一个正因数，这件事情是分如下三个步骤完成的：
说明 ： 利用本题的方法，可得如下结果：若pi是质数，ai是正整数(i=1，2，…，r)，则数

的不同的正因数的个数是(a1+1)(a2+1)…(ar+1)．
例5 、求五位数中至少出现一个6，而被3整除的数的个数．
解：因为五位数被整除的充要条件是a1+a2+a3+a4+a5能被3整除。
于是分别讨论如下：
(1)、从左向右计，如果最后一个6出现在第5位，即a5=6，那么a2，a3，a4可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字之一，但a1不能是任意的，它是由a2+a3+a4+a5被3除后的余数所决定．因此，为了保证a1+a2+a3+a4+a5能被3整除，a1只有3种可能，
根据乘法原理，5位数中最后一位是6，而被3整除的数有：3×10×10×10=3000(个)．
(2)、最后一个6出现在第四位，即a4=6，于是a5只有9种可能(因为a5不能等于6)，a2，a3各有10种可能，为了保证a1+a2+a3+a4+a5被3整除，a1有3种可能．根据乘法原理，属于这一类的5位数有3×10×10×9=2700(个)．
(3)、最后一个6出现在第3位，即a3=6，被3整除的数应有3×10×9×9=2430(个)．
(4)、最后一个6出现在第2位，即a2=6，被3整除的数应有3×9×9×9=2187(个)．
(5)、a1=6，被3整除的数应有3×9×9×9=2187(个)．
根据加法原理，5位数中至少出现一个6而被3整除的数应有
3000+2700+2430+2187+2187=12504(个)．
例 6、如图1－63，A，B，C，D，E五个区域分别用红、蓝、黄、白、绿五种颜色中的某一种着色．如果使相邻的区域着不同的颜色，问有多少种不同的着色方式？
解：对这五个区域，我们分五步依次给予着色：
(1)、区域A共有5种着色方式；
(2)、区域B因不能与区域A同色，
故共有4种着色方式；
(3)、区域C因不能与区域A，B同色，
故共有3种着色方式；
(4)、区域D因不能与区域A，C同色，
故共有3种着色方式；
(5)、区域E因不能与区域A，C，D同色，
故共有2种着色方式．
于是，根据乘法原理共有
5×4×3×3×2=360种不同的着色方式．
例7、在6×6的棋盘上剪下一个由四个小方格组成的凸字形，
如图1－64，有多少种不同的剪法？
解：我们把凸字形上面那个小方格称为它的头，每个凸字形有并且只有一个头．
凸字形可以分为两类：
第一类：凸字形的头在棋盘的边框，但是棋盘的四个角是不能充当凸字形的头的．于是，边框上(不是角)的小方格共有4×4=16个，每一个都是一个凸字形的头，所以，这类凸字形有16个．
第二类：凸字形的头在棋盘的内部，棋盘内部的每一个小方格可以作为4个凸字形的头(即头朝上，头朝下，头朝左，头朝右)，所以，这类凸字形有4×(4×4)=64(个)．
由加法原理知，有：
16+64=80种不同的凸字形剪法．
1．把数、理、化、语、英5本参考书，排成一行放在书架上．
(1)、化学不放在第1位，共有多少种不同排法？
(2)、语文与数学必须相邻，共有多少种不同排法？
(3)、物理与化学不得相邻，共有多少种不同排法？
(4)、文科书与理科书交叉排放，共有多少种不同排法？
2．在一个圆周上有10个点，把它们两两相连，问共有多少条不同的线段？
3．用1，2，3，4，5，6，7这七个数，
(1)、可以组成多少个数字不重复的五位奇数？
(2)、可以组成多少个数字不重复的五位奇数，但1不在百位上？
4．从1，2，3，4，5这五个数字中任取三个数组成一个三位数，问共可得到多少个不同的三位数？
5．由1，2，3，4，5，6这六个数字能组成多少个大于34500的五位数？
6．今有一角币一张，两角币一张，伍角币一张，一元币四张，伍元币两张，用这些纸币任意付款，可以付出不同数额的款子共有多少种？
7．将三封信投到5个邮筒中的某几个中去，有多少种不同的投法？
8．从字母a，a，a，b，c，d，e中任选3个排成一行，共有多少种不同的排法？
努力学习