与三角形有关的角
三角形的内角
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在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷。
同学们，你们知道其中的道理吗？
内角三兄弟之争
想一想
三角形的三个内角和是多少?
有什么办法可以验证呢?
三角形的三个内角和等于180°
结论对任意三角形都成立吗？
A
B
C
1
2
3
E
F
A
B
C
1
2
3
E
F
过A作EF∥BC，
∴∠B=∠2
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠3
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠3+∠BAC=180°
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
(平角的定义)
(等量代换)
A
B
C
A
过C作CE∥BA，
）
E
1
）
。
。
于是∠A=∠1
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
(平角的定义)
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
2
×
×
？
？
(两直线平行，同位角相等)
？
？
(等量代换)
作BC的延长线CD，
思路总结
为了说明三个角的和为1800,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.
三角形内角和定理:
三角形的内角和等于1800.
（1）在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °
则∠ C= .
（2）在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4
则∠A = ∠ B= ∠ C= .
（1）一个三角形中最多有 个直角？为什么？
（2）一个三角形中最多有 个钝角？为什么？
（3）一个三角形中至少有 个锐角？为什么？
（4）任意 一个三角形中，最大的一个角的度数至少为 .
102 °
80 °
60 °
40 °
60°
2
1
1
复习旧知
讨论
例题 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向。从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
解：
∠CAB=∠BAD-∠CAD=800-500=300
由AD∥BE，可得
∠BAD＋∠ABE=1800
所以∠ABE=1800－∠BAD
=1800－800＝1000
∠ABC=∠ABE－∠EBC
=1000－400＝600
在ΔABC中，
∠ACB=1800-∠ABC－∠CAB
=1800－600-300＝900
答：从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是900 。
还有其它方法吗？
B
你能想出一个更简捷的方法来求∠C的度数吗？
1
2
50°
40°
解： 过点C画CF∥AD ∴ ∠1＝∠DAC＝50 °,
F
∵ CF∥AD, 又AD ∥BE
∴ CF∥ BE
∴∠2＝∠CBE ＝40 °
∴ ∠ACB＝∠1﹢∠2 ＝50 °﹢ 40 ° ＝90 °
如图，从A处观测C处时仰角∠CAD＝30°，从B处观测C处时仰角∠CBD＝45°。 从C处观测A、B两处时视角 ∠ACB是多少？
练一练
A
B
C
D
解：在△ACD中 ∠CAD ＝30 ° ∠D ＝90 °
∴ ∠ACD =180 ° －30 ° －90 °=6 0 °
在△BCD中 ∠CBD = 45 ° ∠D ＝90 °
∴ ∠BCD = 180 °－90°－45 °=45 °
∴ ∠ACB = ∠ACD －∠BCD = 6 0 °－45 °
　　　　　　　　　　　　　　　＝15°
2. 如图，一种滑翔伞是左右对称的四边形ABCD，其中∠A＝150°，∠B＝∠D＝40°。求∠C的度数。
D
解：在△ABC中 ∠B+∠1+∠BAC=180°
在△ACD中 ∠D+∠2+∠DAC=180°
∴∠B+∠D+∠1+∠2+∠BAC+∠CAD=360 °
即 ∠B+∠D+ ∠BCD +∠BAD= 360 °
40 °+40 °+ ∠BCD +150 ° = 360 °
∴ ∠BCD = 360 °－40 °－40 °－ 150 °
　　　　　=130 °
另解： 由题意得 ∠BAC＝∠DAC＝75°
在△ABC中
∠BCA ＝180 °- ∠BAC - ∠B ＝180 °- 75 ° - 40°= 65 °
∴ ∠ACD = ∠ BCD = 65 °
∴ ∠BCD = ∠ACD + ∠ BCD =130 °
1、如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是 ( )
(A)带①去　　　　(B)带②去　　　　　(C)带③去　　　　(D)带①和②去
C
练习
3、在△ＡＢＣ中，如果
∠Ａ= ∠B= ∠ C，
那么△ＡＢＣ是什么三角形？
例2 已知：在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高， 求∠DBC的度数.
分析：∠DBC在△BDC中，∠BDC=900，为求∠DBC的度数，只要求出∠C的度数即可.
解：设∠A= x ，则∠C=∠ABC=2x.
∴x+ 2x+ 2x=180(三角形内角和定理).
解方程，得x=360.
∴ ∠C=2×360=720.
在△BDC中，
∵∠BDC=900（已知），
∴∠DBC=1800-900-720（三角形内角和定理).
∴∠DBC=180.
A
B
C
D
一 、选择题
(1) 在△ABC中，∠A:∠B:∠C =1:2:3，则∠B =（ ）
A. 300 B. 600 C. 900 D. 1200
(2) 在△ABC中，∠A =500, ∠B =800,则∠C =（ ）
A. 400 B. 500 C. 100 D. 1100
（3）在△ABC中，∠A =800, ∠B =∠C，则∠B =（ ）
A. 500 B. 400 C. 100 D. 450
二、填空
（1）∠A:∠B:∠C=3:4:5，则∠B =
（2）∠C =900，∠A =300，则∠B =
（3）∠B =800，∠A =3∠C，则∠A =

B
600
750
B
600
A
3. 在△ABC中，已知∠A-∠C=250，∠B-∠A=100，求∠B的度数.
分析：根据三角形内角和定理可知： ∠A+∠B+∠C=1800，然后结合已知条件便可以求出.
解：在△ABC中，
∠A+∠B+∠C=1800（三角形內角和定理）
联立∠A-∠C=250，∠B-∠A=100可得，
∠A=650，∠B=750，∠C=400
答：∠B的度数是750.
4.如图：已知在△ABC中，EF与AC交于点G，与BC的延长线交于点F，∠B=450 ，∠F=300，∠CGF=700，
求∠A的度数.
A
E
G
F
C
B
这节课你有那些收获?
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作业
课本P81－P82第1、2、3、4、7、8题
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