电磁感应
高中物理竞赛系列讲座
物理竞赛大纲规定的考试内容：法拉第电磁感应定律，Lenz定律，感应电场，自感系数和互感等。从考点内容看，电磁感应所涉及到的知识点与常规教学基本相同，但对学生能力的要求较高，同时对数学的要求和物理方法的应用都很高，希望同学们对于一些经典问题有全面的理解。
1.电磁感应现象
当回路磁通量发生变化时在回路中产生电流的现象称为电磁感应现象。产生的电流叫感应电流。
磁通量的变化量
感生电动势
动生电动势
交流发电机
内容：导体回路中的感应电动势的大小与穿过导体回路的磁通量的变化率成正比.
在 SI 制中 k =1
确定回路的绕行方向，
2.法拉第电磁感应定律
感应电流和感应电量
感应电流的大小与 随时间变化率有关
感应电量只与回路中磁通量的变化量有关，与磁通量变化率无关。
3.动生电动势
例、长为l直导体在磁场B中做匀角速的转动，已知转轴通过导体的端点，角速度为ω，若磁场沿径向的变化规律为B=kr2，其中k为常数，求动生电动势。
（3）定轴转动的导体杆切割磁感线问题的灵活应用，特别是对非匀强磁场问题。尤其是法拉第圆盘发电机（或电动机）
（2）含源问题，应用基尔霍夫定律
（1）含电容器问题，应用微元（微积分）叠加处理
（4）功、功率和能量问题，电路产生的电能等于克服安培力做功
（5）数学基础：微元法（微积分）的应用
4.动生电动势的相关应用
1、如图所示，电源的电动势为U，电容器的电容为 C，S 是单刀双掷开关。MN、PQ 是两根位于同一水平面的平行光滑长导轨，它们的电阻可以忽略不计。两导轨间距为l，导轨处磁感应强度为B的均匀磁场中，磁场方向垂直于两导轨所在的平面并指向图中纸面向里的方向。l1 和 l2 是两根横放在导轨上的导体小棒，它们在导轨上滑动时与导轨保持垂直并接触良好，不计摩擦。两小棒的电阻相同，质量分别为 m1和m2，且m1（1）两根小棒最终速度大小；
（1）当电键S由1扳向2后，电容器对闭合回路放电，使两个小棒向右作加速运动。初始时分两小棒的安培力相同，但由于质量不等，故速度不等，最终会导致两小棒以相同速度运动，并使两端电压等于电容器两端电压，此时电流等于零，两小棒作匀速运动。
对于中间过程的任一时刻，设l1电流为i1，l2电流为i2，安培力分别为F1=Bli1和F2=Bli2，由动量定理，得
由于两棒开始时刻静止，而最终速度又等于v，则
任何时刻，通过l1和l2的电流的代数和等于电容器的放电电流i，即有
（2）在整个过程中的焦耳热损耗。
由能量关系，得
2、如图所示，水平放置的金属细圆环半径为a，竖直放置的金属细圆柱（其半径比a小得多）的端面与金属圆环的上表面在同一平面内，圆柱的细轴通过圆环的中心O．一质量为m，电阻为R的均匀导体细棒被圆环和细圆柱端面支撑，棒的一端有一小孔套在细轴O上，另一端A可绕轴线沿圆环作圆周运动，棒与圆环的摩擦系数为µ．圆环处于磁感应强度大小为B=kr、方向竖直向上的恒定磁场中，式中k为大于零的常量，r为场点到轴线的距离．金属细圆柱与圆环用导线ed连接．不计棒与轴及与细圆柱端面的摩擦，也不计细圆柱、圆环及导线的电阻和感应电流产生的磁场．问沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用于棒的A端才能使棒以角速度ω匀速转动．
分析：哪些是常量？哪些是变量？
对于在匀强磁场中，做定轴转动的导体杆切割磁感线，可以简单地用平均速度求解，现在还可以吗？
下面用积分方法求做
长度微元dx的动生电动势d =Bvdx=kx2dx
求安培力矩再次用到积分方法
利用外力力矩等于安培力矩与摩擦力矩之和即得
本题也可以由能量关系计算，外力的功率等于电功率与克服摩擦力功率之和
3、如图所示，OO为一固定不动的半径为a1的圆柱形金属轴，其电阻可忽略不计。一个内半径为a1、外半径为a2、厚度为h（h<当电源接通后，若它不带任何负载，称为空载状态，空载达到稳定时圆盘转动的角速度用0表示；当接有负载并达到稳定时圆盘的角速度用，负载没有画出，不记一切摩擦。试求
（1）当电动机输出最大机械功率时，/0的大小；
（2）在（1）的情况下，圆盘的发热功率为多少？
（1）接通电路时，恒流源提供的电流一部份流经R，另一部分流经圆盘，由于盘中有沿半径流动的电流而受到安培力矩作用，形成一个法拉第电动机。当圆盘在磁场中转动时，由于电磁感应，在盘中出现反电动势，其等效电路如图所示。圆盘所在支路的电路方程为
随着圆盘角速度的增大，反电动势亦随之增大，电流i减小。在电动机有负载时，当电流小到某一值时，磁场的磁力矩与负载的机械力矩平衡，转动达到稳定，盘做匀角速转动，角速度为；如果电动机没有负载，此种情况的稳定态是盘中没有电流，磁力矩等于零，圆盘匀角速转动的角速度为0
当圆盘以某一角速度转动时，圆盘产生的反电动势的大小为
再计算圆盘的电阻。由于盘中的电流沿半径方向，可用微元法计算圆盘的电阻，具体计算略，得
当有负载时，圆盘转动的角速度为，此时流过圆盘的电流为i，得
求安培力的功率仍然用微元法，对第j个小圆环，所受安培力的功率为
整个圆盘的安培力的功率为
当电动机转动达到稳定时，电动机输出的机械功率也就是安培力的功率
（2）当电动机输出的机械功率最大时，圆盘转动的角速度为=0/2，设此时流经圆盘的电流为i
圆盘电阻消耗的功率为
代入整理，最终得
此题是第22届全国中学生物理竞赛决赛的题目，仍然是考察对法拉第圆盘电动机的应用，而这类题目在竞赛中出现过多次，所涉及到方法也应该是考生所熟悉的。本题涉及到（1）定轴转动切割磁感线产生的（反）电动势（2）含源电路的欧姆定律（3）电阻的计算（4）安培力的计算（5）电功率的计算（6）力矩平衡（7）函数求极值等。这就要求考生对典型问题或典型模型要吃透，真正理解其中蕴含的物理思想和物理方法，并能做到举一反三灵活应用。
4、磁悬浮列车是一种高速运载工具。它具有两个重要系统。一是悬浮系统，利用磁力（可由超导电磁铁提供）使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触。另一是驱动系统，在沿轨道上安装的三相绕组（线圈）中，通上三相交流电，产生随时间、空间作周期性变化的磁场，磁场与固连在车体下端的感应金属板相互作用，使车体获得牵引力。
式中B、k、均为已知常量，坐标轴x与轨道平行
在任一时刻t，轨道平面上磁场沿x方向的分布是不均匀的，如图所示。图中Oxy平面代表轨道平面，“×”表示磁场的方向垂直Oxy平面指向纸里，“· ”表示磁场的方向垂直Oxy平面指向纸外。规定指向纸外时B取正值。“×”和“· ”的疏密程度表示沿着x轴B的大小分布。一个与轨道平面平行的具有一定质量的金属矩形框MNPQ处在该磁场中，已知与轨道垂直的金属框边MN的长度为，与轨道平行的金属框边MQ的长度为d，金属框的电阻为R，不计金属框的电感。
（1）试求在时刻t，当金属框的MN边位于x处时磁场作用于金属框的安培力，设此时刻金属框沿x轴正方向移动的速度为。
（2）试讨论安培力的大小与金属框几何尺寸的关系。
本题的几个关键点
1、磁场的传播速度
2、动生电动势
3、安培力的数学表达式
振幅部分
相因子部分
振幅为零
振幅最大
1.涡旋电场的引入
Maxwell神来之笔
2.感生电动势的大小
由于磁场的时间变化而产生的电场
3.涡旋电场及其相关的计算
其中，l是S的边界
理论上，可以用微积分计算任何情况下，时变磁场产生的涡旋电场，当然，在中学阶段，我们只能计算一些特殊情况下的涡旋电场。
例、一半径为R的光滑绝缘大圆环上套有一质量为 m带电为q的小环。大圆环水平放置，与一强度为B0的均匀恒定磁场垂直。从时间t=0开始该磁场变为B(t)=B0+t，(>0).求任意时刻小环对大圆环的作用力的表达式。
4.电子感应加速器
（1）原理：电子感应加速器（betatron）是应用感生电场加速电子的装置。
在电磁铁的两极之间安置一个环形真空室，当用交变电流激励电磁铁时，在环形室内就会感生出很强的、同心环状的感生电场。用电子枪将电子注入环形室，电子在有旋电场的作用下被加速，并在Lorentz力的作用下，沿圆形轨道运动。
（2）两个基本磁场：加速B1、旋转B2
练习、一个电子感应加速器的简化模型如图所示，在半径为r0的区域内有磁场B1，在r>r0的外环型区域内有磁场B2，欲使带正电荷q的粒子能在环形区域内沿半径为r=r0的圆形轨道上不断被加速，试分析B1、B2的时间变化率满足什么关系？
（3）交变励磁场的四分之一加速
实际上，若交流电的周期为50Hz，则在磁场变化的第一个四分之一周期（约5ms的时间）内，电子就能在感生电场的作用下，在圆形轨道上经历回旋数十万圈的持续加速，从而获得足够高的能量，并在第一个四分之一周期结束时被引出加速器至靶室。
6.综合问题例解
例、有一个匀质细导线圆环，总电阻为R，半径为a，圆环内充满方向垂直于环面的匀强磁场，磁场随时间线性变化，其变化率为k，圆环上对称分布A、D、C三点，电流表与A、C相连接，如图所示，若电流表的内阻为r，求通过电流表的电流强度。
1、电荷Q均匀分布在均匀电介质的圆盘上，圆盘放入均匀的外磁场中，磁感应强度为B，方向垂直于盘面。圆盘质量为m，它可以绕过圆盘中心垂直于盘面的固定轴的自由转动。如果切断外磁场，原来静止的圆盘将以多大的角速度开始转动？
2、如图所示，均匀磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度随时间变化，B=B0kt（k为大于0的常数）。现有两个完全相同的均匀金属圆环相互交叠并固定在图中所示位置，环面处于图中纸面内。圆环的半径为R，电阻为r，相交点的电接触良好。两个环的接触点与间的劣弧对圆心的张角为60．求t=t0时，每个环所受的均匀磁场的作用力，不考虑感应电流之间的作用。
提示1：在任意时刻t两环中的感应电流的分布如何？
I1
I1
I2
I2
提示2：此题关键自然是要求两个感应电流的大小，如何求？
提示3：求两个感应电流的大小自然要用基尔霍夫定律，方程如何列？电动势如何求？
提示4：电流终于求出来了，如何求作用力呢？先对其中一环，例如左环做受力分析吧，可是这是圆环而不是直导线啊，安培力如何求呢？想一想
3、一个用绝缘材料制成的扁平薄圆环，其内、外半径分别为a1、a2，厚度可以忽略．两个表面都带有电荷，电荷面密度随离开环心距离r变化的规律均为 =0/r2，0为已知常量。薄圆环绕通过环心垂直环面的轴沿逆时针方向以大小不变的角加速度减速转动，t = 0时刻的角速度为0．将一半径为a0 (a0<提示：半径为r、通有电流I的圆线圈（环形电流），在圆心处产生的磁感应强度为B=kI/r（k为已知常量）
提示1：用微元叠加（积分）求环形电流在圆心处的磁场
ri
ri+ri
微电流元
微磁场元
总磁场——微元累加或积分
提示2：用Faraday电磁感应定律求半径为a0的小环中产生的感应电流
提示3：求安培力
4．如图所示，在一个半径为r、质量为M、可以无摩擦地自由转动的匀质圆盘中部装有一细长的螺线管，其半径为a，沿轴线方向单位长度的线圈匝数为n，线圈中通有稳恒电流I。在圆盘边缘上均匀地镶嵌N个质量为m、电荷量为q的带电小球。设开始时刻，圆盘静止，然后将电流切断，试求圆盘转动的角速度。
（1）RL暂态特性
合上开关K
（2）RC暂态特性
1、如图所示，一个磁感应强度为B的均匀磁场，垂直于一轨距为l的导轨平面，轨道平面与水平面有的倾角．一根无摩擦的导体棒，质量为m，横跨在两根金属导轨上．若开关依次接通1、2 、3 ，使阻值为R（其余电阻均不计）、电容为C或电感为L的元件与棒构成电路，当从静止放开导体棒后，求棒的运动规律．
本题三个感应电流电路中,“电源”均为受有恒定外力（重力之“下滑”分力）的金属杆在匀强磁场中做切割运动产生动生电动势，通过开关转换，构成纯电阻电路、纯电容电路及纯电感电路．初始状态相同的三个电路，在不同的电路条件下，其暂态过程及稳定态迥异。
S→1，纯电阻电路
经加速度减小的加速过程，达到稳定态
S→2 ，纯电容电路
稳定态时电流恒定，导体棒做匀加速运动
S→3纯电感电路
取平衡位置为坐标原点
纯电感电路无稳定状态，导体棒和电流均做周期性变化
振动方程为
2、图中oxy是位于水平光滑桌面上的直角坐标系，在x>0的一侧，存在匀强磁场B ，磁场方向垂直于oxy平面向里。在x<0的一侧，一边长分别为l1和l2的刚性矩形超导线框位于桌面上，框内无电流，框的一对边与x轴平行。线框的质量为m，自感为L。现让超导线框沿x轴方向以初速度v0进入磁场区域，试定量地讨论线框以后可能发生的运动情况及与初速度v0大小的关系。（假定线框在运动过程中始终保持超导状态）
解：以线框刚进入磁场为t=0时刻，在此后的某一时刻t，线框的位移为x，速度为v，电流为i，此时动生电动势为=Bl2v,自感电动势为L=Ldi/dt，由于是超导线框，有
C为一待定常数，由初始条件决定，由于t=0时，x=0，i=0，所以C=0。
此时线框受到的安培力为
谐振子运动的通解
由初始条件：t=0时，x=0，v=v0，可以求出
于是，线框的运动方程为
（1）线框的初速度v0较小，在安培力的作用下，当它的速度减为0时，整个线框未全部进入磁场区，这时在安培力的继续作用下，线框将反向运动，最后退出磁场区．线框一进一出的运动是一个简谐振动的半个周期内的运动，
故当xl1时，v=0，数学上有
若线框的初速度v0比较大，整个线框能全部进入磁场区．当线框刚进入磁场区时，其速度仍大于0，这要求满足下式
设全部进入磁场区的时间为，由（11）式，得
代入方程（12）
线框在0~时间内，做简谐振动，在t>以速度v（19）做匀速直线运动
说明：此题也可以用广义势能来处理计算谐振子的振幅，由
3、一个细的超导圆环质量m、半径r、电感L，放在竖直的圆柱形磁棒上面，如图所示．圆环与棒有同一对称轴．在圆环周围的圆柱形磁棒的磁场在以圆环中心为坐标原点的Oxy坐标中可近似地表示为By=B0（1y）和 Bx=B0x，其中B0、α、β为常量．初始时，圆环中没有电流，当它被放开后开始向下运动且保持它的轴仍为竖直，试确定圆环的运动并求圆环中的电流．
初始时，圆环中没有电流，环中磁通量 :
圆环开始向下运动时,
变化,感应电流I的磁通量
环中磁通总量 :
超导线圈
环受安培力为 :
其中,环面过平衡位置时 :
环所在处磁场
Fm
Fm
mg
环面在平衡位置下y时 :
续解
∴圆环在y 轴上做简谐运动,周期为:
圆环中最大电流为:
圆环中电流随时间变化规律为:
4、如图所示，有二平行金属导轨，相距l，位于同一水平面内（图中纸面），处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向竖直向下（垂直纸面向里）．质量均为m的两金属杆ab和cd放在导轨上，与导轨垂直．初始时刻， 金属杆ab和cd分别位于x = x0和x = 0处．假设导轨及金属杆的电阻都为零，由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为L．
今对金属杆ab施以沿导轨向右的瞬时冲量，使它获得初速v0．设导轨足够长，x0也足够大，在运动过程中，两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距，因而可以认为在杆运动过程中由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数L是恒定不变的。杆与导轨之间摩擦可不计．求任意时刻两杆的位置xab和xcd以及由两杆和导轨构成的回路中的电流i三者各自随时间t的变化关系。
解：设在任意时刻t，ab杆和cd杆的速度分别为v1和v2（相对地面参考系S），当v1、v2为正时，表示速度沿x轴正方向；若规定逆时针方向为回路中电流和电动势的正方向，则因两杆作切割磁力线的运动而产生的感应电动势
当回路中的电流i随时间的变化率为i/t时，回路中的自感电动势
由于回路没有电阻，有 E+EL=0
金属杆在导轨上运动过程中，两杆构成的系统受到的水平方向的合外力为零，系统的质心作匀速直线运动．设系统质心的速度为VC，有
（3）
现取一新的参考系S，它与质心固连在一起，并把质心作为坐标原点O，取坐标轴Ox与Ox轴平行．设相对S系，金属杆ab的速度为u1，cd杆的速度为u2，则有
因相对S系，两杆的总动量为零，即有
ab杆受到的安培力
做变量代换
初始条件：t=0
因此，ab杆运动方程的特解
在S系中，cd杆的运动方程显然为
回到S系中，ab、cd杆的运动方程为
回路中的电流为
谢谢！