平衡问题探骊
物体平衡的种类
模型特征
O
稍微偏离原平衡位置后能回到原位置
模型特征
稍微偏离原平衡位置后不能回到原位置
模型特征
能在随机位置保持平衡
O
平衡位置是位能最低的位置
判断物体平衡种类的一般操作
对由重力与支持力作用下的平衡
设计一个元过程，即设想对物体施一微扰，使之稍偏离原平衡位置．
或从能量角度考察受扰动后物体重心位置的高度变化，根据重心是升高、降低还是不变来判断物体原本是稳定平衡、不稳定平衡或是随遇平衡；
为比较扰动前后物体的受力与态势，要作出直观明晰的图示；由于对微扰元过程作的是“低细节”的描述，故常需运用合理的近似这一数学处理手段．
或从受力角度考察受扰动后重力作用点的侧移量，即重力对扰动后新支点的力臂，从而判断物体原来的平衡态属于哪一种．
依问题的具体情况，择简而从．
如图所示，一个熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率半径分别为a、b且长轴的长度为l，蛋圆的一端可以在不光滑的水平面上稳定直立．求蛋尖的一端可以在一个半球形的碗内稳定地直立，碗的半径r需满足的条件．
专题3-问题1
考察质心位置的高度变化
蛋圆在水平面处稳定平衡,应满足
B
A
b
a
l
R
低细节
描述
蛋尖在球形碗内处稳定平衡,应满足
微扰情况下α、β为小量，
整理得
碗的半径
续解
M
N
α-β
C
A
B
蛋尖在球形碗内处稳定平衡,应满足
续解
续解
考察质心位置侧移量
蛋处于稳定平衡的条件是:重力对扰动后新支点N的力矩可使蛋返回原位，即满足
低细节
描述
碗的半径
如图所示，杆长l=a+b,质心在C点,杆的A、B两端分别支于互相垂直的两个光滑斜面上而处于平衡.试问在图示位置时,此杆的平衡是稳定平衡、随遇平衡还是不稳定平衡？并证明之.
专题3-问题2
先研究三力杆平衡时的几何位置特点:
A
B
a
b
O
在△BOC中由正弦定理:
证明
FA
FB
G
证法一:
考察质心位置的高度变化
扰动后当杆处于与右斜面成夹角φ方位时
已有
结论
质心C的高度有最大值
受扰动后杆质心降低,属
不稳定平衡
续解
证法二:
考虑质心对杆的瞬时转动中心的侧移量
O
原平衡位置时杆的瞬时转动中心为O
如示扰动后杆的瞬时转动中心为O′
此时,重力对O的力矩为0
此时,
不稳定平衡
a
b
如图所示，课桌面与水平面夹角成α，在桌面上放一支正六棱柱形铅笔，欲使铅笔既不向下滚动、又不向下滑动．试求：⑴在此情况下铅笔与桌面的静摩擦因数μ．⑵铅笔的轴与斜面母线（斜面与水平面的交线）应成多大的角度放置？
专题3-问题3
考虑不滑动
铅笔在斜面上恰不滑动,有
摩擦角恰为斜面倾角
α
φ
若满足
笔不会因滑动而破坏平衡!
考虑不滚动
低细节
描述
笔所受重力作用线不超出斜面对笔的支持面!
应满足
放置笔时笔的轴线与斜面母线所成角
笔不会因滚动而破坏平衡!
B1
B
O
A
C
a
过笔质心的横截面
临界状态下
续解
重力作用线
飞檐问题：如图所示，建造屋顶边缘时，用长度为L的长方形砖块，一块压着下面一块并伸出砖长的1/8，如果不用水泥粘紧，则最多可以堆几层同样的砖刚好不翻倒？这样的几层砖最多可使屋檐“飞”出多长？
专题3-问题4
L
若共堆n层、每块伸出1/8的砖而恰未翻倒
C全
nG
1
2
3
n
最上1层砖恰不翻倒,最多伸出
最上2层砖恰不翻倒,最多伸出
最上3层砖恰不翻倒,最多伸出
以此类推，7层砖的最大伸出
如图所示，一矩形导电线圈可绕其中心轴O转动．它处于与轴垂直的匀强磁场中，在磁场的作用下，线框开始转动，最后静止的平面位置是图中的
小试身手题1
A
B
B
B
O
C
B
O
D
B
O
选项A
不稳定平衡
选项B
稳定平衡
选项C
不稳定平衡
选项D
不稳定平衡
图中每一系统的两个球都用一跨过滑轮的线联结起来，问每一种情况各属哪种平衡？
小试身手题2
随机平衡
稳定平衡
不稳定平衡
给两小球线绳系统一扰动,从受力角度考察受扰动后,两小球重力沿绳方向力的合力指向,从而判断平衡种类!
如图所示装置，它是由一个长L的木钉、从木钉上端向左右斜伸出两个下垂的、长为l的细木杆，以及在木杆的末端装有质量同为m的小重球而组成．木钉及木杆的质量可忽略，木杆与木钉间夹角为α，此装置放在硬质木柱上，则l、L、α间应当满足______________关系才能使木钉由垂直位置稍微偏斜后，此装置只能以O点为支点摆动而不致倾倒．
小试身手题3
为满足题意即系统处于稳定平衡,给系统一扰动, 两小球重力对O的力矩应能使系统回到原位!
原平衡位置时
受一微扰后
不能回到原位
原平衡位置时
受一微扰后
能回到原位
如图所示,长度为2L、粗细均匀的杆，一端靠在铅直的墙上，而另一端靠在不动的光滑面上．为了使杆即使没有摩擦仍能在任意位置处于平衡，试写出这个表面的横截线的函数表达式Ｙ(x) （杆总是位于垂直于墙面的竖直平面内）
小试身手题4
为满足题意即杆处于随遇平衡,应使杆的重心始终在x轴!
(0,)
(x,y)
表面的横截线满足
该表面为椭球面的一部分
如图所示,两个质量分别为m1和m2的小环能沿着一光滑的轻绳滑动．绳的两端固定于直杆的两端，杆与水平线成角度θ．在此杆上又套一轻小环，绳穿过轻环并使m1、m2在其两边．设环与直杆的接触是光滑的，当系统平衡时， 直杆与轻环两边的绳夹角为φ． 试证：
小试身手题5
m2
θ
m1
同一光滑绳上张力处处相同设为FT,
φ
φ
FT
两小环平衡,分析受力如图:
FT
由力矢量三角形:
一根质量为m的均匀杆，长为L，处于竖直的位置，一端可绕固定的水平轴转动．有两根水平轻弹簧，劲度系数相同，把杆的上端拴住，如图所示，问弹簧的劲度系数k为何值时才能使杆处于稳定平衡？
小试身手题6
为使杆处于稳定平衡,给杆一扰动,弹簧拉力对O的力矩应大于杆重力矩!
FT
即
其中
得
FT
如图所示,一块厚d的木板位于半径为R的圆柱上，板的重心刚好在圆柱的轴上方．板与圆柱的一根摩擦因数为μ．试求板可以处于稳定平衡状态的条件．
小试身手题7
R
C
令板从原平衡位置偏转一小角度α
板处于稳定平衡条件是重心升高!
以圆柱轴为参照,原板重心高度
扰动后重心高度
α
应有
考虑到
且
如图所示,用均匀材料制成的浮子，具有两个半径均为R的球冠围成的外形，像一粒豆子．浮子的厚度h＜2R，质量为m1．沿浮子对称轴向浮子插入一细辐条，穿过整个厚度．辐条长l＞h，质量为m2．当将浮子辐条向上地浸于水中时，浮子只有少部分没于水中．浮子的状态是稳定的吗？
小试身手题8
先由同向平行力合成求浮子重力合力作用点－重心位置：
浮子偏转小角度
低细节
描述
浮子为不稳定平衡!
浮子为随遇平衡!
浮子为稳定平衡!
至题9
C
C
续解
如图所示,儿童玩具不倒翁高h＝21cm，质量m＝300g，相对轴KD对称分布．不倒翁的下部是半径R＝６cm的球面，如果不倒翁放在与水平面成角α＝30°的粗糙面上，当它的轴KD与竖直方向倾角β＝45°，则处于稳定平衡状态．为了使它在水平面上失去稳定平衡，试问最少需在头顶Ｋ加多少塑泥？
小试身手题9
先求原重心位置：
在三角形OCD中运用正弦定理：
在水平面上：
不倒翁失去稳定平衡条件是重心高于O!
Δm
有一长为0.2 m、截面积为2 cm2的均匀细棒，密度为5×102 kg/m3．
⑴在细棒下端钉上一小铁片（不计体积），让细棒竖立在水面，若细棒露出水面部分的长为0.02 m，则小铁片质量为多少？
⑵不拿去浸在水中的小铁片，在上端要截去多少长度，恰好使上端面与水面齐平？
⑶要使细棒竖在水面是稳定平衡，下端小铁片至少要多重?
小试身手题10
⑴分析此时受力：
⑵此时态势为：
⑶
低细节
描述
系统为稳定平衡条件是浮心高于合重心!
至题11
C总
C总
C总
不稳定平衡
随机平衡
稳定平衡
续解
两个相同长方体处于图示位置．问当α角为多少时它们才可能平衡？长方体与水平面间摩擦因数为μ，长方体长b宽a．长方体间无摩擦．
小试身手题11
分析受力：
系统可能平衡条件是
在此条件下,对右物块由力矩平衡
在此条件下,对左物块由力矩平衡
综上
在互相垂直的斜面上放置一匀质杆AB，设各接触面的摩擦角均为φ（μ＝tgφ）,求平衡时杆AB与斜面AO交角θ的范围．已知斜面BO与水平面交角为α．
小试身手题12
三力杆平衡时的几何位置特点:
不稳定平衡
杆两端约束力与重力三力汇交
当θ=α时
α
G
A
B
O
fA=0 fB=0
续解
结论:
平衡时杆AB与斜面AO交角θ的范围为α
当θ＜α时
A
B
G
fA=f m fA=f m
fA=f m fB ＜ f m
fB=f m fA ＜ f m
杆平衡位置与左斜面的夹角
续解
当θ＞α时
G
A
B
fA=f m fA=f m
fA=f m fB ＜ f m
fB=f m fA ＜ f m
杆平衡位置与左斜面的夹角
返回
4个半径均为R的光滑球静止于一个水平放置的半球形碗内．该4球球心恰在同一个水平面上，现将相同的第5个球放在前述4球之上，而此系统仍能维持平衡，求碗的半径为多少？
小试身手题13
几何描述
上球对下各球压力由对称性得
各球三力构成闭合三角形
由力三角形与几何三角形相似求碗半径!
碗半径r由几何三角形
动态分析
结论:
使系统平衡碗半径
俯视图
P
P
剖面图
球心与切点空间位置
P
G
T
N
续解
碗半径增大,平衡破坏!
碗半径减小,平衡可维持至此!
续解