物理竞赛辅导
电磁学
电磁学综述
（经典）电磁学的基本规律——麦克斯韦方程组
电磁场理论的深刻对称性——电磁对偶
磁单极？
平行偶极板和长直螺线管的对偶
电容和电感的对偶
……
例：在xoy面上倒扣着半径为R的半球面上电荷均匀分布，面电荷密度为。A点的坐标为(0, R/2)，B点的坐标为(3R/2, 0)，则电势差UAB为——。
Q为整个带电球面的电荷
由对称性
此题也可从电场的角度考虑
例：三等长绝缘棒连成正三角形，每根棒上均匀分布等量同号电荷，测得图中P，Q两点（均为相应正三角形的重心）的电势分别为UP 和 UQ 。若撤去BC棒，则P，Q两点的电势为U´P =——， U´Q =——。
解：设AB, BC, CA三棒对 P点的电势及AC对Q点的电势皆为U1
AB, BC棒对Q点的电势皆为U2
撤去BC棒
例：厚度为b的无限大平板内分布有均匀体电荷密度（>0）的自由电荷，在板外两侧分别充有介电常数为1与2的电介质，如图。
求：1）板内外的电场强度
2）A, B两点的电势差
解：设 E=0 的平面 MN 距左侧面为 d1 , 距右侧面为 d2 .
据对称性, E垂直MN指向两侧
1) 求 D, E
x
例：无限大带电导体板两侧面上的电荷面密度为 0 ，现在导体板两侧分别充以介电常数 1 与 2 （ 1 2）的均匀电介质。求导体两侧电场强度的大小。
1
2
解：充介质后导体两侧电荷重新分布，设自由电荷面密度分别为0 1 和0 2
例：在两平行无限大平面内是电荷体密度 > 0的均匀带电空间，如图示有一质量为m，电量为q( < 0 )的点电荷在带电板的边缘自由释放，在只考虑电场力不考虑其它阻力的情况下，该点电荷运动到中心对称面oo的时间是多少？
d
 > 0
o
o
q< 0
q以oo为中心，在两平面内做简谐振动
例：一直流电源与一大平行板电容器相连，其中相对介电常数为 r 的固态介质的厚度恰为两极板间距的二分之一，两极板都处于水平位置，假设此时图中带电小球P恰好能处于静止状态，现将电容器中的固态介质块抽出，稳定后试求带电小球P在竖直方向上运动的加速度a的方向和大小。
解：P处于平衡状态，则其带负电
由于始终与电源相连，U一定
U  E  F  a
方向向下
例：如图，板间距为 2d 的大平行板电容器水平放置，电容器的右半部分充满相对介电常数为 r 的固态电介质，左半部分空间的正中位置有一带电小球 P，电容器充电后 P 恰好处于平衡位置，拆去充电电源，将电介质快速抽出，略去静电平衡经历的时间，不计带电小球 P 对电容器极板电荷分布的影响，则 P 将经 t = —时间与电容器的一个极板相碰。
解：拆去电源后，将介质抽出，过程中总Q不变，分布变
设：小球 m, q, 极板 S, Q, 场强E0, E
场强变化，P受力变化，关键求E
例：一平行板电容器中有两层具有一定导电性的电介质A和B，它们的相对介电常数、电导率和厚度分别为A, A, dA, B, B, dB ;且 dA+dB =d, d为平板电容器的两块极板之间的距离。现将此电容器接至电压为V的电源上（与介质A接触的极板接电源正极），设极板面积为S, 忽略边缘效应，试求稳定时（1）电容器所损耗的功率P；（2）电介质A和B中的电场能量WA和WB；（3）电介质A和B的交界面上的自由电荷面密度自和束缚电荷面密度束。
（2）电介质A和B中的电场能量WA 和 WB
稳定后电介质A和B中的电流密度相等
（3）电介质A和B的交界面上的自由电荷面密度自和束缚电荷面密度束
例：球形电容器的两个极为两个同心金属球壳，极间充满均匀各向同性的线性介质，其相对介电常量为r .当电极带电后，其极上的电荷量将因介质漏电而逐渐减少。设介质的电阻率为，t=0时，内外电极上电量分别为±Q0 ,求电极上电量随时间减少的规律Q(t)以及两极间与球心相距为r的任一点处的传导电流密度j(r,t).
因电流沿径向流动，总电阻可看成无数多薄球壳的串联
一、 点电荷系的相互作用能（电势能）
相互作用能W互：把各点电荷由现在位置分散至
相距无穷远的过程中电场力作的功。
两个点电荷：
同理：
写成对称形式：
电荷系的静电能
三个点电荷：

推广至一般点电荷系：
Ui ：除 qi 外，其余点电荷在qi 所在处的电势。
二、 连续带电体的静电能（自能）
静电能W：把电荷无限分割并分散到相距无穷
远时，电场力作的功。
只有一个带电体：
多个带电体：
总静电能：
例：在每边长为a的正六边形各顶点处有固定的点电荷， 它们的电量相间地为Q 或 – Q. 1）试求因点电荷间静电作用而使系统具有的电势能W 2）若用外力将其中相邻的两个点电荷一起（即始终 保持它们的间距不变）缓慢地移动到无穷远处， 其余固定的点电荷位置不变，试求外力作功量A.
1）Q，- Q所在处的电势
2) 外力作功量A.
余下四个点电荷系统的电势能
无穷远处一对电荷间的电势能
例：半径为R无限长半圆柱导体上均匀地流过电流I, 求半圆柱轴线（原圆柱体的中心轴线）处的磁感应强度B.
1) 选取电流元 r  r+dr, d
X
y
2) 另选电流元如图
. P
解：运动电荷的磁场
任选一点P，求P点磁场
例：设在讨论的空间范围内有均匀磁场B，在纸平面上有一长为h的光滑绝缘空心细管MN，管的M端内有一质量为m , 带电量为q > 0的小球P。开始时P相对管静止，而后管带着P朝垂直于管的长度方向始终以匀速度u运动，那么，小球P从N端离开管后，在磁场中做圆周运动的半径为R = ——。（不考虑重力及各种阻力）
解：小球受洛仑兹力作用如图
例：一球形电容器中间充以均匀电介质，该介质缓慢漏电，在漏电过程中，传导电流产生的磁场为Bc，位移电流产生的磁场为Bd，则
解：电子被加速后
例：原点O（0, 0）处有一带电粒子源，以同一速率v沿xy平面内的各个不同方向（1800）发射质量为m, 电量为q（>0）的带电粒子，试设计一方向垂直于xy平面，大小为B的均匀磁场区域，使由O发射的带电粒子经磁场并从其边界逸出后均能沿x轴正方向运动。（写出磁场边界线方程，并画出边界线）
x
y
O
设：磁场方向向下且无边界
任一粒子束，v,  其运动轨迹
v
o
过o作平行于y轴的直线它与圆周交于P点
P
粒子在P点时，速度恰沿x方向，若在此之后粒子不受磁力，则其将沿x轴正方向运动。
x
y
O
v
o
P
即P点应在磁场的边界上
不同角发出的粒子，其P点坐标均满足此方程
所有P点的轨迹方程，也是磁场的边界方程
例：半径分别为R1与R2的两同心均匀带电半球面相对放置（如图），两半球面上的电荷密度1与2满足关系 1 R1 = - 2 R2 1）试证明小球面所对的圆截面S为一等势面 。 2）求等势面S上的电势值。
E左
E右
1）均匀带电球面内场强为零
因此场强必定都垂直于截面
2）S上任一点的电势 U=U0
法拉第电磁感应定律
楞次定律
闭合回路中感应电流的方向，总是使它所激发的磁场来阻止引起感应电流的磁通量的变化。
感应电动势的两种基本形式：
动生电动势 & 感生电动势
动生
感生
解：设加磁场后水银的流速v
水银中产生感生电动势
例：一矩形线框由无电阻的导线构成，其边分别与x,y轴平行，边长分别为a和b，以初速v0 沿x正方向运动，当t=0时进入磁感应强度为B的均匀磁场，磁场方向如图，充满x>0的空间，设线圈的自感为L，质量为m，并设b足够长，求线圈的运动与时间的关系。（不考虑重力，框的电阻不计）。
解：线框进入磁场后
谐振动二阶微分方程
1）在电路的任一节点处，流入的电流强度之和等于流出节点的电流强度之和
——节点电流定律(基尔霍夫第一定律)
2）在稳恒电路中，沿任何闭合回路一周的电势降落的代数和等于零。
——回路电压定律(基尔霍夫第二定律)
欧姆定律的微分形式
直 流 电 路
2）导线框所受磁场力等于CD段导线所受的磁场力（也可根据 I左， I右 具体计算各边受力）
例：半径为20cm的圆柱形空间内的均匀磁场B随时间作线性变化B=kt(k=225/ T/s). 用分别为 30 与60 的半圆弧形电阻接成圆环同轴地套在圆柱形空间外，下图为其截面图。两半圆弧电阻连接处 M, N点用30 的直电阻丝MON相连。 求：1） 电势差UMN; 2) 在环外用多大阻值的电阻丝连接M,N点可使直电阻丝MON上电流为零。
解：总的电动势
1) K 断开，电流方向如图
2) K 合上，令I2 = 0, I4 如图
例：10根电阻同为R的电阻丝连成如图所示的网络，试求：A，B 两点间的等效电阻RAB.
由对称性知
AC与EB，AF与DB电流相同
设：总电流为 I ,
由节点电流关系得其他电流
由对称性 I - I2= I2
由AC间电压
2RI1=R(I-I1）+R(I2-I1)
例：如图电路，每两点间实线所示短导线的电阻为1，则A,B两端点间的电阻为
据对称性可将原电路等效成下图实线与虚线电路的并联，两电路的电阻相同
例：无限长密绕螺线管半径为r，其中通有电流，在螺线管内部产生一均匀磁场B，在螺线管外同轴地套一粗细均匀的金属圆环，金属环由两个半环组成，a、b为其分界面，半圆环电阻分别为R1 和 R2，且R1 >R2,，如图，当B增大时，求: Ua > < = Ub
例：一金质圆环以其边缘为支点直立在两磁极间, 环的底部受两个固定挡的限制, 使其不能滑动, 现环受一扰动偏离竖直面0.1弧度, 并开始倒下. 已知B=0.5T, 环半径r1=4cm, 截面半径r2 =1mm, 金的电导率 =4.0107/·m, 设环重F=0.075N, 并可以认为环倒下的过程中重力矩时时都与磁力矩平衡，求环倒下所需的时间t.
例：在光滑的水平面上，有一可绕竖直的固定轴O自由转动的刚性扇形封闭导体回路OABO,其半径OA=L，回路总电阻为R，在OMN区域内为均匀磁场B，方向如图，已知OA边进入磁场时的角速度为，则此时导体回路内的电流 i =___,因此导体回路所受的电磁阻力矩M=__.
dl
方向：OA
由于自己线路中的电流的变化 而在自己的线路中产生感应电流的现象叫自感现象，这样产生的感应电动势叫自感电动势。
自感系数（简称自感）
单位电流的变化对应的感应电动势 （普遍定义）
L的值取决于回路的大小、形状、线圈匝数以及周围磁介质的分布。
单位：亨利（H）
di / dt 相同，L 越大,εL 越大，回路中电流越不容易改变，L → 回路本身的“电磁惯性”。
自感电动势总是阻碍回路本身电流的变化。
两个载流回路中电流发生变化时相互在对方回路中激起感生电动势的的现象叫互感现象，这样产生的感应电动势叫互感电动势。
互感系数
例：一半径为 a 的小圆线圈，电阻为R，开始时与一个半径为b（b>>a）的大线圈共面且同心，固定大线圈，并在其中维持恒定电流 I，使小线圈绕其直径以匀角速  转动如图（线圈的自感忽略）。 求：1）小线圈中的电流； 2）为使小线圈保持匀角速转动，须对它施加的力矩 3）大线圈中的感应电动势
解：1) b>> a ，小线圈内的磁场近似均匀
2）当载流线圈所受外力矩等于磁力矩，线圈匀速转动
3）当小线圈 I 变化时，大线圈中有互感电动势
通过大线圈磁场在小线圈中的磁通量求互感系数M
解：整个磁场可视为圆柱O内的均匀磁场B和空腔内 – B 的叠加
空腔内的感应电场由这两部分产生
r1
r2
y
x
例：半径为R两板相距为d的平行板电容器，从轴线接入圆频率为的交流电，板间的电场E与磁场H的相位差为 ——，从电容器两板间流入的电磁场平均能流为——。（忽略边缘效应）
0
Eout
解：长直密绕螺线管内B=0ni
R
例：两根电阻可略，平行放置的竖直固定金属长导轨相距l，上端与电动势为、内阻为r的直流电源连接，电源正、负极位置如图所示。另有一根质量m、长l、电阻R的匀质导体棒，两端约束在两导轨上，可无摩擦地上下滑动。设空间有与导轨平面垂直的水平匀强磁场B，方向已在图中示出，将导体棒静止释放，试求导体棒朝下运动过程中的最大加速度amax和最大速度vmax。
解：依题意，由欧姆定律知，开始时导体棒中电流从左到右，大小为

在磁场中受竖直向下的安培力
那么，导体棒获得的向下加速度最大值为
导体棒向下加速后，某时刻速度记为v，对应有感应电动势

方向与电源电动势相反。当v足够大时，i > ，导体棒中电流反向，即从右到左，大小为

其受磁场竖直向上的安培力为
当F’值等于mg时，导体棒停止向下加速，力达到平衡，速度达到最大，即有
于是可解得
答：球心O处电势为
过O点的等势面为以q为中心的球面，故面积为
解：
解：