力 学 基 本 概 念 及 补 充
力学部分主要公式：
（1). 牛顿第二定律
（2). 角动量定理
对于质点,角动量
对于刚体,角动量
(3). 保守力与势能关系
(4). 三种势能
重力势能
弹性势能
万有引力势能
(5). 保守力的特点
作功与路径无关
(6). 势能的定义
某个位置处的势能计算：
从这个位置移动到势能零点处，保守力所做的功。
势能曲线
势能曲线的作用：
（1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。
（2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置所受保守力的大小和方向。
表明：保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此坐标的导数的负值。
(7).转动动能
(8).转动定律
(9).转动惯量
刚体的平面平行运动
一、刚体的平面平行运动
定义：当刚体运动时，其中各点始终和某一平面保持一定的距离，或者说刚体中各点都平行于某一平面运动，这就叫刚体的平面平行运动。
根据平面运动的定义，刚体平面运动的自由度有三个，两个坐标决定质心位置，一个坐标决定转动角度。
刚体的平面平行运动可以看做质心的平动与相对于通过质心并垂直于平面的轴的转动的叠加。
主要讨论圆形物体在平面上或曲面上的滚动。通常质心就在圆的中心。
二、滚动
几种滚动的形式：
有滑滚动：接触面之间有相对滑动的滚动
无滑滚动（纯滚动）：接触面之间无相对滑动的滚动。
车轮的纯滚动
对于纯滚动，除了要满足前面的两个公式以外，还应该满足约束条件：
车轮的纯滚动
车轮中心前进的距离与质心转过的角度的关系
则
总结
此时：这样看待圆柱体的运动： O点以过O’ 点为瞬心轴转动。
（1）求质心的运动。
利用质心运动定律，设质心在Oxy平面内运动，则有平动方程
刚体平面平行运动的求解:
（2）在质心坐标系中讨论刚体绕通过质心并垂直于空间固定平面的轴转动。
（3）纯滚动约束方程。
例题 讨论一匀质实心的圆柱体在斜面上的运动。
解 圆柱体所受的力共有三个：
重力G ，斜面的支承力N 和
摩擦力f r，如图所示。设圆柱体的质量为m，半径
为r，那么，它对其几何的转动惯量
这样可得
以上三式中，aCx和aCy是圆柱体质心在x轴和y轴方向的加速度，是圆柱体对其通过质心的几何轴转动的角加速度。因斜面粗糙，圆柱体下降时没有滑动，只能在斜面上作纯粹滚动，那么此时
解上列五个式子，得
我们取和斜面平行而向下的方向为x轴的方向，和斜面垂直而向上为y轴的方向
如果这圆柱体从静止开始沿斜面滚下一段距离x，与之相应，下降的竖直距离是h=xsin，这时质心的速度由
如果斜面是光滑的，对圆柱体没有摩擦力，即fr=0，则圆柱体沿斜面滑下的加速度是
而圆柱体对质心的角加速度与角速度为
如果圆柱体从静止沿斜面下滑的距离也是x，则质心所获得的速度由
求得
在上述纯粹滚动与纯粹滑动两种情况中，
我们看到，两者加速度之比是2/3，两者速度
之比是
本题也可用机械能守恒定律讨论。圆柱体在斜面上作纯粹滚动下落时，所受到的斜面的摩擦力和正压力都不作功，满足机械能守恒的条件。圆柱体从静止滚下，它没有初动能，只有重力势能mgh，当它滚动下降这段高度时，全部动能是
对纯粹滚动而言，vc=r，以此代入得
由机械能守恒定律得
求得
和以前的结果完全一致。
例 一质量为m、半径为R 的均质圆柱，在水平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图所示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。
解：设静摩擦力f 的方向如图所示，则由质心运动方程：
圆柱对质心的转动定律
纯滚动条件为
圆柱对质心的转动惯量为
联立以上四式，解得
由此可见
l0, 静摩擦力向后
l>r/2, f<0, 静摩擦力向前
l=r/2, f=0
联立以上三式，可解得所求解的参数
解：球在受冲击后水平方向只受摩擦力 作用，可得质心的运动方程为：
转动方程为：
由上两式，可得
即：
则质心在此期间经过的距离为：
则纯滚动时质心的速率为：
例题 质量为m、半径为r的均质球位于倾角为θ的斜面的底端，开始时，球的质心速度为零，球相对于质心的转动角速度为ω0，如图所示。球与斜面之间的摩擦系数为μ，球在摩擦力作用下沿斜面向上运动，求解球所能上升的最大高度。
滑动滚动阶段 ：
又

此时有 ：

在此期间，沿斜面上升距离为 ：
因此，滑动过程中上升高度为 ：

因此，总的上升高度为：
刚体的平衡
刚体的平衡方程
无平动
（对某定点如A）
刚体平衡的充要条件
无转动
当两条件满足时，外力对任何定点的力矩的矢量和也为零.
[例题2]将长为l ,质量为 m1 的均匀梯子斜靠在墙角下,已知梯子与墙面间以及梯子与地面间的静摩擦因数分别为1 和2 ，为使质量为m2 的人爬到梯子顶端时,梯子尚未发生滑动.试求梯子与地面间的最小夹角.
[解]平衡条件
联立求解得：
绕对称轴高速旋转的刚体，称为陀螺，或称回转仪。
陀螺在运动过程中通常有一点保持固定，属于刚体的定点运动。陀螺有很多奇妙的性质，并有着广泛的应用。
可以用角动量和角速度的矢量性质来解释陀螺的这些奇特运动。
自转与旋进
常平架回转仪
绕质心运动的角动量守恒,
1.常平架回转仪的构造
2.常平架回转仪的原理
转动体自转轴方位保持不变.
①支架 ②外环
③内环 ④转动体
3.应用
安装在导弹、飞机、坦克或舰船中，随时纠正导弹等的方向和姿态.
进动：高速旋转的物体，其自转轴绕另一个轴
转动的现象。
1. 玩具陀螺的进动
回转仪的旋进
进动原因
刚体受重力矩
dt 时间内角动量增量
因
所以自转轴发生转动，产生进动。
用角动量定理研究进动
由角动量定理
所以
进动角速度
又因为
所以
进动角速度可写成
写成矢量式有：
杠杆陀螺的进动
陀螺高速自转,有重力矩,
仅方向不同.
t 很小时
角动量增量
矢量式
旋进角速度
因此
一、理想流体模型
在一些实际问题中，当可压缩性和黏滞性只是影响运动的次要因素时，可把流体看作绝对不可压缩，且完全没有黏性的理想流体．
伯努利方程及其应用
当理想流体流动时，由于忽略了黏性力，所以流体各部分之间也不存在这种切向力，流动流体仍然具有静止流体内的压强的特点，即压力总是垂直于作用面的，大小和截面取向无关。
讨论仅限于不可压缩的理想流体。
当实际的流体各部分有相对运动时，就会出现阻碍这种相对滑动的力，叫粘滞力，又叫内摩擦力。流体的这种性质就叫粘滞性。
二、定常流动
流体流动时，其中任一质元流过不同地点的流速不尽相同，而且流经同一地点，其流速也会随时间而变．但在某些常见的情况下，尽管流体内各处的流速不同，而各处的流速却不随时间而变化。
定常流动：空间各点流体的速度不随时间变化。
在定常流动中，压强和密度等量也不随时间变化。注意—但此时，空间各点的速度、压强和密度等量一般并不相等。
在定常流动中，对确定的流体质元其速度仍可随时间变化，即加速度仍然可不为零
在定常流动中，流线分布和形状都不随时间改变。流体的各个质元都被限制在“光滑”的固定流管内，就像限制在光滑轨道上运动的质点。根据功能原理，对这种流体质元的运动，利用功能原理进行讨论最方便。
二、伯努利方程
处在重力场中的流体，其机械能包括动能和重力势能两部分，故有
由于流体不可压缩，它在运动过程中保持不变，作用于该流体的外力就是其他流体对它压力的：管外的流体不做功；只有管内其他流体对它的压力做功。外力做的功为
由于流动是定常的，压强只和位置有关，与时间无关，因而在B到A’这段路程中，压力对A截面所做的功与对B截面做的功等值异号，相互抵消，所以
代入前面机械能的式子，可得
上式称为伯努利方程。它实质上就是流体运动中的功能关系式，即单位体积流体的机械能的增量等于压力差所做的功。
三、伯努利方程的应用
1、等高管中流速和压强的关系
根据伯努利方程，在水平流管中，有
所以，流速大的地方压强小，流速小的地方压强大。在粗细不均匀的水平流管中，根据连续性方程，管细的地方流速大，管粗的地方流速小，因此管细处压强小，管粗处压强大。
2、射流速率
如果在盛水的容器底部开一小孔，则水流从小孔射出，其射流速率可用伯努利方程求得。
由此可得
——托里拆利定律
事实上，这也正好与物体从 h 高处自由下落所获得的速度相等。怎么理解?
对某个细管来说，随着液面的下降，整个流管重力势能的减小等效于下降的这段液柱的重力势能之差，它应该等于整个流管动能的增加，这恰好等于出射流体的动能。
3、皮托管
当流体在障碍物前受阻时，在障碍物前会有一点，在该点处流体静止不动，常称为驻点。可从伯努利方程求出该点的压强
3、皮托管
另几种可以直接测出总压和静压之差的装置：
[例] 皮托管原理：皮托管常用来测量气体的流速。开口 B 与气体流动的方向平行，开口 A 则垂直于气体流动的方向．两开口分别通向U形管压强计的两端，根据液面的高度差便可求出气体的流速。
已知气体密度为ρ，液体密度为ρ液 ，管内液面高度差为 h ，求气体流速。气流沿水平方向，皮托管亦水平放置．空气视作理想流体，并相对于飞机作定常流功。
测流量的汾丘里流量计如图所示．若已知截面S1和S2的大小以及流体密度ρ，由两根竖直向上的玻璃管内流体的高度差h，即可求出流量Q．
4、汾丘里流量计
汾丘里流量计是串接在瘤体管道中的一根喉形管（称汾丘里管），由粗细管中的压强差及有关参量可以测量流量，即单位时间内流过管道的流体体积。
设管道中为理想流体作定常流动，由伯努利方程，
因p1-p2=ρgh，又根据连续性方程，有
由此解得
于是求出流量为
得
经典多普勒效应
当我们站在铁路旁，正遇鸣着汽笛的火车开过身旁时，会感到汽笛声忽然由高亢变得低沉了。
用物理语言来说，当火车迎面而来时，汽笛声的频率显得高些；背向而去时，频率显得低些。
实验证明，当波源不动，而观察者运动时，也有类似的情形。
多普勒效应
多普勒效应：波源或观察者相对于介质运动，使观察者接收到的波的频率发生变化的现象。
明确几个概念
1. 波源不动，观察者以速度vR相相对于介质运动
波源速度vS = 0,观察者向波源运动的速度为vR( > 0 )
观察者接收到的频率：
观察者向波源运动
观察者远离波源
观察者相对波源运动时
波源向观察者运动
观察者接收到的频率
3. 波源与接收器同时相对介质运动
观察者接收到的频率
波源远离观察者
波源相对观察者运动时
例 一个观察者站在铁路附近，听到迎面开来的火车汽笛声为A4音(频率为440 Hz)，当火车驶过他身旁后，汽笛声降为 G4 音(频率为392 Hz)，问火车的速率为多少 ? 已知空气中的声速为 330 m/s。
解：设汽笛原来的频率为 0，
当火车驶近观察者时，接收到的频率为 ’，
 ’ = V 0 / ( V - u )
当火车驶过观察者后，接收到的频率为 ’’，
 ’’ = V 0 / ( V + u )
 ’ /  ’’ = ( V + u ) / ( V- u )
火车速率 u = ( ’- ’’ ) V/ ( ’+ ’’ ) = 19 m/s
解：1）车为接收器
例题12 利用多普勒效应监测车速，固定波源发出
求车速 .
与波源安装在一起的接收器接收到从汽车反射回来的波
2）车为波源
电磁波的传播不依赖弹性介质，波源和观测者之间的相对运动速度决定了接听到的频率。电磁波以光速传播，在涉及相对运动时应考虑相对论时空变换关系。
当波源和观测者在同一直线上运动时，得到
二、电磁波的多普勒效应
振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用下所作的振动，称为无阻尼自由振动。
在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。
阻尼振动
对在流体(液体、气体)中运动的物体，当物体速度较小时，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示为
物体的形状、大小、和介质的性质决定
一、运动方程及其解
在阻力作用下的弹簧振子
受力：
运动方程:
引入
固有角频率
其中
，阻尼系数
余弦项表征了在弹性力和阻力作用下的周期运动；
反映了阻尼对振幅的影响。
阻尼振动的准周期性振动
阻尼振动不是周期性振动，更不是简谐振动，因位移不是时间的周期函数。但阻尼振动有某种重复性。
位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做阻尼振动的周期，有
显而易见，由于阻尼，振动变慢了。
阻尼振动的振幅为：
阻尼振动振幅的衰减程度。
即得
阻尼振动的能量仍然等于动能与势能之和，但总能量不再是常量：
二、阻尼振子的能量
三、品质因数
阻尼振动的三种情形：
欠阻尼
四、临界阻尼与过阻尼
通过控制阻尼的大小，以满足不同实际需要。
应用：1、机器加大摩擦阻尼
3、灵敏电流计临界阻尼
2、弦乐器加大辐射阻尼
解：第一宇宙速度（环绕速度）
设在地球表面外某一高度的P点发射飞行器，发射速度为v1，方向和地面平行。当v1的值使机械能E<0时，飞行器做椭圆运动。当v1足够大时，使它能沿圆周Ⅱ运行，这个速度就是第一宇宙速度。
例题2-17 讨论宇宙航行所需要的三种宇宙速度.
飞行器以v1的环绕地球运动，所需向心力由万有引力提供，亦即
由此得
设地面上飞行器的重量为mg，地球的半径为R，则飞行器所受地球的引力等于重力，由此求得
环绕速度
则得
第一宇宙速度
第二宇宙速度（逃逸速度）
当飞行器发射速度从7.91×103m/s增大时，椭圆逐渐拉长变大；当速度达到某一程度，飞行器就挣脱地球的束缚而一去不复返.能使物体挣脱地球束缚的速度叫第二宇宙速度
物体脱离地球引力时，系统机械能最小
第二宇宙速度
第三宇宙速度
物体相对太阳的速度
物体脱离太阳引力所需的最小速度叫第三宇宙速度
地球 相对太阳的速度
物体相对于地球的发射速度
从地面发射物体要飞出太阳系，既要克服地球引力，又要克服太阳引力，所以发射时物体的动能必须满足
第三宇宙速度
力 学 例 题 选 讲
l. 水平轻绳跨过固定在质量为m1的水平物块的一个
小圆柱棒后，斜向下连接质量为m2的小物块，设系统
处处无摩擦，将系统从静止状态自由释放，假设两物块
的运动方向恒如图所示，即绳与水平桌面的夹角
始终不变，试求
解：
画隔离体图，受力分析
列方程：
沿绳的方向加速度应该相等：
解得：
以地为参照系.
小球速度：
水平方向动量守恒
系统机械能守恒：
解得：
例3：长为
质量为M的均质重梯上端A靠在光滑的竖直
墙面上，下端B落在水平地面上，梯子与地面夹角为
一质量也为M的人从B端缓慢爬梯，到达梯子中点时
梯子尚未滑动，稍过中点，梯子就会滑动，求梯子与
地面之间的摩擦系数
解：系统力平衡
力矩平衡
求得：
例4：在水平地面上的一个桶内成有水，桶的侧面有个
小孔，孔与水面相距为
水从小孔
流出，求水从小孔流出时的速度。
解：在孔处取单位体积的小体元
体元左侧面积为单位面积，受力等于
该处的压强
此体元 运动单位距离就可以流出
按照牛顿第二定律：
速度：
右侧面积为单位面积，受力
此体元经受力
例5. 质量为
长为
的匀质棒可绕固定的支点在竖直
平面内运动. 若棒在与水平线成
角位置从静止开始
下落,试计算当棒落到水平位置时,作用于支点的力.
解: 由转动定理
这里
得到角加速度
表达式可写成
两边积分
得到
轴反力的两个分量
和
,列出质心运动方程:
法线方向
切线方向
或写成
当
时,得到
例6.
一长为
的细麦杆可绕通过中心
的水平转轴
在铅锤面内自由转动。开始时麦杆静止于水平位置
一质量与麦杆相同的甲虫以速度
垂直落到麦杆的
长度处，落下后甲虫立即向端点爬行。问为使
麦杆以均匀的角速度旋转，甲虫沿麦杆爬行的速度
多大？
解：
以麦杆和甲虫为系统
碰撞过程角动量守恒，设碰后系统的角速度为
于是有：
解得：
碰后，当甲虫距轴心为
时系统的转动惯量为
作用在系统上的重力矩为：
据转动定理：
应有：
即：
于是甲虫的速度为：
例7. 光滑水平面上有一半径为
的固定圆环,长为
的匀质细杆AB开始时绕着C点旋转,C点靠在环上,
且无初速度.假设而后细杆可无相对滑动地绕着
圆环外侧运动,直至细杆的B端与环接触后彼此分离,
已知细杆与圆环间的摩擦系数
处处相同,试求
的取值范围.
解:
设初始时细杆的旋转
角速度为
,转过
角后
角速度为
.由于摩擦力
并不作功,故细杆和圆环
构成的系统机械能守恒
应有:
这里
解得:
细杆质心C将沿着圆的渐开 线运动
切向加速度为
法向加速度为
列出细杆质心运动方程
不打滑的条件:
即
由于
所以
例8. 两个均质圆盘转动惯量分别为
和
开始时第一个圆盘以
的角速度旋转，
第二个圆盘静止，然后使两盘水平轴接近，
求：当接触点处无相对滑动时，两圆盘的角速度
解：
受力分析：
无竖直方向上的运动
以O1点为参考点，
计算系统的外力矩：
作用在系统上的外力矩不为0，故系统的角动量不守恒。
只能用转动定律做此题。
对于盘1：
阻力矩
两边积分
对于盘2：
两边积分
于是有：
不打滑条件：
接触点处两盘的线速度相等
可解得：
例9: 质量为2m,半径为R的均质圆盘形滑轮,挂质量分别为m和2m
的物体,
绳与滑轮之间的摩擦系数为
,问
为何值时
绳与滑轮之间无相对滑动.
解: 受力分析:
列方程:
滑轮:
不打滑的条件:
由以上四式解得:
绳中的张力分析
任取线元
此线元切向运动方程为：
此线元法向运动方程为：
利用近似：
忽略二阶无穷小量，得到：
两式相除得到：
两式相除得到：
解此方程得到：
当
时，
于是得到摩擦系数为：
例10 均匀圆柱体,从静止沿斜面下滑,圆柱与斜面间摩擦系
数为µ,当摩擦系数为某一临界值时,圆柱体恰纯滚动地向
下滚动, 求此
临界值.
解:
质心运动方程
转动定理
纯滚动条件:
解得:
例11. 一个质量为m 的卫星围绕着质量为M,半径为R
的大星体作半径为 2R的圆周运动.从远处飞来一个
质量为2m, 速度为
的小流星.恰好沿着
卫星运动方向追上卫星并和卫星发生激烈碰撞,结成
新的星体,作用时间非常短.假定碰撞前后位置的变化
可以忽略不计, 新星的速度仍沿原来方向.
（1）试用计算表明新星的轨道类型,算出轨道的偏心率.
（2）如果小流星沿着卫星速度的反方向发生如上的碰撞
给出新星体能否与大星体
M碰撞的判断。
（1）解:
轨道类型与新星
的机械能的正负有关.
如果动能大于势能,
新星可以摆脱地球的
吸引,轨道成为非闭合的
如果动能小于于势能,
新星不能摆脱地球的
吸引,轨道成为闭合的,即椭圆轨道.可以用新星的机械
能的正负来判断轨道的类型. 偏心率的定义为
为了计算碰后的机械能,首先要计算出碰后的速度.
设碰后新星速度为
碰撞过程动量守恒.
碰前卫星的运动方程为
求得碰前卫星的运动速度:
碰撞过程动量守恒
求得碰后新星的运动速度:
此时的位置相当于在新星运动的近地点.
我们计算新星近地点的机械能
说明新星作椭圆轨道运动.
下面我们讨论一下新星的机械能与远地点距离关系
新星运动角动量守恒
得到
带入远地点的机械能表达式
此能量应等于新星在近
地点的机械能
解得
经化简得到
偏心率
（2）解：反方向碰撞，设碰后新星体的速度为
碰前卫星的速度:
质量为m
碰前流星的速度:
质量为2m
碰撞过程动量守恒
求得碰后新星的运动速度:
此时的位置相当于在新星运动的远地点.
我们计算新星远地点的机械能
说明新星作椭圆轨道运动.
新星运动角动量守恒
得到
带入近地点的机械能表达式
此能量应等于新星在远
地点的机械能
解得
经化简得到
肯定与大星体相碰。
例12. 半径为R的圆环绕铅垂的直径轴以的角速度旋转
一细杆长为
, 其两端约束在圆环上可作无摩擦
的滑动,细杆的位置用OC与铅垂线的夹角表示，C为
细杆的质心．试求细杆在圆环上的平衡位置，并分析
平衡的稳定性．
解：以圆环为参考系，以细杆
质心位于轴上时作为重力势能
的0点，任意位置时重力势能为
在细杆上任取线元
所受的惯性力（离心力）为
此力作功与路径无关，可用势能减少
量描述．设轴上的离心势能为０，
处的离心势能
设为
，应有
离心势能为：
系杆总的有效势能
平衡条件：
稳定平衡条件：
非稳定平衡条件：
由
求出三个平衡位置：
为讨论平衡位置的稳定性，计算二阶导数
（１）＝０时
当
时，
取极小值，属稳定平衡
当
时，
取极大值，属不稳定平衡
（２）＝时
取极大值，属不稳定平衡
（３）当
时
因
，即
，或
所以当
时，
定属于稳定平衡．
例13. 水平弹簧振子，弹簧的劲度系数为
，振子的
质量为
，水平阻尼力的大小与振子的运动速度成
正比比例系数为
，求形成低阻尼振动的条件。
解：据牛顿第二定律，得到
或
设特解为
带入（1）式，得到
得到
两个特解
低阻尼（欠阻尼）情况，振子作衰减振荡运动，
e 指数的变量必须是复数。需满足条件
即：
a.低阻尼（欠阻尼）：
b.临界阻尼：
c.高阻尼（过阻尼）：
例14. 两弹性系数都是
的弹簧它们与质量为
两固定端之间的距离为
，等于两弹簧原长的和，
微微波动一下滑块，使其作微小的
振动运动，求振动圆频率。
解：
当位移为
时，滑块受力
滑块运动方程
由于
，对力作近似处理
利用
得到
滑块振动方程变为
振动圆频率为
由题意得, 当t=0时, x0>0; 因此有,
第 25 届 全国部分地区大学物理竞赛
容器对地面的压力等于液体的重力, 对面对容器的支持力等于压力, 因而也等于液体的重力. 所以有
第 25 届 全国部分地区大学物理竞赛
解: (1) 对物块A和B分别列牛顿第二定律方程
第 25 届 全国部分地区大学物理竞赛
解: (2) (i) 对物块A和B(向下运动)分别列牛顿第二定律方程
第 25 届 全国部分地区大学物理竞赛
(ii) 对物块A和B(向上运动)分别列牛顿第二定律方程
第 25 届 全国部分地区大学物理竞赛
则物体B有可能会向上运动, 此时有a>0
第 25 届 全国部分地区大学物理竞赛
解: 1、2间的线剪断后, 1和2 向左运动, 3向右运动.
当三个小球在竖直方向成一直线时, 3的速度为最大.
第 25 届 全国部分地区大学物理竞赛
系统在运动过程中, 合外力为零, 质心不动.
第 25 届 全国部分地区大学物理竞赛
解 (1) 设B在t时间内从A点运动到C点
第 25 届 全国部分地区大学物理竞赛
解 (2) B在t时间内接收到的振动次数为
第 25 届 全国部分地区大学物理竞赛
解题方法见上册P56 例2

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