磁场
基本知识介绍

《磁场》部分在奥赛考刚中的考点很少，和高考要求的区别不是很大，只是在两处有深化：a、电流的磁场引进定量计算；b、对带电粒子在复合场中的运动进行了更深入的分析。
一、磁场与安培力
毕奥-萨伐尔定律：对于电流强度为I 、长度为dI的导体元段，在距离为r的点激发的“元磁感应强度”为dB 。矢量式：
常用电流元引起的磁场的毕萨定律大小关系式:
电流元磁场的磁感应强度
应用毕萨定律再结合矢量叠加原理，可以求解任何形状导线在任何位置激发的磁感应强度。
2、安培力
= I
a、对直导体，F = BILsinθ再结合“左手定则”解决方向问题（θ为B与L的夹角）。
b、弯曲导体的安培力
⑴折线导体所受安培力的合力等于连接始末端连线导体（电流不变）的的安培力。
⑵导体的内张力
弯曲导体在平衡或加速的情形下，均会出现内张力，具体分析时，可将导体在被考查点切断，再将被切断的某一部分隔离，列平衡方程或动力学方程求解。
如何证明？
证明：参照图，令MN段导体的安培力F1与NO段导体的安培力F2的合力为F，则F的大小为：
关于F的方向，由于ΔFF2P∽ΔMNO，可以证明图中的两个灰色三角形相似，这也就证明了F是垂直MO的，再由于ΔPMO是等腰三角形故F在MO上的垂足就是MO的中点了。 证毕。
由于连续弯曲的导体可以看成是无穷多元段直线导体的折合，所以，关于折线导体整体合力的结论也适用于弯曲导体。（说明：这个结论只适用于匀强磁场。）
c、匀强磁场对线圈的转矩
如图9-2所示，当一个矩形线圈（线圈面积为S、通以恒定电流I）放入匀强磁场中，且磁场B的方向平行线圈平面时，线圈受安培力将转动（并自动选择垂直B的中心轴OO′，因为质心无加速度），此瞬时的力矩为M = BIS。
几种情形的讨论——

⑴增加匝数至N ，则 M = NBIS ；
⑵转轴平移，结论不变；
⑶线圈形状改变，结论不变；
⑷磁场平行线圈平面相对原磁场方向旋转α角，则M = NBIScosα ，如图9-3；
⑸磁场B垂直OO′轴相对线圈平面旋转β角，则M = NBIScosβ ，如图9-4。
说明：在默认的情况下，讨论线圈的转矩时，认为线圈的转轴垂直磁场。如果没有人为设定，而是让安培力自行选定转轴，这时的力矩称为力偶矩。
B
q,m
v0
匀变速直线运动
速度为vo的匀速直线运动
匀变速曲线运动(类平抛)
(轨迹为半支抛物线)
匀速圆周运动
(轨道圆平面与磁场垂直)
匀变速曲线运动(类斜抛)
匀速圆运动与匀速直线运动合成(轨迹为等距螺旋线)
v0
θ
q,m
E
θ
带电粒子在匀强电场与匀强磁场中运动对照
第二讲 典型例题解析
【例题1】两根无限长的平行直导线a、b相距40cm，通过电流的大小都是3.0A，方向相反。试求位于两根导线之间且在两导线所在平面内的、与a导线相距10cm的P点的磁感强度。
这是一个关于毕萨定律的简单应用。
【答案】大小为8.0×10−6T ，方向在图9-9中垂直纸面向外。
专题21-例1
O
A
解题方向: 两电流在O点引起的磁场叠加
I1
AB的优弧与劣弧段电流与电阻成反比,即
由毕萨拉定律知,两弧上电流在O点引起的磁场磁感应强度大小关系为:
B
I2
方向相反!
两根长直导线沿半径方向引到铁环上A、B两点，并与很远的电源相连，如图所示,求环中心的磁感应强度．
专题21-例3
解题方向: 利用对称性及磁场叠加!
A
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
11
12
10
I
O
由相同导线构成的立方形框架如图所示，让电流I从顶点A流入、B流出，求立方形框架的几何中心O处的磁感应强度．
【例题】半径为R ，通有电流I的圆形线圈，放在磁感强度大小为B 、方向垂直线圈平面的匀强磁场中，求由于安培力而引起的线圈内张力。
本题有两种解法。
方法一：隔离一小段弧，对应圆心角θ ，则弧长L = θR 。因为θ → 0（在图9-10中，为了说明问题，θ被夸大了），弧形导体可视为直导体，其受到的安培力F = BIL ，其两端受到的张力设为T ，则T的合力：
方法二：隔离线圈的一半，根据弯曲导体求安培力的定式和平衡方程即可求解…。
【答案】BIR
〖思考〗如果圆环的电流是由于环上的带正电物质顺时针旋转而成（磁场仍然是进去的），且已知单位长度的电量为λ、环的角速度ω、环的总质量为M ，其它条件不变，再求环的内张力。
此时环的张力由两部分引起：①安培力，②离心力。前者的计算上面已经得出：
如图所示，S是粒子源，只能在纸面上的360°范围内发射速率相同、质量为m 、电量为q的电子。MN是一块足够大的挡板，与S相距OS= L 。它们处在磁感强度为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，试求：
S
（1）要电子能到达挡板，其发射速度至少应为多大？
（2）若发射速率为 ，则电子击打在挡板上的范围怎样？
在第二问中，先求得r = L ，在考查各种方向的初速所对应的轨迹与挡板相交的“最远”点。值得注意的是，O点上方的最远点和下方的最远点并不是相对O点对称的。
在相互垂直的匀强电、磁场中，E、B值已知，一个质量为m 、电量为+q的带电微粒（重力不计）无初速地释放，试求该粒子的:
(1）轨迹顶点P的曲率半径r
（4）粒子从O到P做经历的时间t
（2）到P点速度
（3）电场方向的最大位移Y
在相互垂直的电、磁场中，粒子受力的情形非常复杂，用运动的分解与合成的手段也有相当的困难，必须用到一些特殊的处理方法。鉴于粒子只能在垂直B的平面内运动，可以在该平面内建立如图9-16所示的直角坐标。
摆线亦称旋轮线，是由轮子在水平面无滑滚动时轮子边缘形成的轨迹（如图9-17所示）。在本题中可以认为“轮子”的旋转是由洛仑兹力独立形成的。而从O到P的过程，轮子转动的圆心角应为π，故对应时间为：
【例题】单摆的摆长为L ，摆球带电+q ，放在匀强磁场中，球的摆动平面跟磁场垂直，最大摆角为α 。为使其能正常摆动，磁场的磁感强度B值有何限制？
【解】解题的关键所在是要分析清楚：小球“最有可能脱离圆弧”的点是否一定在最低点？…下面的定量讨论完成之后，我们将会发现：这个答案是否定的。
如图所示，S为一离子源，它能机会均等地向各个方向持续发射大量质量为m、电量为q、速率为v的正离子，在离子源的右侧有一半径为R的圆屏，离子源在其轴线上．在离子源与圆屏之间的空间有范围足够大的方向水平向右并垂直于圆屏的匀强磁场，磁感应强度为B，在发射的离子中有的离子不管SO距离如何改变，总能打在圆屏上．求这样的离子数目与总发射离子数目之比．
离子的运动是一系列等螺距的螺旋运动，若离子的初速度v与SO成θ角，则其轨迹的螺距为
螺旋截面圆的半径为
只要向屏方向
B
q,m
v
θ
离子源附近射出离子各向均匀 总能打在屏上的离子占总数的比为
S
O
磁场的应用背景
※在正交的匀强电场与匀强磁场中，电荷以垂直于两场
方向进入，可能做匀速直线运动：
Fe
v0
fB
※在正交的匀强电场与匀强磁场中，电荷以垂直于两场
方向进入，可能做轨迹为摆线的运动：
速度选择器
示例
规律
如图(a)所示，两块水平放置的平行金属板A、B，板长L=18.5cm，两板间距d=3 cm，两板之间有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感在强度B=6.0×10-2 T，两板间加上如图(b)所示的周期性电压，带电时A板带正电，当t=0时，有一个质量m=1.0×10-12 kg，带电荷量q=1.0×10-6 C的粒子，以速度v=600 m/s，从距A板2.5 cm处沿垂直于磁场、平行于两板的方向射入两板之间，若不计粒子重力，求⑴粒子在0～1×10-4 s内做怎样的运动？位移多大？⑵带电粒子从射入到射出极板间所用时间？
有电场时：
粒子做匀速直线运动！
无电场时，粒子做匀速圆周运动：
1cm
0.5cm
返回
B
E
小球必带正电!小球从A点下滑进入板间做直线运动必有
小球从b点下滑进入板间时速度小于va
mg
Fe
fB
故轨迹开始一段向下弯曲!
如图所示，带电平行板间匀强电场方向竖直向上，匀强磁场方向垂直纸面向里．一带电小球从光滑绝缘轨道上的a点自由下滑，经轨道端点P进入板间后恰好沿水平方向做直线运动．现使小球从较低的b点开始下滑，经P点进入板间后，下列判断正确的是
A．在开始一段时间内，小球动能将会增大
B．在开始一段时间内，小球势能将会增大
C．若板间电场和磁场范围足够大，小球始终克服电场力做功
D．若板间电场和磁场范围足够大，小球所受洛仑兹力将一直增大
则重力与电场力的总功为正功,动能增加!
小球重力势能减少,电势能增加!总势能减少!
磁场运用示例2
⑴∵洛伦兹力不做功，电场力做功与路径无关,则由动能定理：
⑵离子的运动是x方向匀速运动与匀速圆周运动的合成，两运动速率均为
在a点时两分速度方向均为+x方向,则
又解：
如图所示，质量为m、电量为q的正离子，在互相垂直的匀强电场和匀强磁场中沿曲线oabcd从静止开始运动．已知电场强度E与y 平行，磁感应强度B垂直于xoy平面，试求 ⑴离子经过任意点b(x,y)时速度的大小；⑵若a点是曲线上纵坐标最大的位置，且曲线在a点的曲率半径是a点纵坐标的两倍，则离子经过a点时的速率是多大？
带电微粒处于匀强磁场与重力场中，B、g、v0三矢量两两垂直，可将v0分解为
mg
fB1
fB2
带电微粒的运动为v1匀速运动与v2匀速圆周运动的合成
能到达x0须满足
（与v0无关）
如图所示的空间直角坐标系中，z轴为竖直方向，空间存在着匀强磁场，磁感应强度B的方向沿y轴正方向，一个质量为m、带电量为q的带电微粒从原点O处以初速度v0射出，初速度方向为x轴正方向，试确定各物理量间满足什么条件，就能保证v0的大小不论取何值，带电微粒运动过程中都可以经过x轴上的x0点？
小试身手题11
初速为零的带电小球处在重力场与磁场的复合场将做轨道迹为滚轮线的运动!
mg
fB1
fB2
小试身手题12
若小球滚轮线轨道恰与地面相切，就不会和地面相碰 !
v1
v2
圆运动半径应满足
轨迹方程:
质量为m、电量为q（q＞０）的小球，在离地面高度为h处从静止开始下落，为使小球始终不会和地面相碰，可设想在它开始下落时就加上一个足够强的水平匀强磁场．试求该磁场磁感应强度的最小可取值B0，并求出当磁场取B0时小球的运动轨道．
磁聚焦
vx
若电子沿纵向磁场的运动路径长l，可以调节磁感应强度B，使所有电子在l 路径上完成整数个圆周运动，即比值为整数，这样，被横向交变电场偏转发散的电子束经磁场作用，可会聚到离入射点l 远的同一处，这就是磁聚焦．
阅读:利用磁聚焦测电子的比荷
~
霍耳效应
B
b
+ + + + + + + + + + + + + + +
Fm
Fe
h
v
－－－－－－－－－－－
EH
磁镜
带电粒子在非匀强磁场中向磁场较强方向运动时，做半径渐小的螺旋运动！
休息
I
样品中多数载流子是电子，是N型半导体!
专题21-例9
B
b
Fm
a
E
Fe
如图所示的一块半导体样品放在垂直于竖直面向外的匀强磁场中，磁感应强度为B=5×10-3 T，当有恒定电流I=2.0 mA通过样品时，产生的霍耳电势差UH=5.0mV，极性如图中标示，a=1.00 mm，b=3.00 mm．这块样品是N型半导体还是P型半导体？载流子密度是多少，载流子定向运动速度是多少？
专题21-例8
如图所示，在螺线环的平均半径R处有电子源P，由P点沿磁感线方向注入孔径角2α（2α 1°）的一电子束，束中的电子都是以电压U0加速后从P点发出的．假设螺线环内磁场磁感应强度B的大小为常量，设U0＝3 kV，R＝50 mm． ，并假设电子束中各电子间的静电相互作用可以忽略． ⑴为了使电子束沿环形磁场运动，需要另加一个使电子束偏转的均匀磁场B1．对于在环内沿半径为R的圆形轨道运动的一个电子，试计算所需的B1大小； ⑵当电子束沿环形磁场运动时，为了使电子束每绕一圈有四个聚焦点，即如图所示，每绕过π/2的周长聚焦一次，环内磁场B应有多大？（这里考虑电子轨道时，可忽略B1，忽略磁场B的弯曲）
解答
⑴对于在环内沿半径为R的圆形轨道运动的一个电子,维持其运动的向心力是垂直于环面的磁场洛伦兹力,其大小满足
代入数据得
⑵电子束与B有一小角度,故做轨迹为螺旋线的运动:
电子束每四分之一周聚焦一次即应沿B方向绕行一周的同时沿满足: 垂直B方向完成四个圆周
读题
围绕地球周围的磁场是两极强、中间弱的空间分布．1958年，范·阿伦通过人造卫星搜集到的资料研究了带电粒子在地球磁场空间中的运动情况后，得出了在距地面几千公里和几万公里的高空存在着电磁辐射带（范·阿伦辐射带）的结论．有人在实验室中通过实验装置，形成了如图所示的磁场分布区域MM′，在该区域中，磁感应强度B的大小沿z轴从左到右，由强变弱，由弱变强，对称面为PP ′ ．已知z轴上Ｏ点磁感应强度B的大小为B0，两端M(M′)点的磁感应强度为BM．现有一束质量均为m，电量均为q，速度大小均为v0的粒子，在O点以与z轴成不同的投射角α0向右半空间发射．设磁场足够强，粒子只能在紧邻z轴的磁感线围成的截面积很小的“磁力管”内运动．试分析说明具有不同的投射角α0的粒子在磁场区MM ′间的运动情况．
提示：理论上可证明：在细“磁力管”的管壁上粒子垂直磁场方向的速度v⊥的平方与磁力管轴上的磁感应强度的大小B之比为一常量．
专题21-例10
解答
O
v0
M
z
v0
P
由题给条件
O
v0
M
z
v0
做螺旋运动速度不变,在磁感应强度为B处
随着B增大
讨论:
可约束在管内
读题
⑴电流方向沿轴向,在距轴r处磁场有
在距轴r处粒子受到洛伦兹力
粒子到达右端面历时
粒子出右端面时径向速度
粒子到达轴线时有
各处粒子到达轴线有共同的S!
聚焦
解答
⑵考虑粒子径向运动,由于粒子径向所受洛伦兹力为
所有粒子径向运动为
谐振
聚焦在右端面应满足
读题
⑴粒子在运动切向受阻力F，法向受洛伦兹力，则
x
y
Q
O
D
曲率半径设为ρ
质点做半径均匀减小、速率均匀减小、角速度不变的曲线运动！
曲率中心以速率
做半径为
的匀速圆周运动
续解