12.3角平分线的性质
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
知识回顾
几何语言：
∵ OC平分∠AOB，
且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
角平分线的性质：
不必再证全等
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
∴PD=PE.
同理，PE=PF.
∴PD＝PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
P
M
N
想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
1、逆向思维探求角平分线的
判定定理
问： 把角平分线性质定理的题设、结论交换后，得出什么命题?它正确？如何证明？
如果一个点在角的平分线上，
那么这个点到角的两边的距离相等。
如果一个点到角的两边的距离相等，
那么这个点在角的平分线上。
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上
证明: 经过点P作射线OC
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
　∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°
在Rt△PDO和Rt△PEO中
　 PO＝PO PD=PE∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
　∴ ∠ POD＝∠POE
∴点P在∠AOB的平分线上
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
PD＝PE．
∴OP平分∠AOB．
用数学语言表示为：
角平分线性质的逆定理
（角平分线的判定）
总结
角的平分线的性质
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
归纳、比较
思考：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
D
C
S
解：作夹角的角 平分线OC，
截取OD=2.5cm , D即为所求。
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD
于H，FM⊥BC于M，
G
H
M
∵点F在∠BCE的平分线上，
　 FG⊥AE， FM⊥BC，
∴FG=FM.
又∵点F在∠CBD平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC.
∴FM=FH.
∴FG=FH，
∴点F在∠DAE的平分线上.
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
再 见