物理竞赛辅导
电磁学(二)
法拉第电磁感应定律
楞次定律:闭合回路中感应电流的方向，总是使它所激发的磁场来阻止引起感应电流的磁通量的变化。
电 磁 感 应 复 习
※ 动生电动势
整个导体回路或其中一部分，以及一段孤立导体在稳恒磁场中运动时，所产生的感应电动势。
典型装置
× × × × × ×
× × × × × ×
× × × × × ×
× × × × × ×
例. 半径为 R 的铜盘，在均匀磁场中以角速度 w 转动，求盘上沿半径方向产生的感应电动势。
w
O
A
解：
> 0
感应电动势的方向 O → A
※ 感生电动势
根据法拉第电磁感应定律
当回路L及其所围面积保持不变，则有
动生电动势:
导体在稳恒磁场中运动时,所产生感应电动势。
感生电场的计算
（1） 原则
（2） 特殊
空间均匀的磁场被限制在圆柱体内，磁感强度方向平行柱轴，如长直螺线管内部的场。
磁场随时间变化 感生电场具有柱对称分布。
××××
××××××
×××××
解：设场点距轴心为 r ,根据对称性，取以O为心，过场点的圆周环路L，方向如图
L
r < R
r > R
L
O
“-”表示E与L方向相反
例. 在光滑的水平面上，有一可绕竖直的固定轴O自由转动的刚性扇形封闭导体回路OABO,其半径OA=L，回路总电阻为R，在OMN区域内为均匀磁场B，已知OA边进入磁场时的角速度为，则此时导体回路内的电流 i = ___ , 因此导体回路所受的电磁阻力矩M = __ 。
方向：OA
竞赛题讲解
解：设加磁场后水银的流速 v
水银中产生感应电动势
例. 一金质圆环以其边缘为支点直立在两磁极间, 环的底部受两个固定挡的限制, 使其不能滑动, 现环受一扰动偏离竖直面0.1弧度, 并开始倒下. 已知B=0.5T, 环半径r1=4cm, 截面半径r2 =1mm, 金的电导率 =4.0107/·m, 设环重F=0.075N, 并可以认为环倒下的过程中重力矩时时都与磁力矩平衡，求环倒下所需的时间t.
例.
1)取回路ABOA，通过回路的磁通量为
由运动学知识可知
Eout
解：长直密绕螺线管内B= 0ni
R
解：该磁场可视为大圆柱磁场B 与空腔内磁场 – B 的叠加
空腔内的感应电场由这两部分产生
r1
r2
y
x
300
例：
均匀电场
两式相比得
由射高得
qE = ma
例:
解：
1）在稳恒电路的任一节点处，流入节点的电流强度之和等于流出节点的电流强度之和
——节点电流定律(基尔霍夫第一定律)
2）在稳恒电路中，沿任何闭合回路一周的电势降落的代数和等于零。
——回路电压定律(基尔霍夫第二定律)
欧姆定律的微分形式
直 流 电 路
例：10根电阻同为R的电阻丝连成如图所示的网络，试求：A，B 两点间的等效电阻RAB.
由对称性知
AC与BE，AF与BD电流相同
设：总电流为 I ,
由节点电流关系得其他电流
由对称性 I - I2= I2
由AC间电压
2 R I1 = R ( I-I1）+R (I2-I1)
例：如图电路，每两点间实线所示短导线的电阻为1，则A, B两端点间的电阻为
据对称性可将原电路等效成下图实线与虚线电路的并联，两电路的电阻相同
2）导线框所受磁场力大小就等于CD段导线所受磁场力的大小（也可根据 I左， I右 具体计算各边受力）
解：总的电动势（设L逆时针）
1) K 断开，设电流方向如图
2) K 合上，令I2 = 0, I4 如图
例：无限长密绕螺线管半径为r，其中通有电流，在螺线管内部产生一均匀磁场B，在螺线管外同轴地套一粗细均匀的金属圆环，金属环由两个半环组成，a、b为其分界面，半圆环电阻分别为R1 和 R2，且R1 >R2,，如图，当B增大时，求: Ua > < = Ub
自感：由于回路自身电流的变化 而在自身回路中产生感应电动势的现象叫自感现象，这样产生的感应电动势叫自感电动势。
单位电流变化所对应的感应电动势
自感与互感
L的值取决于回路的大小、形状、匝数以及周围磁介质的分布，与回路是否通电无关，单位：亨[利]（H）
自感电动势总是阻碍回路本身电流的变化。
自感系数（简称自感）
两个载流回路中电流发生变化时相互在对方回路中产生感生电动势的的现象叫互感现象，这样产生的感应电动势叫互感电动势。
互感系数（简称互感）
互感：
M的值取决于两回路的大小、形状、匝数、相对位置以及周围磁介质的分布，与回路是否通电无关。
例：一矩形线框由无电阻的导线构成，其边分别与x,y轴平行，边长分别为a和b，以初速v0 沿x正方向运动，当 t = 0 时进入磁感应强度为B的均匀磁场，磁场方向如图，充满x > 0的空间，设线圈的自感为L，质量为m，并设b足够长，求线圈的运动与时间的关系。（不考虑重力，框的电阻不计）。
解：线框进入磁场后
谐振动二阶微分方程
例：一半径为 a 的小圆线圈，电阻为R，开始时与一个半径为b（b>>a）的大线圈共面且同心，固定大线圈，并在其中维持恒定电流 I，使小线圈绕其直径以匀角速  转动如图（线圈的自感忽略）。 求：1）小线圈中的电流； 2）为使小线圈保持匀角速转动，须对它施加的力矩 3）大线圈中的感应电动势
解：1） b>> a ，小线圈内的磁场近似均匀
2）当载流线圈所受外力矩等于磁力矩，线圈匀速转动
3）当小线圈i 变化时，大线圈中也有互感电动势产生
通过大线圈磁场在小线圈中的磁通量求互感系数M
例：两根电阻可略，平行放置的竖直固定金属长导轨相距l，上端与电动势为、内阻为r的直流电源连接，电源正、负极位置如图所示。另有一根质量m、长l、电阻R的匀质导体棒，两端约束在两导轨上，可无摩擦地上下滑动。设空间有与导轨平面垂直的水平匀强磁场B，方向已在图中示出，将导体棒静止释放，试求导体棒朝下运动过程中的最大加速度amax和最大速度vmax。
解：依题意，由欧姆定律知，开始时导体棒中电流从左到右，大小为
此时导体棒获得的向下加速度最大值为
在磁场中受竖直向下的安培力
导体棒向下加速后，将产生动生电动势，设某时刻 t 速度为v，电动势为
当F'值等于mg时，导体棒停止向下加速，力达到平衡，速度达到最大，即有
其方向与电源电动势相反。棒的加速度减小，当v足够大时，i > ，棒中电流反向，即从右到左，大小为
方向向上
例：一球形电容器中间充以均匀电介质，该介质缓慢漏电，在漏电过程中，传导电流产生的磁场为Bc，位移电流产生的磁场为Bd，则