物理竞赛辅导
电磁学第二讲
十一、现有一质量半径为a的均匀带电圆薄盘，其面电荷密度为σ，求圆盘边缘处的电势大小。（设无穷远处电势为零）
解：
以圆盘边缘为圆心，以r为半径，dr为宽度，作圆弧。
一、电荷系的静电能
一. 定义
状态a时的静电能是什么？
定义：把系统从状态 a 无限分裂到彼此相距无限远的状态中静电场力作的功，叫作系统在状态a时的静电势能。简称静电能。
相互作用能
二. 点电荷之间的相互作用能
以两个点电荷系统为例
外力不作功
作功与路径无关表达式相同
为了便于推广 写为
三、 连续带电体的静电能W （自能）
把电荷无限分割并分散到相距无穷远 时，
电场力作的功。
多个带电体：
总静电能：
例：在每边长为a的正六边形各顶点处有固定的点电荷， 它们的电量相间地为Q 或 – Q. 1）试求因点电荷间静电作用而使系统具有的电势能W 2）若用外力将其中相邻的两个点电荷一起（即始终 保持它们的间距不变）缓慢地移动到无穷远处， 其余固定的点电荷位置不变，试求外力作功量A.
1）Q，- Q 所在处的电势
2) 外力作功量A.
余下四个点电荷系统的电势能
无穷远处一对电荷间的电势能
二、静电场中的导体
静电平衡条件
导体刚放入匀强电场中
只要 E不为零，自由电子作定向运动
改变电荷分布，产生附加场
两者大小相等，方向相反——完全抵消——达到静电平衡
静电平衡条件
处于静电平衡的导体是个等势体，导体表面是
个等势面
实心带电导体
证明：
静电平衡导体的电荷分布
 实心导体：内部无净电荷，电荷只能分布在导体表面。
 带空腔导体：
如果空腔内无带电体，电荷只能分布在外表面
如果空腔内有带电体，空腔内表面的净电荷总是与腔内带电体所带的电量等量异号，其余电荷根据电荷守恒定律分布在外表面。
证明：无论空腔内有无导体，取导体内部的高斯面 S 包围整个空腔，则有
Sq = 0；
作扁圆柱形高斯面
由高斯定理可以证明
证明：
 处于静电平衡的导体表面某点的面电荷密度，正比于该点紧邻处的场强大小；
1、 金属空腔导体内部无带电体
①导体空腔内表面不带任何电荷。
②空腔内部电场强度处处为零，
空腔内部及导体中的各点是等
电势的。
这些结论不受腔外带电体的影响。
静电平衡下导体空腔的性质
2、 金属空腔导体内部有带电体
B 空腔内表面有感应电荷。内表面
所带总电量与空腔内带电体的电量相等、符号相反。
C 空腔外表面上的感应电荷的电量与内
表面上的电量之和，要遵守电荷守恒定律。
D 腔内场强不为零，腔内不是等势体
A 导体部分是等势体
例：绝缘导体球不带电，距球心 r 处放一点电荷+q，金属球半径R,
求:(1)金属球上感应电荷在球心处产生的电场强度及
此时导体球的电势。
(2)若将金属球接地，球上的净电荷为何？
导体为等势体，求得球心o处的电势即可。
o
解：(1) 如图，
导体上感应电荷都在球表面，距球心R:
电荷守恒
接地时，电荷不为零，
而电势为零 即
(2) 若将金属球接地，球上的净电荷为何？

解：无限大带电平面将在导体球内激发一个场强使得导体球
内的 。故导体球表面上的电荷分布将发生改变，
直到导体球内各点的场强为0，达到静电平衡。此时，
由题意可知，P点附近导体球表面的面电荷密度为 。
故有：
可见，虽然导体表面一点的电荷面密度 与附近场强的关系
的形式不受外界影响，但外界条件可以通过影响导体表面各
点的电荷密度来间接影响其附近的场强。也就是说，不管导
体本身带电多少，也不管它附近是否存在影响它电荷分布的
其他导体带电体，只要它处于静电平衡状态， 都成立， 是所有电荷叠加后的合场强。
三、恒定电流
应记忆
1. 欧姆定律的微分形式
例：如图，两边为电导率很大的导体，中间两层是电导率分别
为 和 的均匀导电介质，它们的厚度分别为d1和d2，导体的
横截面积为S，流过的电流为I。求：
（1）两层导电介质中的电场强度；
（2）每层导电介质两端的电势差。
解：（1）由欧姆定律的微分形式，有：
于是：
（2）根据电势的定义可得：
2. 有电动势的电路
(1)闭合电路欧姆定律
（2）一段含源电路的欧姆定律
A、B两点间电压等于这两点间电路的各电源和各电阻（含电源内阻）上所有电压的代数和。
(1)假设电流方向（若实际电流方向已知，则不必再假设），选定电路行走正方向。
(2)对电阻而言，其电势降IR符号规则为：电流方向与行走正方向同向取正，反向取负。
(3)对电源而言，电动势ε符号规则为：行走正方向与电动势方向同向取负，反向取正。
(4)当电流待求时，可按所列方程解出电流I。若I>0，则表示电流的实际方向与所设的方向相同；若I<0，则表示电流的实际方向与所设方向相反。
说明：
3. 复杂电路
无法用串联和并联电路的规律求出整个电路电阻时，这样
的电路成为复杂电路。
解决复杂电路的一般方法是用基尔霍夫方程组：
1.基尔霍夫第一方程（节点电流方程）
2.基尔霍夫第二定律（回路电压方程）
电路网络结构的基本概念
1.支路：电路中的每一个二端元件称为一条支路；
2.节点：三条以上的支路的连接点称为节点；
3.网孔：电路中由各支路构成的无重复支路的回路为网孔；
4.回路：电路中由支路构成的闭和电路称为回路。
以右图的电路为例说明：支路、节点、网孔和回路。
应用基尔霍夫定律，原则上可以解决任何一个复杂电路，
但如果电路中的回路稍多一些，解方程组就不是一件容易的
事，下面我们介绍一种解决复杂电路的常用方法——对称性
化简。
在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点（以
两端连线为对称轴），那么当在这个电路两端加上电压时，
这些点的电势一定是相等的，即使用导线把这些点连接起来，
导线中也不会有电流，这样就不会改变原来电路的一切情况。
解：所求 对应的A、B两点恰好是网络的对角线，利用
对角线两侧电路的对称性，可将电路以AB为边“折叠”
起来（就像折纸一样），这样做不会改变电路的任何
性质。折叠后，每一段电阻由原先单一的电阻 变成
相当于两个电阻 并联，即每段电阻阻值变为
解: 该电路的等效电路为：
解：
4. 无限网络
（1）单边型线型无限网络
因
（2）双边型线型无限网络
解：m，n之间的等效电阻可以看成是两边两个单边无限
网络，再加上一个R并联而成。