1
中学生奥林匹克物理竞赛
夏令营
2017/8/17
2
著名理论物理学家维格纳说
一个公式你要是不懂的话，抄上十遍你就懂了。
2017/8/17
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力学基本定律
加速度
作用力
万有引力
库仑力
运动轨道椭圆、抛物线、双曲线
洛伦兹力
圆周运动
弹性力
电磁相互作用
动静摩擦力、安培力、核力…..
能够由牛顿第二定律严格求解坐标的问题并不多
2017/8/17
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力学动量、角动量、动能三大定理
动量定理
角动量定理
动能定理
冲量定理
冲量矩定理
力学的守恒定律
动量、角动量、能量守恒
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力学的物理模型
质点、质点组、刚体
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【例题】如图在光滑水平面上有质量为M的均匀分布的、半径R的圆环。质点质量m(m
x
y
O
R
M
v0
m
2017/8/17
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【解】质点m与环内壁之间的作用力是一对作用反作用力，没有摩擦这个力就是与半径方向一致的支持力，这个力不等于零，则质点就不会离开环的内壁。
环的质量集中在环心O，初始时系统的质心C位于y轴上，离环心的距离是OC，长度为
O
C
m
M
质心C到质点m与环心O的距离分别是
(1)
2017/8/17
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整个系统在水平面内不受力(环壁与质点之间的作用力是一对内力）,因此动量守恒，求出质心的速度
可见系统的质心沿着x轴做匀速直线运动。质心是惯性坐标系。
(2)
在质心惯性系中，开始时质点m与圆环M相对质心的速度分别是
2017/8/17
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可见M与m相对质心的速度方向相反，两者只能够绕着质心做圆周运动。圆周运动的角速度分别是
(3)
这个结果表明，质点m与圆环环心M相对质心C做角速度相同的圆周运动，圆周运动的向心力只能来自两者之间的相互作用力，又忽略摩擦，这个力沿着圆环的半径方向。因此质点m不会脱离环的内壁。
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(2)给出质点m相对水平面的运动方程
质点m在质心坐标系做圆周运动，坐标与时间的关系是
(4)
系统的质心C相对地面做匀速运动，在地面坐标系中，质心的坐标是
(5)
C
由此得到质点m相对地面坐标系的坐标
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(6)
改写为
质点m一边跟随质心匀速平动，一边绕着质心做匀角速度转动。
半径为R的圆柱面沿水平面纯滚动，圆心速度为v,转动角速度w,满足关系v=Rw.顶端一点A，相对水平面的运动方程是
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A点的轨迹是一条摆线,如图所示。
y
x
方程(6)描述的轨迹不是一条摆线。
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【例题】如图,在竖直平面内有一半径为R的固定的绝缘的光滑圆环，在圆环外侧有一个光滑园槽。空间中有垂直环面的水平均匀磁场B。一个质量为m的带电为q>0的质点，初始时位于圆环最高点a处，以初速度v0沿水平方向向左运动，如果在以后的运动中质点能够沿圆环外侧不脱落圆环，达到圆环最低点b。试计算(1)质点在a点不脱落圆环，初始速度满足的条件(2)质点在b处不脱落圆环，初始速度应该满足什么条件?(3)质点在0
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v0
a
b
R
q
mg
O
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
【分析求解】(1)质点受到重力、圆环约束力N,方向沿着半径指向外，以及洛伦兹力作用，不脱落圆环的条件是 。在最高点a点不脱落的条件是
整化为
利用求根分解因式
解此不等式,得
N
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其中方程的两个根分别是
题目给出初始速度v0>0的限制，因此初始速度满足的条件是
(1)
(2)设质点到达最低点b处的速度大小为v,则机械能守恒得到
(2)
2017/8/17
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同样按照条件 。这里法向动力学方程得到
整理为
求根分解因式得
得到不等式
其中两个根分别是
(3)
2017/8/17
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可见两个根都是大于零的。由此把(3)式两边平方
把(2)式能量守恒代入得初始速度满足的条件
但其中
(4)
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因此质点到达最低点b处不脱落，初始速度满足的条件是
(5)
(3)质点在左半圆环q处不脱离，设此处速度为v,仍然按照条件 讨论.机械能守恒得到
不脱离的条件是
同样的方法得到不等式
(6)
(7)
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其中两个根分别是
讨论：如果 则上面的解 （8)式改为
把(6)式机械能守恒代入，以及v0>0的要求，得到
(9)
讨论：如果 则上面的解 ,（8)式改写为
(10)
(8)
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20
把(10)式进一步利用机械能守恒(6)式得到
把v1代入该式左端得到
又因为 ，所以上式中
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因而左端
这样得到两种夹角范围初始速度满足的条件是( )
代进v2的表示得到这个条件是
这个条件对于两种角度范围都成立。
为了满足质点在左半圆环都不脱离，(12)式右端应该取最小值。易见q=0满足最小值条件。得到初始速度满足的条件是
(12)
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(11)
(4)质点返回到最高点不脱离的条件根据对称性质，这个条件就是(11)式。
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【例题】在天花板的O点悬挂一个光滑的轻质小环P,小环可绕固定点O自由转动，长度为l的轻绳穿过小环P，其两端分别连接质量为m1与m2的小球A1与A2，已知m1>m2。设两个小球同时做圆锥摆运动，在任意时刻两个小球均在同一个竖直平面内，旋转的角速度是
(1)计算两个小球到p的距离l1与l2.
P
l1
l2
m2
m1
f2
f1
O
(2)计算两个小球与细绳构成系统所受外力对P点的力矩之和。
(3)计算系统对P点的角动量。以及守恒角动量的大小。
2017/8/17
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【解】如图所示，两个小球连线与竖直方向夹角分别是f1与f2，小球m1与m2的分别受到重力mg与绳子张力T的作用，两球通过绳子连接受张力相等。满足方程
P
l1
l2
m2
m1
f2
f1
O
T
mg
f
由此得到
因为角速度相同，进而得到
(1)
(2)
(3)
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结果表明两个小球到P点的垂直距离相等。因为两球通过细绳连接，受张力相等，得到关系
改写成为
(4)
联立(3)(4)得到
(5)
但存在关系
(6)
利用(5)(6)求出
(7)
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P
l1
l2
m2
m1g
f2
f1
O
【解】(2)计算两个小球与细绳构成系统所受外力对P点的力矩之和。两个小球的重力对P点的力矩方向相反。设指向外面为正方向，则按定义
利用(7)式摆线长度的结果得到
利用(2)式可求出
方向指向内,
方向指向外。
则
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已知m1>m2,则 力矩的方向指向外为正，得到
至于绳子张力因为力的作用线过P点，力矩为零。
进而求出
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【解】(3) 系统对P点的角动量
按照角动量的定义
P
l1
f1
m1
v1
对于质点m1如图可知
图示位置速度v1方向指向版面内，l1的方向由P指向质点，则角动量方向如图所示
J1
同理可以求出m2相对P的角动量
质点做圆锥运动时角动量的方向也随之改变。
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P
l1
f1
m1
v1
J1
角动量在竖直方向的分量是
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由以上分析知道两个小球在同一个水平面内做半径不同，角速度相同的圆周运动，角动量沿着竖直方向分量守恒。
P
l1
f1
m1
v1
两个质点角动量的水平分量方向相反，总的水平分量是
虽然这个分量的大小不变，但方向在改变，因此角动量的水平分量不守恒！重力在水平方向的力矩不为零！
2017/8/17
31
【例题】如图两根不可伸长的柔软的细绳，长度分别是l1与l2，且l1
A B
C
m
l1
l2
力学系统处于平衡状态的条件：所受合力为零，所受合力矩为零，系统处于静止状态。进一步还要讨论系统平衡的稳定性。
静摩擦系数可能的取值是m=0或者m>0.需要通过受力分析与讨论，得到可能的平衡状态，进一步求出AB的长度。
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【解(1)】 如图AB=0时(A与B重合)，AC连线沿竖直线方向，此时细绳AC拉直，BC松弛。重力mg与绳子AC的张力T相等。这种平衡与摩擦系数的取值无关！
A B
C
m
l1
l2
当小环B离开A到达横杆右边某位置时，如果满足条件
A B
C
m
l2
l1
由于细绳BC没有质量，系统受到小球的重力mg与绳子AC的张力T相互平衡外，没有任何其他外力作用，系统仍然处于平衡状态。这种平衡与小环的摩擦系数无关。
(1)
2017/8/17
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设小环B再向右移动一段小距离Dx,上面条件(1)不再满足。AB长度表示为
小环B受到沿细绳BC方向张力作用T2,张力T2在竖直方向分力、向左的水平分力以及静摩擦力分别是
A
m
C
T2
q2
如果小环B在水平方向的力满足关系
B
F2
f2
N2
平衡被破坏，质点B返回向左运动。
2017/8/17
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利用以上力的表示及几何关系求出摩擦系数满足关系
时，小环B将返回左向运动，系统的平衡状态被破坏。
A
B
m
C
T2
q2
同样小环A受到沿着AC方向张力T1作用，其平衡状态同样与张力T1以及摩擦力f1之间的关系决定。但T1近似沿着竖直方向，其水平分力小于静摩擦力，因而不发生滑动。对于一种极端情况：m1=0,此时小环将沿着AB杆滑动。平衡状态被破坏。
2017/8/17
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总之在条件
系统的平衡状态是：AC连线沿竖直方向,AB 之间距离范围是
或者
【解(2)】问题成为，讨论在以下条件时系统的平衡问题
2017/8/17
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如图所示系统处于平衡状态。分别分析环A与B的受力情况。
A D B
q1
f1
q2
f2
T1
T2
C
m
环A受到张力、水平分力与摩擦力作用,分别是
当AB距离继续增大，达到条件
可见当杆AB距离再变大(距离DC变小时)时,使得tgf1的值满足上面条件时环A将沿着杆向内滑动而不再静止,系统不再平衡。
F1
f1
2017/8/17
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同理分析环B的受力情况.得到环B发生滑动的条件是
进一步分析这两个条件满足时需要具备的条件。
2017/8/17
38
如图夹角f1与f2在几何条件下相互联系，用h表示C到AB杆的距离，则
A D B
q1
f1
q2
f2
T1
T2
C
m
h
由正弦定理得到
当AB距离增大时，夹角q1与q2都减少，夹角f1与f2则随着增大,其正切函数值也增大。而环Ａ和环Ｂ首哪一个先滑动或同时滑动取决于那个条件首先满足
2017/8/17
39
设Ａ环开始滑动时,h用hA表示,则得到
A D B
q1
f1
q2
f2
T1
T2
C
m
h
设B环开始滑动时,h用hB表示,同样得到
可以通过比较杆AB增长过程中，通过距离hA与hB来判断哪个环首先滑动，进而求的AB的长度。
2017/8/17
40
A D B
q1
f1
q2
f2
T1
T2
C
m
h
(1)如果 ,首先达到A球滑动的条件。由以上各式得到关系
以及关系
2017/8/17
41
进一步求出AB的长度是
总之，在条件
系统保持平衡状态，AB的长度限制为
2017/8/17
42
(2)如果 ,由以上各式得到关系
小环B首先滑动，系统失去平衡状态。此时有关系
以及关系
2017/8/17
43
进一步求出AB的长度是
总之，在条件
系统保持平衡状态，AB的长度限制为
2017/8/17
44
讨论：如果满足条件
则给出关系 ，两个小环将同时滑动, 此时AB的距离是
保持系统力学平衡的条件是
2017/8/17
45
【例题】质量M的宇航站载有质量m的卫星一起绕地球做半径nR的圆周运动，R是地球的半径，n=1.25。在园轨道某位置上，沿着运动方向卫星被射出后做椭圆运动，其远地点到地心的距离为8nR,卫星绕地球一周后正好与宇航站相遇，问两者的质量比值m/M多大？
nR
R
2017/8/17
46
【解】卫星被射出前，在地球引力下做圆周运动，速度为u
(1)
设在圆周轨道上C点，卫星m被射出后，卫星速度为v，宇航站M的速度为V，则动量守恒
(2)
此后卫星与宇航站分别以速度v与V绕地球做椭圆运动。假设两者速度方向相同。
2017/8/17
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万有引力作用下园轨道、椭圆轨道的讨论
半径R0园运动的能量与运动方程分别是
M
m
求出园轨道的能量
椭圆轨道的能量与长半径有关是
2017/8/17
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在轨道上某处质点m速度有所增加，但总能量小于零，园轨道变成椭圆轨道。必有关系
M
m
这个位置是新椭圆轨道的近地点。按照几何关系得到
如果质点的速度有所减少，总能量减少。园轨道成为椭圆轨道。但是 ，这个位置是椭圆轨道的远地点，且
2017/8/17
49
因为M>m,则V
R
nR
8nR
v
V
C
用r表示M的近地距离，其远地距为圆周轨道半径，则长半径是
(3)
卫星的近地、远地距分别是nR与8nR,则
(4)
2017/8/17
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椭圆运动的周期与长半径之间关系为
为了达到卫星运转一周后在正好与宇航站M相遇的要求，周期之间必须满足
(k正整数)
(5)
(6)
利用以上各式，得到长半径之间的关系
(7)
上式化整为
(8)
继续利用守恒定律才能够得到预期结果。
2017/8/17
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对M与m分别利用角动量守恒与能量守恒于近地点与远地点处。
(9)
(10)
利用(9)式消去V1得到V的表达式，同样利用(10)式求出v
(11)
2017/8/17
52
把(1)式的速度u以及(11)式代入(2)式,利用(8)式得到
(2)
(12)
进一步的讨论是对M的近地距r的限制，不能够撞击地球！
(8)
结合(8)式
得到k满足的条件
已知
2017/8/17
53
最后得到
因为k取正整数，得到
由此得到质量比值
最后当M与m反向运动时，动量守恒成为
质量比值为
2017/8/17
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以上计算位于C处的卫星与宇航站的速度，也可以按照下面方法计算。先计算卫星新轨道的几何参数
v
nR
8nR
计算卫星位于C点的能量
求出速度
2017/8/17
55
【例题】设赛车道的动摩擦系数与静摩擦系数m均为与速度无关的常数，在90°与180 °平面转弯处，可以沿着大半径R的圆弧外车道或小半径r的圆弧内车道。把赛车看作质点，忽略空气阻力，在通过弯道前后的加速、减速运动的加速度相等，转弯时的速度大于 ，沿着内外车道哪个车道有利？
R
r
内车道
外车道
2017/8/17
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【解】(1)沿圆弧曲线运动时的速度受侧向摩擦力的限制。圆周运动的向心力由最大静摩擦力提供。满足关系
(1)
赛车的直线运动时的速度V比圆周运动的速度v大，进入圆周轨道前做减速运动，速度由V变为v;同样离开圆周轨道做加速运动，使得速度由v变为V。减速运动的力就是摩擦力
(2)
2017/8/17
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按照已给条件，加速运动的加速度与减速运动的加速度相等 。求出需要的时间以及通过的位移是
(3)
至于做四分之一圆周运动需要的时间是
(4)
由以上结果可知，圆周运动的速度，加速、减速通过的位移与所需要的时间，四分之一圆周运动需要的时间都与圆的半径有关的！
2017/8/17
58
(2)讨论90°转弯所用时间
R
r
A
B
b
a
C
D
F
E
通过简单的几何关系可知,外车道AB段为减速过程,BD曲线为半径R的四分之一圆周运动,DE则是减速过程，而EF为匀速V运动。所用时间为
(5)
沿内车道运动,ac是匀速V运动,cb是减速运动,bD是半径为r的圆周运动,DF则是减速运动,所用时间是
(6)
2017/8/17
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R
r
A
B
b
a
C
D
F
E
进一步分析几何关系。内道运动的减速cb与加速过程DF的长度都由(3)式得到
外道运动的AB与DE的长度则是
这得到外道匀速运动的长度
(7)
而内道匀速运动的长度
(8)
内外道匀速运动所用时间也是相等的。
2017/8/17
60
最后得到沿着外道与内道运动所需要时间差是
可见沿着外道所用的时间较少，是最有利的选择。
(9)
2017/8/17
61
(3)讨论沿原路返回时的情况
A
B
D
F
沿着外道运动过程：AB减速、BD半圆弧匀速运动、DF加速运动，所用时间是
(10)
沿着内道运动：ac匀速V运动、cb减速、bd半径r的匀速半圆弧、de加速、ef匀速V运动。
a
c
b
d
e
f
R
r
利用几何关系求出
所用时间是
2017/8/17
62
当 ， 选择外道。
(11)
求出两种轨道所用时间差
(12)
当 ， ,选择内道。
2017/8/17
63
【例题】如图所示，椭圆长短半径分别是a与b,设长半径竖直放置。一个质量为m的质点，可沿着椭圆的“直径”下滑。求质点沿着哪个直径下滑用时间最短？
x
y
b
a
q
A
B
【解】如图示直径AB，极角为q,质点受重力mg与直径的约束力N作用。
q
mg
N
沿着直径AB方向加速度是
O
2017/8/17
64
按照直角、平面极坐标基本关系
代入椭圆方程
得到用(rq)表示的椭圆方程
(1)
进一步得到r与q的关系为
(2)
质点做加速运动，通过直径AB一半长度的时间是
2017/8/17
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(3)
要求时间t的极小值，可以通过求上式分母的极大值得到。为此令
因为已知a>b,所有当该式括号中第一项为零时，取极大值。所用时间最短。
2017/8/17
66
由此得到质点沿着任意直径下落用时间最短的直径是
讨论：由于 ,所以长短半径应满足条件
(4)
得到条件
(5)
而如果
(6)
则不存在极值。在条件(5)满足时，把(4)式代入(3)式得到时间的极小值。
这个条件对应着对称的两个极角所表征的直径。
2017/8/17
67
讨论当 满足时，在 范围内，时间t随q单调变化，没有极值。
在 ，时间 ，在
由上式求出时间的极小值是
2017/8/17
68
时间t随极角q变化的示意图
2017/8/17
69
【例题】水塘里有一只青蛙停在一片荷叶的中央，青蛙质量为m,荷叶质量为M，看成半径为R的园。
(1)若青蛙能够一次跳离荷叶，那么青蛙应做多少功？
(2)如果青蛙由所在荷叶中央起跳，刚好落在紧挨着的另一片完全相同的荷叶中央，随之一起向前滑动，试求机械能损失与青蛙所做功的比值。
设青蛙跳离或者跳落荷叶时，荷叶均不产生竖直方向的运动，只能够在水面上无阻力的滑动。
2017/8/17
70
【解1】设青蛙起跳后瞬间相对地面的水平速度与竖直速度分别是vx与vy,荷叶后退的速度为v,则起跳过程中青蛙所做的功是
(1)
系统在水平方向动量守恒
(2)
在荷叶参考系中，青蛙起跳后相对荷叶的水平速度是
(3)
按照题目要求，青蛙要离开荷叶，即青蛙相对荷叶中央的位移必须满足条件
2017/8/17
71
容易求出
进而利用 整理给出关系
求出青蛙竖直速度满足的条件
(4)
把(2)(4)代入(1)式，得到青蛙做功的限制
(5)
进一步利用公式 ，改写(5)式
2017/8/17
72
(6)
因此青蛙能够跳出荷叶，所做的功至少应是
(2)如果青蛙由所在荷叶中央起跳，刚好落在紧挨着的另一片完全相同的荷叶中央，随之一起向前滑动，试求机械能损失与青蛙所做功的比值。
2017/8/17
73
【解2】设青蛙起跳后瞬间相对水面的速度v,竖直分量与水平分量之夹角为q.则可以利用抛体公式处理射程问题。到达另一片完全相同荷叶的中央，水平射程是
由此求出起跳时速率的表示
(1)
青蛙起跳时与荷叶系统在水平方向动量守恒
(2)
2017/8/17
74
设青蛙跳到另一片荷叶中心后，两者具有共同的水平速度V，再次利用水平方向动量守恒得到
(3)
青蛙起跳时做的功是
(4)
青蛙的机械能损失是
分别代入(2)(3)(4),得到
2017/8/17
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进一步求出比值是
因为
所以这个比值的范围是
2017/8/17
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【例题】如图一辆以速度v0运动的车子A撞上一辆静止的车子B，碰撞后两车一起运动直至停止，历时10秒。在这个过程中原来放在车子B车尾的1米长的物块刚好移动到车A的车顶。已知两车质量相等，物块的质量是一个车子质量的1/140，物块与车顶的摩擦系数是车与地面摩擦系数的69倍，求车A初始速度v0多大？
A
B
v0
C
A
B
C
v
2017/8/17
77
【分析与解答】
①车子A与Ｂ发生完全非弹碰撞，可以忽略一切常规力；利用动量守恒解决。
②AB碰撞瞬间作为一个整体运动，而物块C相对车子发生相对滑动，在时间t1内相对滑动停止，物块恰好移动到车子A的前端。利用相对运动解决。
③
------【以上为无格式内容概要，如需完整内容请下载】------
