分式方程

教学目标
（一）教学知识点
1．解分式方程的一般步骤．
2．了解解分式方程验根的必要性．
（二）能力训练要求
1．通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤．
2．使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径．
（三）情感与价值观要求
1．培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度．
2．运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信．
教学重点
1．解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解决．
2．明确解分式方程验根的必要性．
教学难点
明确分式方程验根的必要性．
教学方法
探索发现法
学生在教师的引导下，探索分式方程是如何转化为整式方程，并发现解分式方程验根的必要性．
教具准备
投影片四张
第一张：例1、例2，（记作§3．4．2 A）
第二张：议一议，（记作§3．4．2 B）
第三张：想一想，（记作§3．4．2 C）
第四张：补充练习，（记作§3．4．2 D）．
教学过程
Ⅰ．提出问题，引入新课
［师］在上节课的几个问题，我们根据题意将具体实际的情境，转化成了数学模型——分式方程．但要使问题得到真正的解决，则必须设法解出所列的分式方程．
这节课，我们就来学习分式方程的解法．我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次方程的解法，也许你会从中得到启示，寻找到解分式方程的方法．
解方程
+
=2－

［师生共解］（1）去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数6，得
3（3x－1）+2（5x+2）=6×2－（4x－2）．
（2）去括号，得9x－3+10x+4=12－4x+2,
（3）移项，得9x+10x+4x=12+2+3－4,
（4）合并同类项，得23x=13,
（5）使x的系数化为1，两边同除以23，x=
．
Ⅱ．讲解新课，探索分式方程的解法
［师］刚才我们一同回忆了一元一次方程的解法步骤．下面我们来看一个分式方程．（出示投影片§3．4．2 A）
［例1］解方程：
=
． （1）
［生］解这个方程，能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢？
［师］同学们说他的想法可取吗？
［生］可取．
［师］同学们可以接着讨论，方程两边同乘以什么样的整式（或数），可以去掉分母呢？
［生］乘以分式方程中所有分母的公分母．
［生］解一元一次方程，去分母时，方程两边同乘以分母的最小公倍数，比较简单．解分式方程时，我认为方程两边同乘以分母的最简公分母，去分母也比较简单．
［师］我觉得这两位同学的想法都非常好．那么这个分式方程的最简公分母是什么呢？
［生］x（x－2）．
［师生共析］方程两边同乘以x（x－2）,得x（x－2）·
=x（x－2）·
,
化简，得x=3（x－2）． （2）
我们可以发现，采用去分母的方法把分式方程转化为整式方程，而且是我们曾学过的一元一次方程．
［生］再往下解，我们就可以像解一元一次方程一样，解出x．即x=3x－6（去括号）
2x=6（移项，合并同类项）．
x=3（x的系数化为1）．
［师］x=3是方程（2）的解吗？是方程（1）的解吗？为什么？同学们可以在小组内讨论．
（教师可参与到学生的讨论中，倾听学生的说法）
［生］x=3是由一元一次方程x=3（x－2） （2）解出来的，x=3一定是方程（2）的解．但是不是原分式方程（1）的解，需要检验．把x=3代入方程（1）的左边=
=1，右边=
=1，左边=右边，所以x=3是方程（1）的解．
［师］同学们表现得都很棒！相信同学们也能用同样的方法解出例2．
［例2］解方程：
－
=4
（由学生在练习本上试着完成，然后再共同解答）
解：方程两边同乘以2x，得
600－480=8x
解这个方程，得x=15
检验：将x=15代入原方程，得
左边=4，右边=4，左边=右边,所以x=15是原方程的根．
［师］很好！同学们现在不仅解出了分式方程的解，还有了检验结果的好习惯．
我这里还有一个题，我们再来一起解决一下（出示投影片 §3．4．2 B）（先隐藏小亮的解法）
议一议
解方程
=
－2．
（可让学生在练习本上完成，发现有和小亮同样解法的同学，可用实物投影仪显示他的解法，并一块分析）
［师］我们来看小亮同学的解法：
=
－2
解：方程两边同乘以x－3,得2－x=－1－2（x－3）
解这个方程，得x=3．
［生］小亮解完没检验x=3是不是原方程的解．
［师］检验的结果如何呢？
［生］把x=3代入原方程中，使方程的分母x－3和3－x都为零，即x=3时，方程中的分式无意义，因此x=3不是原方程的根．
［师］它是去分母后得到的整式方程的根吗？
［生］x=3是去分母后的整式方程的根．
［师］为什么x=3是整式方程的根，它使得最简公分母为零，而不是原分式方程的根呢？同学们可在小组内讨论．
（教师可参与到学生的讨论中，倾听同学们的想法）
［生］在解分式方程时，我们在分式方程两边都乘以最简公分母才得到整式方程．如果整式方程的根使得最简公分母的值为零，那么它就相当于分式方程两边都乘以零，不符合等式变形时的两个基本性质，得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零，也就不适合原方程了．
［师］很好！分析得很透彻，我们把这样的不适合原方程的整式方程的根，叫原方程的增根．
在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根．那么，是不是就不要这样解？或采用什么方法补救？
［生］还是要把分式方程转化成整式方程来解．解出整式方程的解后可用检验的方法看是不是原方程的解．
［师］怎样检验较简单呢？还需要将整式方程的根分别代入原方程的左、右两边吗？
［生］不用，产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的．因此最简单的检验方法是：把整式方程的根代入最简公分母．若使最简公分母为零，则是原方程的增根；若使最简公分母不为零，则是原方程的根．是增根，必舍去．
［师］在解一元一次方程时每一步的变形都符合等式的性质，解出的根都应是原方程的根．但在解分式方程时，解出的整式方程的根一定要代入最简公分母检验．小亮就犯了没有检验的错误．
Ⅲ．应用，升华
1．解方程：
（1）
=
;（2）
+
=2．
［分析］先总结解分式方程的几个步骤，然后解题．
解：（1）
=

去分母，方程两边同乘以x（x－1），得
3x=4（x－1）
解这个方程，得x=4
检验：把x=4代入x（x－1）=4×3=12≠0，
所以原方程的根为x=4．
（2）
+
=2
去分母，方程两边同乘以（2x－1），得
10－5=2（2x－1）
解这个方程，得x=

检验：把x=
代入原方程分母2x－1=2×
－1=
≠0．
所以原方程的根为x=
．
2．回顾，总结
出示投影片（§3．4．2 C）
想一想
解分式方程一般需要经过哪几个步骤？
［师］同学们可根据例题和练习题的步骤，讨论总结．
［生］解分式方程分三大步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去．使最简公分母不为零的根才是原方程的根．
3．补充练习
出示投影片（§3．4．2 D）
解分式方程：
（1）
=
;
（2）
=
（a,h常数）
［分析］强调解分式方程的三个步骤：一去分母；二解整式方程；三验根．
解：（1）去分母，方程两边同时乘以x（x+3000）,得9000（x+3000）=15000x
解这个整式方程，得x=4500
检验：把x=4500代入x（x+3000）≠0．
所以原方程的根为4500
（2）
=
（a,h是常数且都大于零）
去分母，方程两边同乘以2x（a－x），得
h（a－x）=2ax
解整式方程，得x=
（2a+h≠0）
检验：把x=
代入原方程中，最简公分母2x（a－x）≠0，所以原方程的根为
x=
．
Ⅳ．课时小结
［师］同学们这节课的表现很活跃，一定收获不小．
［生］我们学会了解分式方程，明白了解分式方程的三个步骤缺一不可．
［生］我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根．
［生］我又一次体验到了“转化”在学习数学中的重要作用，但又进一步认识到每一步转化并不一定都那么“完美”，必须经过检验，反思“转化”过程．
……
Ⅴ．课后作业
习题3．7
Ⅵ．活动与探究
若关于x的方程
=
有增根，则m的值是____________．
［过程］首先增根是分式方程转化为整式方程时整式方程的根，但却使最简公分母为零．
［结果］关于x的方程
=
有增根，则此增根必使3x－9=3（x－3）=0，所以增根为x=3．去分母，方程两边同乘以3（x－3），得3（x－1）=m2．
根据题意，得x=3是上面整式方程的根，
所以3（3－1）=m2,则m=±
．
板书设计
§3．4．2 分式方程（二）
一、提出问题
你能设法求出上一节课的分式方程

=
．
二、探求分式方程解法
［例1］解方程
=

［例2］解方程
－
=4
三、议一议
小亮的解法对吗？
四、想一想
解分式方程一般步骤
1．去分母
2．解整式方程
3．检验