1.1.3 集合的基本运算
一、并集
可以发现：集合C是由属于集合A或属于集合B的元素组成的
考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？
(1)A={1,3,5} B={2,4,6} C={1,2,3,4,5,6}
(2)A={x|x是有理数} B= {x|x是无理数}
C= {x|x是实数}
思考：实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？
1. 并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集
记作：A∪B 读作：“A并B”
2. 并集的表示：
自然语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，成为集合A与B的并集
符号语言： A∪B ＝｛x | x∈A或x∈B｝
图形语言：
例1. 设A={4,5,6,8} , B={3,5,7,8}, 求A∪B
解：A∪B ={3,4,5,6,7,8}
注：求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次
例2. 设集合A={x|-1解：A∪B ={x|-1问题：下列关系式成立吗？
(1) A∪A=A (2) A∪Ø=A
3. 并集的性质
二、交集
考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？
(1)A={2,4,6,8,10} B={3,5,8,12} C={8}
(2)A={x|x是166中学的女同学}
　B= {x|x是166中学高一年级同学} 　
　C= {x|x是166中学高一年级女同学}
可以发现：集合C是由那些既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的
1. 交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，成为集合A与B的交集
记作：A∩B 读作：“A交B”
2. 交集的表示：
自然语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，成为集合A与B的交集
符号语言： A∩B＝｛x | x∈A且x∈B｝
图形语言：
例３. 166中学开运动会，设
　A={x|x是166中高一年级参加百米赛跑的同学},
　Ｂ={x|x是166中高一年级参加跳高比赛的同学},
　求Ａ∩Ｂ
解：A∩B ={x|x是166中高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}
解：平面内直线l1 、l2可能有三种位置关系：即相交于一点，平行或重合
例４. 设平面内直线l1 上点的集合为L1 ,直线l2上点的集合为L2, 试用集合的运算表示l1、 l2的位置关系
(1) 直线l1 、l2相交于一点P可以表示为：
　L1 ∩ L2 =　Ｐ
(２)直线l1 、l2平行可以表示为：
　L1 ∩ L2 =　Ø
(３)直线l1 、l2重合可以表示为：
　L1 ∩ L2 =　 L1 =L２
问题：下列关系式成立吗？
(1) A∩A=A (2) A∩Ø=A
3. 交集的性质
1．能否认为A与B没有公共元素时，A与B就没有交集？
答：不能．当A与B无公共元素时，A与B的交集仍存在，此时A∩B＝∅.
自主探究
2．怎样理解并集概念中的“或”字？对于A∪B，能否认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合？
答：其中“或”字的意义，用它连接的并列成分之间不一定是互相排斥的，“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A，但x∉B，x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.
对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合，违反了集合中元素的互异性．因为A与B可能有公共元素，公共元素只能算一个．
解：A∩B=｛x| -31.5 ｝
=｛x|-3A∪B=｛x| -31.5 }=R
1、设A=｛x|-31.5｝，求：A∩B ，A∪B.
2、设A=｛x|０求：A∩B， A∪B.
解：Ａ＝｛x|0 A∩B=｛x|-1A∪B=｛x|-1课堂练习
3．已知集合A＝{(x，y)|y＝x＋3}，B＝{(x，y)|y＝3x－1}，则A∩B＝________.

答案：{(2,5)}
4．已知Q＝{x|x是有理数}，Z＝{x|x是整数}，则Q∪Z＝________.
解析：Q∪Z＝{x|x是有理数}∪{x|x是整数}＝{x|x是有理数}＝Q.
答案：Q
1．设集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则A∪B等于(　　)
A．{1,2,2,3} B．{2}
C．{1,2,3} D．∅
答案：C
2．设集合A＝{x|－5≤x<1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于 (　　)
A．{x|－5≤x<1} B．{x|－5≤x≤2}
C．{x|x<1} D．{x|x≤2}
答案：A
预习测评
误区解密　因没有明确描述法表示集合时的
代表元素而出错
【例4】 设集合A＝{y∈R|y＝x2＋1，x∈R}，B＝{y∈R|y＝x＋1，x∈R}，则A∩B等于 (　　)
A．{(0,2)，(1,2)} B．{0,1}
C．{1,2} D．{y∈R|y≥1}
错解2：在解方程组的基础上，注意到M、N中代表元素是y，故选C.
错因分析：没有理解集合的描述法的含义，元素的表达式符号是“y”，而不是“(x，y)”，有的同学盲目地将两约束条件联立求得其交点坐标，其实质是误将元素表达式“y”理解成“(x，y)”．
正解：A＝{y∈R|y≥1}，B＝{y∈R|y∈R}，
∴A∩B＝{y∈R|y≥1}，
故选D.
答案：D
纠错心得：这里的集合A、B是用描述法表示的，要首先明确代表元素是什么，再看元素的属性，从而确定该集合表示的意义，是数集，还是点集，是x的取值范围还是y的取值范围，解决这一类问题时，一定要抓住集合及其元素的实质．
题型二　已知集合的交集、并集求参数
【例2】 设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3, 2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a.
解：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B.
∵a2＋1≠－3，
∴①若a－3＝－3，则a＝0，
此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，
但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾，
∴a≠0.
②若2a－1＝－3，则a＝－1，
此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}，
综上可知a＝－1.
点评：本题考查交集的定义，并考查集合中元素的性质，注意分类讨论思想的运用，在确定集合中的元素时，要注意元素的互异性这一属性以及是否满足题意．
三、补集
在研究问题时，我们经常需要研究对象的范围，在不同范围研究同一问题，可能有不同的结果
问题： 在下面范围内解方程(x-2)(x2-3)=0
(1) 有理数范围　　　　　　(2)实数范围
1. 全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作Ｕ
2. 补集：对于一个集合Ａ，由全集Ｕ中不属于集合Ａ的所有元素组成的集合称为集合Ａ相对于全集Ｕ的补集，简称为集合Ａ的补集，记作CUA
例５. 设U={x|x是小于９的正整数} ,
A={1,2,3} B={3,4,5,6} ,求CUA，CUB
解：∵ U={1,2,3,4,5,6,7,8}
∴ CUA ={4,5,6,7,8}
CUB ={1,2,7,8}
例6. 设全集U={x|x是三角形} ,
A={x|x是锐角三角形} B={x|x是钝角三角形} ,　求A∩B，CU(A∪B)
解： 　A∩Ｂ=Ø
　∵A∪B ＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}
　∴CU(A∪B) ={x|x是直角三角形}
４.补集的性质
　(1) ( CUA )∪A = U
(2) ( CUA )∩A = Ø
作业
书P12： A组 6，7，8，9，10题
B组 1，2，3，4题