第九章不等式与不等式组复习
一、知识点总结：
1、不等号：
表示不等关系的符号称为不等号。一般包括“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”五种,其意义、读法如下表所示：
大于号
>
大于
左边的量大于右边的量
3>2
小于号
<
小于
左边的量小于右边的量
-5<1
大于或等于号
1.大于或等于
2.不小于
左边的量不小于右边的量
a≥4
≤
≥
≠
小于或等于号
1.小于或等于
2.不大于
左边的量不大于右边的量
不等号
不等于
左右两边的量不相等
b≤-1
c≠0
例:用不等号表示下列两数或两式的关系:
(1)3____-1;(2)-10____0;(3)2x2_____0;(4)|2x|______|-3x|.
>
<
≥
≤
2.不等式:用不等号连接起来的式子.
例用适当的符号表示下列关系:
(1)a的2倍比8小;
(2)y的3倍与1的和大于3;
(3).x除以2的商加上2至多为5;
(4).a与b两数和的平方不大于2.
(5).x与y的差为非正数;
(6).a与4的和不小于2.
注：列不等式与列等式一样。
3.不等到式的基本性质:
性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变.
性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
性质 3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
例:
(1).由aA.m>0; B.m<0; C.m≤0; D.m≥0.
D
(2).下列变形中正确的是( )
A.由aC.由a>b,得-2+3a>-2+3b; D.由7x>3x-2,得x<-2.
C
注:在不等式两边都乘以(或除以)同一个整式时,应考虑整式为正数、负数、零三种情况。
4、不等式的解:
使不等式成立的未知数的值.
例：-2是不是不等式2x-1>-3的解？4呢？
解：当X=-2时,2x-1=2×(-2)-1=5<-3,即不等式左边<右边,所以x=-2不是不等式2x-1>-3.的解.当x=4时,2x-1=2×4-1=7>-3,即不等式左边>右边,所以x=4是不等式2x-1>-3的解.
5、不等式的解集：
一个含有未知数的不等式的所有解，组成了这个不等式的解集。
例：x<5是不等式3x-5<2x的解集，则下列说法正确的有（ ）个。
①5是不等式3x-5<2x的一个解；②0是不等式3x-5<2x的一个解；③x<4也是不等式3x-5<2x的解集；④所有小于4的数都是不等式3x-5<2x的解。
剖析：x<5是不等式3x-5<2x的解集，说明任何一个小于5的数都是不等式3x-5<2x的一个解，当然小于4的值也一定是不等式3x-5<2x的解，但x<4不是不等式的解集，因为它不是由不等式的所有解组成的。
A.1个; B.2个; C.3个; D.4个.
B
6、解不等式：
求不等式解集的过程
其实质就是把不等式化为“x>a或x≥a或x7、用数轴表示不等式的解集：
x>a
xx≥a
x≤a
大于向右画,小于向左画.
例:
1.关于x的不等式2x-a≤-1的解集如图所示,则a的取值是( )
A.0; B.-3; C.-2; D.-1
D
2.如图,表示的是不等式的解集,或中错误的是( )
x≥-1
x<1
x≥0
x>0
A
B
C
D
用数轴表示不等式的一般步骤;(1)画数轴;(2)定界点;(3)定方向.
C
8、不等式解集中最值问题：
对于不等式x≥a的解集有最小值，最小值为x=a；对于不等式x≤a的解集有最大值，最大值为x=a，而不等式x>a的解集没有最小值，x例：x≥2时x的最小值是a，x≤5时x的最大值是b，试求ba的值。
解：根据已知条件，得a=2,b=5则ba=52=25
9、一元一次不等式：
不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。
10、一元一次不等式的解法：
去分母
去括号
移项
合并同类项
系数化为1
例：1.解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。
(1).2(5x+3) ≤x-3(1-2x)
2.不等式2x-7<5-2x的正整数解有（ ）
A、1个； B、2个； C、3个； D、4个
B
11、一元一次不等式组：
一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。
12、一元一次不等式组的解集：
一般地，一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分，叫这个一元一次不等式组的解集。
13、一元一次不等式组的解集的取法：
x>b
xa无解
同大取大
同小取小
大小小大中间找
大大小小无处找
14、一元一次不等式的解法：
步骤：（1）解不等式组中的每一个不等式，分别求出它们的解集；
（2）将每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，找出它们的公共部分，注意：公共部分可能没有，了可能是一个点。
（3）根据公共部分写出不等式级一解集，若没有公共部分，则说明不等式组无解。
例：解下列不等式组：
15、一元一次不等式（组）的应用：
（1）、利用不等式解决商家销售中的利润问题：
例：某商店将一件商品的进价提价20%的，以降价30%，以105元出售，问该商店卖出这件产品，是盈利还是亏损？
解：设这件商品的进价为x元，则x(1+20%)(1-30%)=105，解得x=125，因为105<125，所以该商店卖出这件产品亏损了。
A、甲 B、乙 C、丙 D、不能确定
C
（2）、利用不等式解决方案设计问题：
例1：某校在“五一”期间组织学生外出旅游，如果单独租用45座的客车若干辆，恰好坐满；如果单独租用60座的客车，可少租一辆，并且有一辆不空也不满。
（1）求外出旅游的学生人数是多少？
（2）已知45座客车座客车每辆租金250元，60座客车每辆租金300元，为了节省租金，并保证每个学生都能有座，决定怎样租用客车，使得租金最少？
解（1）设单独租用45座的客车x辆，则单独租用了（x-1）辆60座的客车。根据题意得：
0<45x-60(x-2)<60
解得:4所以学生数为：45×5=225人、45×6=270人或45×7=315人。
（2）若租45座客车x辆，则60座（x-1）辆，费用为：250x+300(x-1)=550x-300,
而4例2：某单位急需用车，但以不准备买车，他们准备和一个个体车主或一国营出租车公司中一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主有月租费用是y1元，应付给国营出租车公司的月租费用是y2元，y1、y2分别与x之间的函数关系（两条射线）如图所示，回答下列问题：
（1）分别写出y1、y2与x的函数关系式？（2）每月行驶的路程在什么范围内，租国营出租车公司的车合算？在什么范围内租个体车主的车合算？（3）每月行驶的路程是多少千米时，租两家车的费用相同？（4）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300米，那么这个单位租哪家的车合算？
2xy1，即2x>x+1000，解得x>1000。所以当每月行驶的路程小于1000千米时，租国营出租四公司的车合算；当每月行驶的路程大于1000千米时，租个体车主和车合算；（3）由题意得y1=y2，即2x=x+1000,解得x=1000，所以每月行驶的路程为1000千米时，租两家车的费用相同；（4）因2300>1000，所以租个体车主和车合算。
例3、某饮料厂为了开发新产品，用A、B丙种果汁原料各19千克、17.2千克试制甲、乙两种新型饮料共50千克，下表是实验的相关数据：
(1)假设甲种饮料需配制千克,请你写出满足题意的不等式组,并求出其解集.
(2)若甲种饮料每千克成本为4元,乙种饮料每千克成本为3元,设这两种饮料的成本总额为y元,请写出y与x的函数关系式(不要求写自变量的取值范围),并根据(1)的运算结果,确定当甲种饮料配制多少千克时,甲、乙两种饮料的成本总额最少？
解：（1）由题意得：
解不等式组，得
（2）y=4x+3(50-x)，即y=x+150。因为x越小，y越小，所以当x=28时，y最小。即当甲种饮料配制28千克时，甲、乙两种饮料的成本总额最少。
28≤x≤30
练习：绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨。现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨。
（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？
（2）若甲种货车每辆要付运费300元，乙种货车每辆要付运费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运费最少？最少运费是多少？
解：（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车(8-x)辆，依题材意得4x+2(8-x) ≥20，且x+2(8-x) ≥12，解得2≤x≤4。因为x是正整数，所以x可取的值为2，3，4。因此安排甲、乙两种货车有三种方案：
（2）方案一所需运费300×2+240×6=2040（元）；方案二所需运费300×3+240×5=2100（元）；方案三所需运费300×4+240×4=2160（元）。所以五灿应选择方案一运费最少，最少运费是2040元。