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一、点、线、面间关系的转化
立体几何的知识告诉我们，最核心的内容是线面间的的垂直、平行关系，而它们又通过判定定理、性质定理而相互转化。定理的应用过程实质上就是下述诸关系的联系与转化。
例1. (如图) 二面角α— AB —β的平面角为 300，在β上作AD⊥AB，AD=10，过D作 CD⊥α于D,若∠ACB = 600，求AC与BD的 距离。
解
作BE∥AC，CE∥AB,连EC,ED，则AC∥面BCE，直线AC到面BDE的距离就是AC到BD的 距离.这时，AC上任一点到面BDE的距离就是所求.
由DC⊥α知，DC⊥AC;又AD⊥ AB，根据三垂线定理 ，AC⊥ AB.但AB∥AC,故AC ⊥ CE.从而AC ⊥ 面CDE 。又 BE∥AC ,得BE ⊥ 面CDE, 进而面BDE⊥面CDE，
三个步骤:
一、线线距离转化为线面距离
E
二、再转化为点面距离
三、计算距离
解法二 用体积法计算 VD-BCE=VC-BDE.
解法三 外接于一个长方体用补形的方法解决
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D
二、 平 面 化 的 思 考
在空间,选取一个恰当的平面,使问题在这个平面上获得突破性的进展,甚至全部解决,是一种自然而重要的思考,怎样选取平面呢?有以下几个主要方法
1、 截面法
2、隔离法
3、展平法
4、投影法
例2、 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设∆C1 D1 B 所在的半平面为α ，∆C D1 B所在的半平面为 β，BD1 所在的直线是 α与 β 的交线。求二面角 α—BD1 —β 的度数
M
N
因为二面角的平面角的度数是由相应平面角的来表示的，所以解题的一个方向是找平面角。
分析
解
在平面 A B C1 D1 上，由点 A 向 B D1 引垂线，与BD 1 交于M,与BC1 交于N，连CM，由于正方体关于面BB1D1D的对称性，必有CM⊥BD1 ，因此， ∠ NMC就是二面角的平面
设正方体的棱长为，则AC2
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1答案
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练习.（2006天津）在一个棱长为5的正
方体封闭的盒内，有一个半径等于1的
小球，若小球在盒内任意地运动，则
小球达不到的空间的体积的大小等于 __
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变式五
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例3、若空间四边形的两组对边相等，则两条对角线的中点连线垂直对角线。
三、 图 形 变 换
证明 如图，空间四边形ABCD中，M,N是对角AC,BD的中点，现将A与C交换,B与D交换，得到同一位置的空间四边形，而这个四边形又可看作一个绕着某一轴（轴对称）旋转1800 得到另一个，由A与C关M于对称，B与D关于N 对称知，对称轴必经过MN，从MN⊥AC，MN⊥BD。
图形变换包括
1、空间的对称
2、空间的旋转
3、空间的折叠
4、空间的展平
直观上补充成为长方体，则MN是上下底面中心的连线，它与上下底面都垂直，当然是同时垂直于AC,BD.
例4、 如图，已知给一个长方体，其共顶点的3条棱互不相等，现在要由一顶点沿表面到对角顶点，求最短的线路。
分析：
将长方体各面展于同一平面上（可省去底面ABCD）由两点间距离最短知，
有三条相对短的走法，设三条共点棱长为AB=a, AD=b， AA1 =c，且由勾股定理可算 得AFC1最短。
F
F
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思考一．(2005全国)如图，ABCD为正方体。任作平面 与对角线 垂直，使得 与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长L为 .则（ ）
A．S为定值，L 不为定值
B．S不为定值， L为定值
C．S与 L均为定值
D．S与L 均不为定值
五、 基 本 图 形 法
立体几何中的基本图形是正方体，熟练掌握正方体的基本性质和各类线面关系，对于解题是非常有益的，一旦遇到新问题，我们或者补充为一个正方体，或者分割成几个正方体，“能割善补”是学习立体几何的诀窍。
解法一 （分割）将
立体图形分割为一个正六棱锥P—ABCDEF与三个三棱锥P—GAF, P—HBC,P—KDE之和。
解法二 （补充）将立体图形补充为一个正方体如图，
得
则所求的立体图形体积是正方体体积的一半
六、 投 影 法
投影是实现平面化思考的一条途径,同时也是处理更广泛空间问题的一个通法.
A2
B2
C2
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思考二．（2006年南昌市）棱长为1的正四面体在水平面上的正投影面积为s ,则 s的最大值为_ _.
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S△BCD^2=S△ABC^2+S△ACD^2+S△ADB^2 ① 很关键，r=(S△ABC+S△ACD+S△ADB-S△BCD)/(AB+AC+AD)先根据r=3V/(S△ABC+S△ACD+S△ADB+S△BCD)再由目标形式构造平方差由①进行化简，就出来的。后面那个可以由体积公式的变形得出。再次感谢！
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