第二章 《有理数》总复习
重温这些知识，你会觉得亲切！
考点一：正负数的意义
具有相反意义的量
1.下列语句中，含有相反意义的两个量是（ ）
A.盈利1千元和收入2千元 B.上升8米和后退8米
C.存入1千元和取出2千元 D.超过2厘米和上涨2厘米
存入1千元和存入-2千元
那零下6。c记作？
2.如果零上6。c记作+3，则这个
问题中，基准是（ ）
A.零上3 。c B.零下3 。C C. 0 D.以上都不对
C
A
-2
判断题:
①不带“－”号的数都是正数
正负数的概念
⑤一个有理数不是正数就是负数
⑥０℃表示没有温度
③如果a是正数，那么－a一定是负数
④不存在既不是正数，也不是负数的数
②带“+”号的数都是正数
×
×
×
×
√
考点二：有理数的分类
_____________统称整数，试举例说明。
_____________统称分数，试举例说明。
_____________统称有理数。
有理数的分类表：
正整数、零、负整数
正分数、负分数
整数、分数
把下列各数填在相应额大括号内：
1，－0.1，-789，25，2∏，0，-20，-3.14，200%，6/7
正整数集｛ …｝
负整数集｛ …｝
正分数集｛ …｝
负分数集｛ …｝
正有理数集｛ …｝
负有理数集｛ …｝
自然数集｛ …｝
有理数集 ｛ …｝
非负整数集｛ …｝
有限小数、无限循环小数都是分数
填空：
最小的自然数是__，
最大的负整数是__，
最小的正整数是__，
最大的非正数是__。
判断：
（1）整数一定是自然数（ ）
（2）自然数一定是整数（ ）
×
√
0
-1
1
0
考点三： 数 轴、相反数、绝对值
规定了原点、正方向和单位长度的直线
数轴是一条直线
直线是数轴
√
×
1.__________________________叫数轴。
1）在数轴上表示的数，
右边的数总比左边的数大；
2）正数都大于0,负数都小于0；
正数大于一切负数；
3）所有有理数都可以用数轴上
的点表示。
2.与原点的距离为三个单位的点有__个，
他们分别表示的有理数是__和__。
+3
-3
２
3.与+3表示的点距离2000个单位的点有__个，
他们分别表示的有理数是__ __ 和__ __ 。
1.两个有理数表示较大的数的点离原点的距离较近（ ）
×
２
2003
1997
4.+3表示的点与-2表示的点距离是__个单位。
5
选择题：
1、在数轴上，原点及原点左边所表示的数（　）　　
Ａ整数　Ｂ负数　Ｃ非负数　Ｄ非正数
2、下列语句中正确的是（　）　　　　　　　　　
Ａ数轴上的点只能表示整数　
Ｂ数轴上的点只能表示分数　
Ｃ数轴上的点只能表示有理数
Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来
3、若两个有理数在数轴上的对应点分别在原点的两侧，则这两 个数相除所得的商( )
A.一定是正数 B.一定是负数 C.等于零 D、正、负数不确定
数 轴
D
D
B
相反数
只有符号不同的两个数，叫做互为相反数
其中一个是另一个的相反数。
1）数a的相反数是-a
2）0的相反数是0.
-2
2
-4
4
3）若a、b互为相反数，则a+b=0.
位于原点两侧且到原点的距离相等的两个数，叫做互为相反数。
1.一个数的相反数是最小的正整数，那么这个数是（ ）
A .–1 B. 1 C .±1 D. 0
A
×
×
相反数
3.位于原点两旁的数是互为相反数（ ）
5.表示相反意义的量的两个数互为相反数（ ）
2.互为相反数的两个数在数轴上位于原点两旁（ ）
4. 只要符号不同，这两个数就是相反数（ ）
×
×
8
-4
别忘了0
乘积是1的两个数互为倒数
3）若a与b互为倒数，则ab=1.
2）0没有倒数 ；
倒数
3、如果两个有理数的和除以它们的积，所得的商是零，那么这两个有理数 ( )
A.互为相反数，但不等于零 B.互为倒数
C.有一个等于零 D.都等于零
A
C
选择题：
1、若a+b=0，则a÷b的值为 ( )
A、－1　　B、0　　C、无意义　　D、－1或无意义
D
B
互为相反数的是？
绝对值
一个数a的绝对值就是数轴上
表示数a的点与原点的距离。
1）数a的绝对值记作︱a︱;
a
-a
0
3) 对任何有理数a,总有︱a︱≥0.
3. 填空:
若|a|＝3，则a＝____；
|a+1|＝0，则a＝____。
若|a+1|＝3，则a＝____
1. 化简（1）-|-2/3|＝___； （2）|-3.3|-|+4.3|＝___；
（3）1-|-1/2|=___； （4）-1-|1-1/2|=______。
2、 填空： (1)当a＞0时，|2a|＝______  (2)当a＞1时，|a－1|＝______
(3)当a＜－2时，|a＋2|＝______
-2/3
-1
1/2
-3/2
±3
-1
2，-4
练习
4、已知a>0，ab<0，化简|a－b+4|－|b－a－3|=_____。
1
求一个数的绝对值，必须遵循“先判后去”的程序
2a
a-1
-a-2
求数的绝对值
由绝对值求数
判断：
(1)|5|＝|－5|
(2)|－0.3|＝|0.3|
　 (3)|3|＞0
(4)|－1.4|＞0
(5)有理数的绝对值一定是正数　
(6)若a＝b，则|a|＝|b|
(7)若|a|＝|b|，则a＝b
(8)若|a|＝－a，则a必为负数
互为相反数的两个数的绝对值相等
×
√
√
√
√
绝对值的非负性
√
×
×
6)若 =1，则a____0，若 =－1，则a____0。
<
>
1）一个正数的绝对值一定是正数(它本身)( )
5）任何数的绝对值都不是负数（ ）
绝对值等于它本身的数是正数
2）一个负数的绝对值一定是它的相反数( )
绝对值等于它的相反数的数是负数
3) 正数的绝对值大于负数的绝对值( )
4 ) 绝对值较大的数较大（ ）
或0
或0
×
×
√
√
×
×
√
例:在数轴上表示绝对值不少于2而又不大于5.1的所有整数；并求出绝对值少于4的所有整数的和与积
-5
4
3
2
5
-2
-3
-4
绝对值少于4的所有整数的和:
绝对值少于4的所有整数的积:
(-3)+(-2)+(-1)+1+2+3= 0
0
(-3)×(-2)×(-1)×0 × 1×2×3= 0
练习
若（x-1)2+|y+4|=0,则3x+5y=______
∵X-1=0,y+4=0, ∴x=1 ,y=-4
∴3x+5y=3×1+5×(-4)=3-20=-17
若|a-3|+ |3a-4b|=0,则-2a+8b=____
| 7 |=（　　），|- 7 |=（　　）
绝对值是7的数是（　　）
若|3-|+|4- |=_______
±７
７
７
1
已知|x|=3,|y|=2,且x∵|x|=3,|y|=2
∴x=±3,y=±2
∵ x∴x不能为3
∴x=-3,y=2 或 x=-3，y=-2
∴x+y=-3+2=-1 或 x+y=-3-2=-5
计算
已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简|a|-|a+b|+|c-a|+|b+c||
b
a
0
c
想一想：
等于本身的数？
绝对值等于本身的数
相反数等于本身的数
倒数等于本身的数
平方等于本身的数
立方等于本身的数
……
正数和零
0
1,-1
0,1
0,1,-1
科学记数法、近似数与有效数字
1. 把一个大于10的数记成a×10n
的形式，其中a是整数数位只有一位
的数，这种记数法叫做科学记数法 .
2. 一个近似数，从左边第一个不是0
的数字起到，到精确到的数位止，所
有的数字，都叫做这个数的有效数字。
一只苍蝇的腹内细菌多达2800万个，

你能用科学记数法表示吗?

2800万个=2.8×103（万个)

或 2800万个=28 000 000个=2.8×107个
1.03×106有几位整数?

3.0×10n（n是正整数）有几位整数？

(n+1位整数）
（1 030 000）
（有7位整数）
例7下列由四舍五入得到的近似数，各精确到

哪一位，各有几位有效数字？
（1）43.8（2）0.03086（3）2.4万
（4）6×104 （5）6.0×104
解：
（1）43.8精确到十分位.有3个有效数字：4，3，8；
（2）0.03086精确到十万分位，有四个有效数字：3，0，8，6；
（3）2.4万精确到千位，有2个有效数字：2，4；
（4） 6×104 精确到万位，有1个有效数字：6 ；
（5） 6.0×104 精确到千位，有2个有效数字：6 ，0；
（1）将数13445000000000用科学记数法表示（保留三个有效数字）
（2）请你说出1.6与1.60这两个近似数有什么不同？
(2) (－72) －(－37) －(－22) －17
(3)（－2.48）+4.33－（＋7.52）－（＋4.33）
1.加法法则:
2.加法运算律;
3.减法法则;
4.减法与加法的关系;
有理数的加法和减法:
省略加号和的形式
解 题 技 能
加法四结合
1.凑整结合法 2.同号结合法
3.两个相反数结合法
4.同分母或易通分的分数结合法
A、5.6+(-0.9)+4.4+(-8.1)+(-1)
C、(+7)-(-15)+(-12)-(+7)
D、1-4+7-10+13-16+19-22
1.乘法法则:
2.乘法运算律;
3.除法法则;
4.除法与乘法的关系;
5.乘方的概念。
（－1）×（－2）＝
4÷（－0.25）＝
0×（－2）2009＝
（－1）2009＝
02009＝
有理数的乘除和乘方:
解 题 技 能
乘法三结合
1、积为整数结合
2、两个倒数结合
3、能约分的结合
有理数混合运算的法则：
先算乘方，再算乘除，最后算加减。如有括号，先进行括号里的运算。

分配律
分配律反着用
73、
分配律计算技巧
真假分配律
下列计算错在哪里？应如何改正？
挑战一
挑战一
挑战二
(4)“三角形” 表示运算a-b+c,“方框”

表示运算X-y+z-w,则 × =_____
-３的平方是（　　）
平方是９的数是（　　）
９
±３
９
±３
（1）2×32和（2×3)2有什么区别？各等于什么？
（2）32和23有什么区别？各等于什么？
（3）-34和（-3)4有什么区别？各等于什么？
口答练习
1）在 中，12是 数，10是
数，读作 ；
2） 的底数是 ，指数
是 ，读作 ；
7
底
指
12的10次方
12的10次幂
股民小王上星期五买进某股票1000股，每股25元，下表为本周内每日该股票收盘价比前一天的涨跌情况（单位：元）
（1） 星期四收盘时，每股是多少元？
（2） 本周内最高价是每股多少元，最低价是每股多少元？
（3）已知买进股票时需付成交额的1.5‰的手续费和1‰的交易税。如果小王在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？
挑战三
看下面的问题：第五次人口普查的结果表明，我国现在总人口已达到129533万人，如果每人每天节约1分钱，用来资助贫困少年入学，若每位贫困少年入学资助500元。
(1)全国每年可以节约多少钱？(用四舍五入法保留3个有效数字，并用科学记数法表示)
（2）这笔钱可以资助多少贫困少年解决入学问题？(该题可以使用计算器)
（3）看了以上数据，你有何感想？
挑战三
小测试：
1、一个数的绝对值是6.5，这个数是＿＿＿＿。

2、绝对值小于3的非负整数是＿＿＿＿＿＿＿。

3、　　的相反数的倒数是＿＿＿＿＿。

4、　　　　　　　＿＿＿＿＿。　

5、如果　　　　，那么　　　　　。

6、

7、计算：
限时训练
8、计算器按键顺序为:
2
·
5
-
4
ab/c
(
-
5
)
x2
×
3
的相应算式为( )
C
找规律
挑战自我
专题训练1 充分利用概念
互为相反数的两个数的和为0,互为倒数的积为1.绝对值是正数的有两个，且它们互为相反数
例：已知a、b互为相反数，c,d互为倒数，m是绝对值最小的数，求代数式
非负数性质的应用
数形结合的思想方法
已知︱a︱>︱b︱,且ａ<0,b>0,试比较a,b,-a,-b的大小
分类讨论的思想
比较1＋a与1－a的大小。
拆项、合并法在计算中的应用
有理数的应用
1、某公交车上原有乘客22人，经过4个站点时上下车情况如下（上车为正、下车为负）（－6,+3），（－5,+4），（－3,+1），（－4,+1），问此时车上还有多少乘客
2、市话费在3分钟内一次计费0.22元，超过3分钟的每分钟0.11元，小华一次打了12分钟，问这次通话费多少元？
3、一辆汽车沿着一条南北方向的公路来回行驶某天从A地出发到晚上最后到达B地，约定向北为正方向，当天记录如下（单位千米）：
－9.5,+7.1,－14,－6.2,+13,－6.8,－8.5,请根据计算回答：
（1）B地在A地何方，相距多少千米？
（2）若汽车每千米耗油0.35升，那么这一天共耗油多少升？（结果保留三个有效数字）
4、蜗牛在井里距井口1米处它每天白天向上爬
30cm,晚上又下滑20cm,则蜗牛爬出井口需要的天数为 （ ）
（A)11 (B)10 (C)9 (D)8