物理竞赛辅导

力 学 (Ⅱ)
纯滚动（无滑动的滚动）
A
B
接触点对地的速度为零
质心的速度为
质心的加速度为
轮子上一点相对于质心系的角速度为 w
轮子上一点相对于质心系的角加速度为 b
例： （18th, 5）半径为R 的圆环静止在水平地面上。 t ＝0 时刻开始以恒定角加速度 b 沿直线纯滚动。任意时刻 t > 0，环上最低点 A 的加速度的大小为 , 最高点 B 的加速度的大小为。
解： 质心系中
最低点A，地面系中
向左
向右
合加速度的大小
最高点B
例：一长 L=4.8m 的轻车厢静止于光滑的水平轨道上，固定于车厢地板上的击发器 A 自车厢中部以 u0 = 2m/s 的速度将质量为 m1 = 1kg 的物体沿车厢内光滑地板弹出，与另一质量为 m2 =1 kg 的物体碰撞并粘在一起，此时 m2 恰好与另一端固定于车厢的水平位置的轻弹簧接触，弹簧的弹性系数 k = 400N/m ，长度l =0 .30m ，车厢和击发器的总质量 M = 2kg 求车厢自静止至弹簧压缩最甚时的位移（不计空气阻力， m1 和m2 视作质点）
解：
车＋m1+m2 系统动量守恒
m1+m2 系统动量守恒
令m1从被弹出到与m2 碰撞结束所用的时间为 Dt
m1相对车厢的位移为
m1相对车厢的速度为
u0+V
在Dt 内，车厢向左的位移为：
车＋m1+m2＋弹簧系统机械能守恒
弹簧压缩最甚时，m1、m2 速度为零。车厢相对地面也静止
在m1和m2与弹簧碰撞的过程中，全部系统的动量守恒
设m1和m2与弹簧碰撞所用的时间为 Dt ’
在Dt ’ 内， m1和m2相对车厢的速度为 u’(t)
车厢的总位移为DX
DX= 0.75(m)
例: (20th 9) 车厢内的滑轮装置如图所示，平台 C 与车厢一起运动，滑轮固定不转动，只是为轻绳提供光滑的接触。物块A 与平桌面摩擦系数 m＝0.25，A 的质量 mA ＝20kg，物块 B 的质量 m B ＝30 kg 。今使车厢沿水平方向朝左匀加速运动，加速度 a0＝2m/s2 ，假定稳定后绳将倾斜不晃,试求绳子张力T。
C
A
B
解：
mA g
N
f
T
f *
mB g
f *
T
a
以车厢为参照系，引入惯性力
A
B
＝125.4（N）
a
行星绕恒星的椭圆运动
一、能量和角动量
②
①
由①
由②
二、椭圆在 P1 点的曲率半径为
三、椭圆轨道的偏心率为
四、轨道按能量的分类
E < 0，则偏心率 e < 1， 质点的运动轨道为椭圆。

E = 0，则偏心率 e= 1， 质点的运动轨道为抛物线。

E > 0，则偏心率 e>1， 质点的运动轨道为双曲线。
以地球为例：
rmax
U(r)
RE
E1<0
K=E－U
E2>0
0
r
例：行星原本绕着恒星S 做圆周运动。设S 在很短的时间内发生爆炸，通过喷射流使其质量减少为原来的质量的 g 倍，行星随即进入椭圆轨道绕S 运行，试求该椭圆轨道的偏心率 e 。提示（记椭圆的半长，半短轴分别为A、B ，则
解：变轨后 P 或为近地点，或为远地点
对圆轨道 P 点：
对椭圆轨道 P1 点：
A
B
先考虑 P 为近地点，后考虑P 为远地点的情况
②
①
对P2 点
因为 g < 1 ，因此上式不成立 。
故 行星变轨后不可能处于P2点，只能处于P1 点。
解二：
②
①
椭圆轨道的角动量
圆轨道的角动量
A
B
角动量守恒
解：
(1) 碰撞前卫星的速度
小流星与卫星碰撞，动量守恒
新星体的能量
椭圆轨道
对比
在近地点
偏心率
(2) 小流星与卫星反方向碰撞，动量守恒
新星体的能量
椭圆轨道
对比
在远地点
新星与 M 在近地点时的距离
两者发生碰撞
例：（11th,15）质量为2m 的匀质圆盘形滑轮可绕过中心O 并与盘面垂直的水平固定光滑轴转动，转轴半经线度可忽略，物体1、2的质量分别为m 和2m ，它们由轻质、不可伸长的细绳绕过滑轮挂在两侧。细绳与滑轮间的摩擦系数处处相同，记为 m，开始时，滑轮和两物体均处于静止状态，而后若m ＝0则滑轮不会转动；若m ≠ 0，但较小时，滑轮将会转动，同时与绳之间有相对滑动；当 m 达到某临界值m0 时，滑轮与绳之间的相对滑动刚好消失，试求m0 值。
T2
T1
m1 g
m2 g
解：
T2
T1
m1 g
m2 g
解：
绳子的质量忽略不计
对临界m值
例：（4th,）光滑的平面上整齐地排列着一组长为 l,质量为m 的均匀 细杆， 杆的间距足够大。 现有一质量 为 M 的小球以垂直于杆的 速度 V0 与杆的一端做弹性碰撞，随着细杆的旋转，杆的另一端又与小球做弹性碰撞，而后小球相继再与第二杆、第三杆…..相碰。当 m/M 为何值时， M才能仍以速度 V0 穿出细杆阵列？
m , l
M
解：
由动量守恒
由角动量守恒
由动能守恒
①
②
③
④
V = Vc
①
②
③
④
V = Vc
由① ② ④得：
代入③
例：21届18题
将劲度系数为 k，自由长度为L，质量为m 的均匀柱形圆柱弹性体竖直朝下，上端固定，下端用手托住。
（1）设开始时弹性体处于静止的平衡状态，其长度恰好为L,试求此时手上的向上托力。
（2）而后将手缓慢向下移动，最终与弹性体分离，试求其间手的托力所作的功W。
解:
(1) 取下面一段研究
T
G
它处于静止的平衡状态
T ＝G－F0
取 一微元dy
计算其弹性系数
将圆柱看做由许多的小段 dy 串联而成
y
y
dy
T
T+dT
对微元dy， 设伸长为 dx
其总伸长为
令 x 为零
（2）问 中 x 为
令F ＝ 0
例：22届18题
如图所示，光滑水平面上有一半径为R的固定圆环，长2l 的匀质细杆开始时绕着中心C点旋转，C点靠在圆环上，且无初速度，假定此后细杆可无相对滑动的绕着圆环外侧运动，直到细杆的一端与环接触后彼此分离，已知细杆与圆环之间的摩擦因数μ处处相同，试求μ的取值范围。
ω
ω
l
l
R
A
B
ω
ω
R
θ
P
A
B
ω
ω
R
θ
P
θ
解：设细杆初始角速度为ω0，转过θ角后角速度为ω，
在光滑水平面中转动，机械能守恒
解得
R
w
R
C点沿圆的渐开线运动
细杆受力 N 和f 分别为
摩擦因子取值范围为
A
B
C
C
q
P
r
N
f
切向
解：
对质心
对质心
例:(16th,13) 两个上下水平放置的相同的均匀薄圆盘A、B，盘的半径为 R ，质量为 M，两圆盘的中心都在同一竖直轴上, B 盘与轴固定，A 盘与轴不固定。先使A 盘转动，B 盘不动，然后A盘下落到 B 盘，并与之粘在一起，共同转动。设A 盘将要 落到B 盘上时的角速度为w0 ,并假设空气对盘表面任意点附近单位面积的摩擦力，正比于盘在该处的线速度, 比例常数为 K，轴与轴承间的摩擦忽略不计，求A、B 粘在一起后能转多少圈？
解：
A、B 相互作用时间极短，忽略阻力矩，角动量守恒
d f
r
A
B
M
M
R
The End