1.2.1 函数的概念
1.在初中我们学习了哪几种基本函数？其函数解析式分别是什么？
问题提出
2.初中对函数概念是怎样定义的？
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
知识探究（一）
一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m，且炮弹距离地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：h＝130t-5t2.
思考1：这里的变量t的变化范围是什么？变量h的变化范围是什么？试用集合表示？
A＝{t|0≤t≤26}，B＝{h|0≤h≤845}
思考2：高度变量h与时间变量t之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？
思考3：炮弹在空中的运行轨迹是什么？射高845m是怎样得到的？
知识探究（二）
近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题. 下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.
S（106km2）
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思考1：根据曲线分析，时间t的变化范围是什么？臭氧层空洞面积S的变化范围是什么？试用集合表示？
A＝{t|1979≤t≤2001}；B＝{s|0≤s≤26}
思考2：时间变量t与臭氧层空洞面积S之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？
思考3：这里表示函数关系的方式与上例有什么不同？
知识探究（三）
国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表是“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况.
思考1：用t表示时间，r表示恩格尔系数，那么t和r的变化范围分别是什么？
A={1991，1992，…，2001}，B={53.8，52.9,50.1，49.9，48.6，46.4，44.5，41.9，39.2，37.9}
思考2：时间变量t与恩格尔系数r之间的对应关系是否为函数？
知识探究（四）
思考1：从集合与对应的观点分析，上述三个实例中变量之间的关系都可以怎样描述？
对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记作 f：A→B.
思考2：上述三个实例中变量之间的关系都是函数，那么从集合与对应的观点分析，函数还可以怎样定义？
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，
那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x)，x∈A.
其中，x叫做自变量，与x值相对应的y值叫做函数值.
解释定义
①A,B是非空的数集。
②对应关系
思考：“按照某种确定的对应关系 ”是什么意思？
思考：如何理解“ ”？
符号y=f(x)表示“ y是变量x的函数”，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x的乘积。
思考：
当a为常数时，f(a)表示的是自变量
x=a时对应的函数值，是一个常数。
自变量的取值范围A叫做函数的定义域；　　　函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
思考3：在从集合A到集合B的一个函数f：A→B中，集合A是函数的定义域，集合B是函数的值域吗？怎样理解f(x)=1，x∈R？
定义域为{0,1,2}，值域为{0,2,4}
思考4：一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？
定义域、对应关系、值域；
定义域相同，对应关系完全一致,则两个函数相等.
函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；
下列可作为函数y= f (x)的图象的是
Ａ　　　　　　Ｂ　　　　　Ｃ　　　　　Ｄ
x
x
x
x
y
y
y
y
O
O
O
O
√
练习: 判断下列关系式是否是函数？并说明理由。
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x| （2）|y|=x
（3） y=x 2 （4）y2 =x
（5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1
(1)能
(2)不能
(5)不能
(3)能
(4)不能
(6)不能
例2、对于函数y=f (x)，以下说法正确的有( )
①y是x的函数
②对于不同的x,y的值也不同
③ f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量
④ f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
B
例3、给出四个命题：
①定义域相同，值域相同的两个函数相等。
②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素
③因f(x)=5(x∈R),这个函数值不随x的变化范围而变化，所以f(0)=5也成立
④定义域和对应关系确定后，函数值也就确定了 正确有( )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
C
下列例4、例5、例6是否满足函数定义
例4 若物体以速度v作匀速直线运动，则
物体通过的距离S与经过的时间t的关系
是S＝vt.
例5 某水库的存水量Q与水深h (指最深处 的水深)如下表：
例6 设时间为t，气温为T(℃)，自动测温
仪测得某地某日从凌晨0点到半夜24点
的温度曲线如下图.
t
2. 函数的三要素:
定义域A；
值域{f(x)|x∈A}；
对应法则f.
函数符号y＝f (x) 表示y是x的函数，
f (x)不是表示 f 与x的乘积；
(2) f 表示对应法则，不同函数中f 的具
体含义不一样；
R
R
R
R
R
3.已学函数的定义域和值域
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3.已学函数的定义域和值域
实数集R
使分母不等于0的实数的集合
使根号内的式子大于或等于0的实数的集合
使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集)
使实际问题有意义的实数的集合
例1 求下列函数的定义域：
例题讲解
⑶
⑵
⑴
解:(1)要使函数有意义，只需
即 ，所以函数 的定义域为
。
练习
练习
例4 下列各组中的两个函数是否为相同的
函数？
（1）定义域不同。
（2）定义域不同。
（3）定义域和值域都不同。
练习：判断下列函数f(x)与g(x)是否表示相等的函数，并说明理由？
设a,b是两个实数，而且a(1)、满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为 [a,b]
(2)、满足不等式a(1)、满足不等式a≤x区间的概念
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”。满足x≥ a,x>a ,x ≤b, x试用区间表示下列实数集
（1）{x|5 ≤ x<6}
（2） {x|x ≥9}
（3） {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2}
（4） {x|x < -9}∪{x| 9 < x<20}
注意：①区间是一种表示连续性的数集
②定义域、值域经常用区间表示
③实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不 包括在区间内的端点。
例6.已知函数
（1）求f(x)的定义域；
（2）求f(x+3)的表达式，以及f(x+3)的定义域。
（3）求f(2x+1)的表达式，以及f(2x+1)的定义域。
注意：
1. 函数f(x+3)的定义域指的是x的取值范围，而不是x+3 的取值范围。
2.本题中函数f(x+3)的定义域为-1 与f(x)的定义域相同。原因是我们在求f(x+3)的表达式时是用“x+3”整个代替f(x)表达式中的“x”。
变式1：已知函数f(x)的定义域为(2,5]，求函数f(x+3)的定义域。
变式2：已知函数f(x+3)的定义域为(-1,2]，求函数f(x)的定义域。
解：(1) 因为f(x)的定义域为(2,5]，所以2 得-1（2）因为f(x+3)的定义域为(-1,2]，所以-1 得21.已知函数f(x)的定义域为[-1,1]，求函 数f(2x+1)的定义域。
2.已知函数f(2x-1)的定义域为[-3,3],求函数f(x)的定义域。
练习
1.已知函数f(2x-1)的定义域为[0,1)，求 f(1-3x)的定义域。
2.已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求
的定义域。
3.若函数f(x+3)的定义域为[-5,-2],求F(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域。
提高练习