物理竞赛辅导
热 学
气体动理论
基本公式：
1.平均碰撞频率
2.平均自由程
参见《大学物理学》上册第129页
特别注意：
3.玻耳兹曼分布率：平衡态下某状态区间（粒子能量为E）的粒子数密度
4. 范德瓦耳斯方程：
1mol气体
5. 热传导
1.一定量的理想气体盛于容器中，则该气体分子热运动的平均自由程仅决定于
(A)压强p
(B)体积V
(C)温度T
(D)分子的平均碰撞频率
N不变
历届考题：
2. 在下面四种情况中，何种将一定能使理想气体分子平均碰撞频率增大?
(a)增大压强，提高温度 (c)降低压强，提高温度
(b)增大压强，降低温度 (d)降低压强，保持温度不变
4.有一个边长为10cm的立方体容器，内盛处于标准状态下的He气，则单位时间内原子碰撞一个器壁面的次数的数量级为
3.一大气压下，27 时空气分子的平均动能是______________。
空气主要由氮气、氧气构成，可看作双原子分子。室温下振动自由度未激活，分子的自由度为5，所以一个分子的平均动能为：
5.氧气在温度为27℃、压强为1个大气压时，分子的方均根速率为485米／秒，那么在温度为27℃、压强为0.5个大气压时，分子的方均根速率为________米／秒，分子的最可几速率为________米／秒，分子的平均速率为______米／秒。
三者均与压强无关，故仍有
6.某气体在温度T1时的分子最可几速率与在温度T2时的分子 方均根速率相等，则T1 / T2 =_______。这种气体在压强为p时的密度为 ，此时它的分子方均根速率 _________ 。
7.已知氮气分子的麦克斯韦速率分布曲线如图，试在该图上定性画出相同温度下氢气分子的速率分布曲线。
v
f(v)
N2
H2
又
8. 设气体分子服从麦克斯韦速率分布律， 代表平均速率， 代表最可几速率， 为一固定的速率间隔，则速率在
范围内的分子的百分率随着温度的增加将___________ ，速率在 到 之间的分子的百分率随着温度的增加将_____________。
减少
不变
v
O
矩形面积减小
根据麦克斯韦速率分布律，在任意速率区间 内的分子数占总分子数的百分率为：
设
是恒定值，不随温度而变。
9. 真实气体在气缸内以温度 等温膨胀，推动活塞作功，活塞移动距离为L。若仅考虑分子占有体积去计算功，比不考虑时为( )；若仅考虑分子之间存在作用力去计算功，比不考虑时为( )。
(a)大；(b)小；(c)一样。
a
b
10.在地面上竖立一根弯管，管的两端各连接一个盛水容器，弯管和容器都是绝热的，设初始时两容器中的温度相同(都等于T)，管内充满温度为T的饱和水蒸汽。在考虑重力作用的情况下，上述状态能否保持不变?为什么?如果发生变化，则最终状态与上述状态的差别何在?
解：在重力作用下，上述状态不能保持不变。
因为在重力作用下，气体平衡条件要求压强随高度而减小，而上端容器中水与蒸汽平衡要求上端容器中蒸汽压为pT(温度为T时的饱和蒸汽压)，同样，下端容器中水汽平衡要求下容器中蒸汽压亦为pT，这三个条件不能同时成立。最终状态下水将完全出现在下端容器中。
11. 如图所示，一半径为R高为H的圆筒内盛有N个气体分子，每个分子的质量同为 ，圆筒绕轴以恒角速度 旋转，桶内气体的状态达到平衡后其温度为T，试求桶内气体分子的数密度n的分布规律。(注：不考虑重力的影响。)
R
N
T
H
解：每个分子受的惯性离心力为 ，
其相应的势能变化规律为
选转轴上为势能的零点，则
所以
所以
因
R
N
T
H
所以
12.两个无限长圆筒共轴地套在一起，内筒和外筒的半径分别为R1和R2。内筒和外筒分别保持在恒定的温度T1和T2，且T1＞T2。已知两筒间的导热系数为k，试求稳定时离轴r处的温度。(R1＜r＜R2)
解：设单位长度内筒每秒向外传导的热量为Q，由于传导稳定，所以单位时间穿过内外筒间任一圆柱面(与内外筒共轴)单位长度的热量亦应是Q。设该处温度随半径的变化率为 ，由热传导方程可知
积分得：
C为积分常数
时，
时，
解得：
所以r处的温度为：
基本公式：
参见《大学物理》上册第170页
热力学第一定律
特别注意：
1. 对理想气体的任何热力学过程：
2. 解题过程中不要忘记用理想气体状态方程：
3. 解题时首先把各状态的状态参量列出来。
1.隔板C把绝热材料包裹的容器分为A、B两室。如图所示，A室内充以真实气体，B室为真空。现把C打开，A室气体充满整个容器，在此过程中，内能应__________。
不变
A
B
该过程为绝热自由膨胀，Q=0，A=0，由热一律 ，所以内能应保持不变。
C
历届考题：
2.摩尔数相同的两种理想气体，第一种由单原子分子组成，第二种由双原子分子组成，现两种气体从同一初态出发，经历一准静态等压过程，体积膨胀到原来的两倍(假定气体的温度在室温附近)。在两种气体经历的过程中，外界对气体作的功 与 之比为________；两种气体内能的变化 与 之比为________。
3/5
1
准静态过程气体对外作功：
由理想气体内能公式，可知单原子分子理想气体内能变化
双原子分子理想气体内能变化
对x过程，设想一微小变化：温度改变dT，体积改变dV，则由过程方程有
3.摩尔质量为 、摩尔数为 的单原子理想气体进行了一次x过程，在p-V图上过程曲线向下平移p0后，恰好与温度为T0的等温曲线重合，则x过程的过程方程(V-T关系式)为________，x过程的比热c与压强p的关系为c=________。
V
p
p0
p0
x过程
T0
等温过程
解：x过程曲线向下平移p0后，恰好与温度为T0的等温曲线重合，由此可给出
状态方程为
x过程的过程方程为
4.一摩尔氮气(设氮气服从范德瓦尔斯方程)作等温膨胀，体积由V1变到V2。试求氮气(a)对外界作的功；(b)内能的改变；(c)吸收的热量。
(a)由范德瓦尔斯方程
所以对外界作的功为
(b) 一摩尔气体分子热运动的动能为 。作等温膨胀时 。
气体的内压强 。气体膨胀时 作负功，气体分子间相互作用的势能要增加 。由功能原理，保守内力作的功等于势能的减少，即
所以内能的增量：
(c)
5.有n摩尔的理想气体，经历如图所示的准静态过程，图中p0、V0是已知量，ab是直线，求
(1)气体在该过程中对外界所作的功和所吸收的热量，
(2)在该过程中温度最高值是什么?最低值是什么?并在p一V图上指出其位置。
V
p
O
a(3p0,V0)
b(p0,3V0)
解：(1) 由图知
由图知曲线下面积，即气体对外作功为
由热力学第一定律知
(2) 由图知过程方程即ab直线的方程为
代入状态方程
极值处
解得
代入过程方程
所以该处温度为最大值
由于该直线上温度T只有一个极值，且已经知道它是极大值。所以温度最低值一定在端点a或b。但 ，故两端温度相同，都是最小值。将p=3p0，V=V0代入状态方程，即可得最低温度
(1)初态到中间态：空气和饱和蒸汽并存，对空气应用玻意耳定律：
6.一气缸的初始容积为30.5L，内盛空气和少量水(水的体积可略)，总压强为3atm。作等温膨胀使体积加倍，水恰好全部消失，此时总压强为2atm。继续等温膨胀，使体积再次加倍。空气和水汽均可看作理想气体，试求：(1)气体的温度；(2)最后的压强；(3)水和空气的摩尔数。
解： 由题设知：
初态：
，T0，
中间态：
终态：
(2) 中间态到终态：无水，空气和蒸汽并存，对混合气体应用玻意耳定律：
(3) 将状态方程应用于初态空气，得空气摩尔数
将状态方程应用于终态混合气，得总摩尔数
7. 设高温热源的温度为低温热源的温度的n倍，理想气体经卡诺循环后，从高温热源吸收的热量与向低温热源放出的热量之比为___________。
n
AC绝热过程系统吸热Q＝0，对外作功A＞0，由热力学第一定律，系统内能增量 ＝-A＜0。该系统为理想气体，其内能和热力学温度成正比，故AC过程 ，即TC＜TA，对过程ABC亦然；对ABCA循环过程系统吸热Q’＝A’＜0，而CA过程Q＝0，所以ABC过程中气体吸热为负值。
8. 图中MN为某理想气体的绝热曲线，ABC是任意过程，箭头表示过程进行的方向。ABC过程结束后气体的温度(增加、减小或不变)__________；气体所吸收的热量为(正、负或零)___________。
减小
负
9.有一卡诺循环，当热源温度为100℃，冷却器温度为0℃时，一循环作净功8000J，今维持冷却器温度不变，提高热源温度，使净功增为10000J。若此两循环都工作于相同的二绝热线之间，工作物质为同质量的理想气体，则热源温度增为______℃；效率增为_____％。
Q1
Q2
O
V
p
T1
T2
1
2
3
4
V1
V4
V2
V3
10.以可逆卡诺循环方式工作的致冷机，在某环境下它的致冷系数为 ＝30.3，在同样环境下把它用作热机，则其效率为 ＝________％。
11.房间内有一空调机，该机按可逆卡诺循环工作，在连续工作时，每秒需对该机作P焦耳的功。夏天该机从室内吸热释放至室外以降低室温。冬天将该机反向运行，从室外吸热释放至室内以提高室温。已知当室内、室外的温差为 时，每秒由室外漏入室内(或由室内漏至室外)的热量 ，A为一常数。(1)夏天该机连续工作时，室内能维持的稳定温度T2为何?已知室外的温度恒定为T1。(2)冬天该机连续工作时，欲使室内能维持的稳定温度为 ，室外的最低温度 需为何?
(1)由卡诺循环特点可知：
夏天欲使室内维持稳定温度T2，需空调机每秒吸热
(2) 同理有
12.1mol单原子理想气体从初态压强p0＝32Pa，体积V0＝8m3经p-V图上的直线过程到达终态压强p1＝lPa，体积V1＝64m3；再经绝热过程回到初态，如此构成一循环。求此循环的效率。
解：该循环吸热与放热均在直线过程中发生，如图所示。首先求吸、放热转折点A的状态参量pA 、 VA 。设直线过程方程为
对某元过程有
元过程中内能增量
在转折点A附近的元过程应有
把已知条件带入
由 吸热为
由 放热为
13.某气体系统在p一V坐标面上的一条循环过程线如图所示，试证该系统在对应的循环过程中其摩尔热容量不能为恒量。
O
p
V
经此循环，系统恢复原态，其内能增量 ，而系统对外作功A不为零(绝对值为p-V图中曲线面积)，此与热力学第一定律 矛盾，故所设不正确，即循环过程中系统的摩尔热容不可能为恒量，命题得证。
证：采用反证法。设其摩尔热容量是恒量C1，则循环过程中系统所吸热量为
14. 某单原子理想气体经历的一准静态过程中，压强p与温度T成反比例关系。(1)求此过程种该气体的摩尔热容量C ；(2)设过程中某一状态的压强为p0，体积为V0，试求在体积从V0增到2V0的一般过程中气体对外作功量A。
解：(1) 设过程方程为
其中 为常量。将此过程方程与状态方程
联立，消去p，可得该过程中V与T的关系为
由热力学第一定律和能量均分定理知，该系统经历的任一元过程中的吸热量为
将
代入得
所以，该过程中的摩尔热容量为
(2) 由上述讨论知，在一个元过程中系统对外界作功为
设体积为V0时对应温度为T0 ，那么由前面得到的过程方程可得，体积为2V0时对应的温度为
于是，体积从V0增到2V0的过程中气体对外界作功为
又因为
所以
解：bc等温过程对外作功为
ca等压过程对外作功为
ab等体过程对外不作功。经过一个循环过程吸收的热量等于对外作的总功，即
热力学第二定律
基本公式：
特别注意：
克劳修斯熵公式
（可逆过程）
（可逆过程）
参见《大学物理》上册第170页
1.一个系统经历的过程是不可逆的，就是说，该系统不可能再回到原来的状态。 ( )
2. 假设某一循环由等温过程和绝热过程组成(如图)，可以认为( )
(a)此循环过程违反热力学第一定律；
(b)此循环过程违反热力学第二定律；
(c)此循环过程既违反热力学第一定律，也违反热力学第二定律。
V
p
等温
绝热
按如图曲线做一个正循环，相当于从单一热源吸热完全转为功而没有其他变化，所以违反热力学第二定律。但是这样的循环不见得违反热力学第一定律(如果从外界吸收的热量等于对外界作的净功)。
历届考题：
3. 对于理想气体，在下列各图所示的循环过程中，哪些是物理上不可实现的?
V
p
V
p
V
p
V
p
等温
绝热
等容
等压
绝热
等容
等温
绝热
绝热
绝热
绝热
等温
(A)
(B)
(C)
(D)
对理想气体，绝热线比等温线陡，由热二律可以证明二条绝热线不能交于一点，所以A、C、D过程都是不能实现的。
4.从单一热源吸取热量并将其完全用来对外作功，是不违反热力学第二定律的，例如_____________________过程就是这种情况。
理想气体的等温膨胀
理想气体作等温膨胀就是将所吸的热量全部用来对外作功的过程。但这过程里气体体积膨胀了，即产生了“其它影响”。因开尔文表述是：“不可能从单一热源吸收热量，使之完全变为有用功而不产生其它影响”，所以说此等温过程是不违反热力学第二定律的本题要求的过程。
5. lkg冰在0℃、1atm下熔解为水的过程中的熵增量为______________ 。(已知冰的熔解热为333kJ／kg)
此过程是可逆的
6.设有一刚性绝热容器，其中一半充有 摩尔理想气体，另一半为真空，现将隔板抽去，使气体自由膨胀到整个容器中。试求该气体熵的变化(不能直接用理想气体熵的公式计算)。
V
V
解：理想气体绝热自由膨胀后由于内能不变，故温度也不变。计算熵的改变时，可选取一个等温准静态膨胀过程，使体积由 。
7. 1mol水蒸气(可视为刚性分子，且不考虑量子效应)，经历如图abca循环过程，ab为等压过程，bc为等容过程，ca在p-V图上为一直线。已知b态温度为600K。则ab过程系统吸热Qab=_______，ca过程系统吸热Qca=_______，一次循环过程系统净吸热为_______，该循环的热效率 =________。
解：对b点有4p0V0=RTb，得
对a点和c点有
净吸热为
由p-V图可求出ca的过程方程
(1)
对过程cm有
令 ，求出 ，代入（1）式得 ，
即在状态 处的温度为 。
m
在ca过程中，m处的熵最大，故cm过程为纯吸热过程，吸的热为
m
8. 设有一刚性容器内装有温度为T0的1摩尔氮气，在此气体和温度也为T0的热源之间工作一个制冷机，它从热源吸收热量Q2，向容器中的气体放出热量Q1。经一段时间后，容器中氮气的温度升至T1。试证明该过程中制冷机必须消耗的功
证明：依题意，所讨论系统中制冷机的工作原
理可示意如图，则该过程中制冷机必须
消耗的功为
又由题意知，该过程中热源、氮气和制冷机的工作物质的熵变分别为
因为热源、氮气和制冷机组成的整体为一封闭孤立系统，则由熵增加原理可知
所以
那么
整理化简即得
K
T2、V2
T1、V1
由上述诸式可解得
因此，平衡后系统体积为
(2)计算熵时，原左边气体和右边气体在系统平衡态中，可分别等效处理成温度为T、体积为V1’和温度为T、体积为V2’的状态。系统熵增量便为
据(1)问，
，可得
，可得
又由
10. 比热同为常量c，质量同为m的6个球体，其中A球的温度为T0，其余5个球的温度同为2T0。通过球与球相互接触中发生的热传导，可使A球的温度升高。假设接触过程与外界绝热，则A球可达到的最高温度为________T0，对应的A球熵增量为___________mc。
解：使A球依次与其他球接触而达到热平衡，A球的温度依次为T1， T2 ， T3 ， T4 ， T5 。由于接触过程绝热，则A球吸收的热量等于其他球放出的热量。