二 次 函 数复习课
知识梳理：
1、二次函数的概念：函数y= (a、b、c为常数，______)叫做二次函数。
ax2+bx+c
a ≠０
2、二次函数的图象是一条 。
抛物线
函数的图象及性质
a＞0向上
a＜0向下
a＞0向上
a＞0向上
a＞0向上
a＜0向下
a＜0向下
a＜0向下
y轴
直线x=h
直线x=h
y轴
( 0 , 0 )
( 0 , k )
( h , 0 )
( h , k )
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x – h )2
y = a( x – h )2 + k
上下平移
左右平移
上下平移
左右平移
结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同,位置不同。
各种形式的二次函数的关系
３、二次函数的y= ax2+bx+c的性质：
a＞0 开口向上
a ＜ 0 开口向下
x=h
(h , k)
y最小=k
y最大=k
y最小=
y最大=
在对称轴左边， x ↗y↘ ；在对称轴右边， x ↗ y ↗
在对称轴左边， x ↗y ↗ ；在对称轴右边， x ↗ y ↘
同学们，你们已经学习过二次函数，请你画出二次函数y＝－x2－2x＋3的图象，根据图
象、结合函数的解析式，你能说出哪些结论？
练习：
1.抛物线y=x2向上平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位可得到抛物线 。
已知抛物线y＝－x2－2x＋m.
(2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m______0；　　　　　　　　　（填“＞”、“＝”或“＜”）
(1)若抛物线经过坐标系原点，则m______0；　　　　　　　　　（填“＞”、“＝”或“＜”）
(4)若抛物线与x轴有两个交点，则m______。
(3)若抛物线与x轴有一个交点，则m_______.
＞
＝
＞－1
＝－1
练习：
2.将函数y= x2+6x+7进行配方正确的结果应为（ ）
C
练习：
3.抛物线的图像如下，则满足条件a＞0, b＜0, c＜0的是（ ）
A
D
C
B
D
4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：① abc>0 ；② b2-4ac<0；③ b+2a<0；④ a+b+c>0. 其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ③④ B. ②③ C. ①④ D. ①②③
a<0，b>0，c>0
练习：
A
练习：
5.二次函数y= ax2+bx+c的图象如图所示，求此函数解析式。
-6
3
2
-2
（1）方法一 （一般式）
方法二 （顶点式）
方法三 （交点式）
（2）知识拓展
一般式：
解：依题意把点（2，0）（-6，0）（0，3） 可得：
4a+2b+c=0
c=3
36a-6b+c=0
解得： a=
b= -1
c=3
所以二次函数的解析式为：
顶点式：
解：因为二次函数的对称轴为x=-2,所以可设函数的解析式为：y=a(x+2)2+k，把点（2，0）（0，3）代入可得：
16a+k=0
4a+k=3
解得 a=
k=4
所以二次函数的解析式为：
交点式：
解：因为抛物线与x轴相交的两个点的坐标为（2，0）（-6，0），可设该函数的解析式为：y=a(x+6)(x-2),把点（0，3）代入得：
3= -12a
解得：a=

所以二次函数的解析式为：
拓展：
若抛物线y1 = a1x2+b1x+c1与以上抛物线关于x轴对称，试求y1 = a1x2+b1x+c1的解析式。
6.二次函数y= ax2+bx+c的图象如图所示，求此函数解析式。
练习：
中考链接：
1.（北京）如果b＞0，c＞0，那么二次函数
的图象大致是（    ）
A.            B.           C.               D.
D
中考链接：
2. 如图，抛物线的顶点P的坐标是（1，－3），则此抛物线对应的二次函数有（ ）
（A）最大值1
（B）最小值－3
（C）最大值－3
（D）最小值1
B
中考链接：
3. 已知抛物线的部分图象如图,则抛物线的对称轴为直线x= ,满足y＜0的x的取值范围是 ,将抛物线向 平移 个单位,则得到抛物线

3
1＜X＜5
下
1
中考链接：
4. 根据图1中的抛物线，
当x 时，y随x的增大而增大，
当x 时，y随x的增大而减小，
当x 时，y有最大值。
＜2
＞2
＝2
5. 如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD、EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C、E和点D、F，则图中阴影部分的面积是 。
中考链接：
中考链接：
6. 张大伯准备用40m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长25m的墙，设计了如图一个矩形的羊圈。
请你求出张大伯矩形羊圈的面积；
请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由。
练习：
7.如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD组成，矩形的长BC为8米，宽AB为2米，以BC所在的直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系。y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点的距离为6米。
（1）求抛物线的解析式；
（2）现有一货车卡高4.2米，宽
2.4米，这辆车能否通过该隧道？
请说明理由。
（3）若该隧道内设双行道，
该辆车还能通过隧道吗？请说明理由。
GO
GO
（2）现有一货车卡高4.2米，宽2.4米，这辆车能否通过该隧道？请说明理由。
解：
把x=1.2代入 中，解得y=5.64。
∵4.2＜5.64
∴这辆车能通过该隧道
(3)若该隧道内设双行道，现有一货车卡高4.2米，宽2.4米，这辆车能否通过该隧道？请说明理由。
解：
把x=2.4代入 中，解得y =4.56。
∵4.2＜4.56
∴这辆车能通过该隧道
课堂小结：
1、二次函数的概念：
二次函数的概念：函数y= (a、b、c为常数，其中 )叫做二次函数。
2、二次函数的图象：
二次函数的图象是一条抛物线。
3、二次函数的性质：
包括抛物线的三要素，最值，增减性。
4、二次函数的实践应用（数形结合）
具体体现在解决一些实际应用题中。
ax2+bx+c
a ≠０
4、如图①， 已知抛物线 y=ax²+bx+3 （a≠0）与 x轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C．
(1) 求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.
(3) 设抛物线的对称轴与 x轴交于点M, 问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(4) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
15.如图①， 已知抛物线y=ax²+bx+3 （a≠0）与 x轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C．
(1) 求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.
Q
(1,0)
(-3,0)
(0,3)
y=-x²-2x+3
Q(-1,2)
(3) 设抛物线的对称轴与 x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
以M为圆心，MC为半径画弧，与对称轴有两交点;以C为圆心，MC为半径画弧，与对称轴有一个交点（MC为腰）。
作MC的垂直平分线与对称轴有一个交点（MC为底边）。
(1,0)
(-3,0)
(0,3)
(-1,0)
(4) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
E
F
(1,0)
(0,3)
(-3,0)
(m,-m²-2m+3 )