竞赛内容和要求
机械振动
一、简谐振动的定义
1、定义：物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）随时间按余弦（或正弦）函数的规律变化，称这个物体在作简谐振动或简谐运动。
2、两个特例：“弹簧振子”和“单摆” 。
弹簧振子
单摆
动力学特征：
动力学方程：
运动方程：
弹簧振子
单摆
注1：弹簧振子水平放置，竖直放置或放在固定的光滑斜面上都可以做简谐振动。
注2：
例.质量为m的质点在水平光滑面上,两侧各接一弹性系数为k的弹簧,如图,弹簧另一端被固定于壁上,L为两弹簧自然长度,如使m向右有一小位移后,静止施放,则质点每秒通过原点的次数为______
(1987.二.2)
解：
质点离开其平衡位置位移为x,所受合力为-2kx.由牛顿定律,其自由振动方程为:
∴其振动频率为：
质点每秒通过原点为 次。
二、简谐振动的特征量
1、振幅 A
2、角频率（圆频率）ω
：质点离开平衡位置的最大距离。
: 2秒内质点的振动数。
对弹簧振子：
对单摆：
由振动系统本身的性质决定。
由振动系统的初始状态决定。
3、 相位（位相，周相）：
反映质点的运动状态。
t =0 时位相值 ，称初相，
( t + )是 t 时刻的相位，
由振动系统的初始状态决定。
为方便计，规定：
注：角频率ω就是相位的变化速率。
4、两个同频率简谐振动的相位差：
它们的相差为：
两质点振动步调相同
(同相)
两质点振动步调相反
(反相)
质点2 比质点1 相位超前△
质点2 比质点1 相位滞后△
注1：超前与滞后是相对的。
三、 简谐振动的速度和加速度
1、位移:
2、速度:
3、 加速度:
为速度振幅；速度比位移的相位超前
为加速度振幅；加速度与位移反相。
（1） x、v、a 周期均为T。
（2）v比 x 超前π/2，
a与 x 反相。
都是简谐振动
t
(x-t 曲线叫振动曲线)
这样,矢量逆时针匀角速度旋转过程中，其端点M在x 轴上的投影点坐标为：
x = A cos (ωt +  )
恰为x 轴上简谐振动。
四、 简谐振动的旋转矢量表示法
4、 旋转矢量法的应用
②已知振动曲线画旋转矢
量在任意时刻的位置：
①利用旋转矢量制
作振动曲线：
（1）画图
（2）求振动初相
（3）求两个简谐振动的相位差
（4）两个简谐振动的合成问题
五、简谐振动的能量
以水平弹簧振子为例：
七、 一维简谐振动的合成
1、 同方向、同频率的两个简谐振动的合成
x = x1+ x2
=A cos( t+ )
两种特殊情况：
（1）
若A1=A2，A = 2A1，
（2）
若A1 = A2，A = 0。称为干涉相消。
称为干涉相长。
2、同方向、不同频率的两个简谐振动的合成 拍
为简化问题，设两谐振动的振幅和相位都相等。
x = x1+ x2
合振动不是简谐振动。
当 2 1时， 2- 1 2+ 1
随ｔ缓变；
随ｔ快变。
合振动可看作振幅缓变的“简谐振动”。
x
t
拍
拍频 : 单位时间内强弱变化的次数。
合振动的强弱A02(t)随 t 变化的现象－拍(beat)
设拍周期为Tb
实例：双簧口琴、双簧管(oboe)、钢琴(piano)调音(钢琴与标准音叉声波形成拍—拍频越小，说明钢琴的音越准)。
机械波
一、机械波的基本特征
1、 机械波产生条件:
（1）波源
（2）弹性媒质
由以弹性力互相联系着的质点组成。
——产生振动。
——传播振动。
（1）波动中每一个质点均在其平衡位置附近振动，不“随波逐流”，传播的是振动状态。
2、 波动的特征：
（2）波动中，传播方向上各质点的振动依次滞后，即后动的点在相上总滞后于先动的点。各点的振动频率均与波源的相同。
（3）波源作一次全振动，将传出一个完整的波形。
（2）波振面 ——由振动相位相同的点联成的面（同相面），简称波面。
3、波的几何描述
（1）波射线
——表示波的传播方向的射线。简称波线。
某时刻处在最前面的波面，称为波前。
（3）波形曲线：表示任一时刻同一波线上各质元相对于各自平衡位置的分布情况曲线。
4、波的特征量
——波速、波长与波频
波速由介质的性质决定， 波频由波源的振动频率决定（波源、观测者均不动时） 。
二、 平面简谐行波
即从振动落后或超前的角度考虑问题并求得波动方程。
1、波函数：
（2）波函数的意义：
① x 一定，y  t 给出 x 点的振动方程。
② t 一定，y  x 给出 t 时刻空间各点位移分布，即波形曲线。
③ 一般地 y =y (x, t ) 表波线上各质点在不同时刻的位移，反映了波形的传播。
y ( x+x , t +t ) = y (x,t) ,
其中x = u t 。
2、 波的能量 波的强度
（1）波动能量的特点
② 波动质元中总能量：W= △Wk + △Wp ≠const ，随时间 t 作周期性的变化。
① 对某一质元，其动能与势能等值同相。同时达最大，同时为0 。
质元经过其平衡位置时具有最大的振动速度 , 同时其形变也最大，因而动能、势能最大；质元在最大位移时，动能、势能均为零。
③ 波的实质是能量的传播过程，且波的能量是以波的传播速度和方向传播的。
波动传播时，介质单位体 积内的总机械能。
（2）能量密度：
（3）平均能量密度（对时间平均)
（适于各种弹性波）
（特征）
单位时间内垂直通过某一截面的能量, 称为波通过该截面的能流，或叫能通量。
（4）
在一个周期内能流的平均值称为平均能流:
通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流
称为平均能流密度，通常称为能流密度或波的强度。
（5） 能流密度（波的强度）
对无吸收媒质：波传播时振幅的变化
①平面波：A1= A2 ； ②球面波： A1 r1 = A2 r2
4、惠更斯原理
（1）原理内容:
介质中波传到的各点, 都可看作是发射子波的波源 (点波源)。在以后的任一时刻, 这些子波面的包络面（包迹）就是该时刻的波前 。
（2） 应用：
①已知某时刻的波振面，用作图法确定下一时刻的波振面。
t
t+△t
②用惠更斯原理作图法解释波的衍射现象 。
③用惠更斯原理作图法解释波的反射和折射规律。
5、波的干涉
（1）波的叠加原理
波动互不相干地按自身的方式传播，在波的交汇处，质元的振动是相交汇的各个波单独传播时激发的振动之和。
同频率、同振动方向、 相位差恒定。
（2） 相干条件：
（3）干涉规律
相干波源：
两列相干波在P点引起的振动
● P
叠加结果：
干涉加强的条件：
干涉减弱的条件：
10= 20 时，
相长干涉
相消干涉
三、驻波
1、驻波的形成：两列振幅相同的相干波在同一直线上相向传播时交汇处产生的干涉。
2、驻波的方程
3、驻波的特点
（2）频率特点：
（3）振幅特点：
（4）相位特点：
各质点同频率
（5）能量特点：
能量不传播
（1）驻波的波形：
不随时间改变
4、半波损失
（1）波密波疏，反射点无相位突变；
（2）波疏波密，反射点相位突变.
——“半波损失”
人耳听到的声音的频率与声源的频率相同吗？
观察者接收到的频率 ——单位时间内观测者接收到的振动次数或完整波数。
波源的频率 ——波源在单位时间内的振动次数，或在单位时间内发出完整波的数目。
波的频率 ——单位时间内波传播距离中完整波的数目，或介质中质点在单位时间内振动的次数。
三种频率与多普勒效应
多普勒效应——当波源或观察者或两者均相对介质运动，以上三种频率不同的现象。
观察者接收的频率
二 观察者不动,波源相对介质以 运动
观察者接收的频率
三. 观测者和波源同时运动
波源与观测者相互接近时，接收到的频率较高；波源与观测者相互远离时，接收到的频率较低。
观测者接近于波源运动vR为正，反之为负；波源接近于观察者运动vS为正，反之为负。
若波源和观测者的运动不在二者连线上
弹性波只有纵向多普勒效应，无横向多普勒效应。
即波源和观察者沿着它们垂直方向运动，可推出二者频率相等。
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例 一辆救护车以 25 m·s-1 的速度在静止的空气中行驶，假设车上鸣笛的频率为 800 Hz ，求：静止站在路边的人听到救护车驶近和离去时的鸣笛声波的频率.
（设空气中声速 330 m·s-1 . ）
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救护车靠近时， 运用公式：
解
得:
38
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当救护车远离时
火车运动的多普勒效应
一列火车A的汽笛声的频率是f0，当火车鸣着笛通过一个道口时，一位路人B离铁轨的垂直距离为d，B在道口听到火车的频率是多少？
[解析]如图所示，当波源运动速度不在波源与接收者的连线上时，只有径向速度才是有效的。
因此，路人B听到的火车汽笛声的频率为
由于
所以
火车运动的多普勒效应
[讨论]
①如果d = 0，可得
(x < 0)，
(x > 0)
这是波源的速度方向和接收者在一条直线上的情况。
②如果d ≠ 0，当x→-∞时，可得上面公式的第一式，可见：火车A从很远处开来时，路人B听到笛声的频率接近于火车A沿直线迎面而来的频率；
当x = 0时可得fB = f0
当火车A和路人B 擦身而过时，路人接收的频率等于火车发出的频率。
随着火车由远而近，再由近而远，x将从负到正连续变化，路人接收的汽笛声的频率都是持续降低的。
当x→+∞时，同理可知：火车A在很远处开去时，路人B听到笛声的频率接近于火车A沿直线背面而去的频率。
中国速度的象征——京沪高铁。它是由每根长100米的钢轨铺就而成。有位观察者站在铁轨旁，他离其中一根钢轨AB（端点分别为A和B）的两端点的距离均为100米。列车以360公里/小时高速贴地行驶，鸣着汽笛疾飞而过。列车司机说笛声频率为800赫兹。试问：(1)当列车刚进入钢轨AB的起始端A点时，观察者感觉到的笛声频率为多少？（2）列车驶离钢轨时，观察者感觉到的笛声频率为多少？(3) 在观察者看来，钢轨AB的中点C处发出的笛声，其频率为多少？（2012天津物理竞赛试题）
波源向观察者运动
波源远离观察者
如图所示，有一半径为R质量为m的匀质圆环，悬挂在墙壁上的钉子上可自由摆动。求环作微小角度（小于5度）摆动时的周期T。（2011天津物理竞赛试题）
气体热容比γ=Cm,p/Cm,V的测量。
实验器材：（1）一瓶某化学纯气体；（2）900弯角、横截面为S的玻璃管一段通过瓶塞垂直插入瓶内，露出瓶塞外那一段处于水平状态；（3）水平玻璃管内中部放有质量为m的光滑金属小球（视为活塞，来回运动不漏气）；（4）一个计时器。
实验原理：小球在平衡位置时化学纯气体体积为V、压强为P0（P0为瓶外大气压强），现将小球向内推移，然后放开。小球将以周期T在水平玻璃管内的平衡位置附近作简谐振动，假设小球振动过程中，瓶内气体变化过程看作准静态绝热过程，（即PV=C， C为常数）。
实验要求：（1）画出实验装置示意图；（2）证明小球谐振动准弹性力为f= -γPs2x/V (γ=Cm,p/Cm,V，x为位移)（3）推导振动周期T=2π(mV/γPS2)1/2；（4）写出如何用计时器测算小球振动周期值；（5）将（4）代入（3）写出气体热容比γ的表达式。