第一章 集合与函数概念

1.3.2 奇偶性
情景1:观察下列图形,回顾轴对称与中心对称概念及其特征.

情景导入
观察图片
这些图形有什么共同点？
情景2：数学中有许多对称美的图形，函数中也有不少具有对称特征的美丽图像,比如 等函数图像.
如何从“数”的方面定量刻画这些函数图像的对称本质呢？这就是本课时学习的函数的奇偶性.
教材导读
阅读本节教材内容，体会函数奇偶性的概念.
观察下图，思考并讨论以下问题：
(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？
(2) 如何利用函数解析式描述函数图象的这个特征呢？
f(-3)=9=f(3)
f(-2)=4=f(2)
f(-1)=1=f(1)
f(-3)=3=f(3)
f(-2)=2=f(2)
f(-1)=1=f(1)
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数y=x2为偶函数.
定义:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
观察函数f(x)=x和 的图象(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？
f(-3)=-3=-f(3)
f(-2)=-2=-f(2)
f(-1)=-1=-f(1)
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函数y=x为奇函数.
f(-3)=-1/3=-f(3)
f(-2)=-1/2=-f(2)
f(-1)=-1=-f(1)
定义:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)= －f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
奇函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)= －f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
定 义
注 意：
1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性.
3、由定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的（即定义域关于原点对称）．
2、定义中“任意”二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性 .
例1、判断下列函数的奇偶性：
(1)定义域为(-∞,+∞)
即 f(-x)=f(x)
∴ f(x)是偶函数.
(2)定义域为(-∞,+∞)
即 f(-x) = -f(x)
∴ f(x)是奇函数.
(3)定义域为{x|x≠0}
(4)定义域为{x|x≠0}
即 f(-x) = -f(x)
∴ f(x)是奇函数.
即 f(-x)=f(x)
∴ f(x)是偶函数.
解：
∵ f(-x)=(-x)4=f(x)
∵ f(-x)=(-x)5= - x5 = -f(x)
∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)
∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x)
(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；
(2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
用定义判断函数奇偶性的步骤：
即
f(-x)＋f(x)=0或f(-x)－f(x)=0是否恒成立.
练习： 判断下列函数的奇偶性：
解：
(1)∵ f(x)的定义域是 R ，
且
∴ f(x) 是偶函数.
(2)∵ 函数的定义域是R，
且 f(x)=0， f(-x)=0.
∴ f(-x)=-f(x) ， f(-x)=f(x).
∴函数f(x)=0既是奇函数也是偶函数.
∴函数的定义域[-1，1)
解：
关于原点不对称，
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(4)∵f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，+∞)，
当x＞0时，－x＜0，
∴f(－x)=
当x＜0时，－x＞0，
∴f(－x)=
故f(x)为奇函数.
=－x(1+x)
=－f(x)
(x＞0).
=－f(x)
(x＜0)，
(－x)[1－(－x)]
=－x(1－x)
(－x)[1＋ (－x)]
综上：
f(－x)=－f(x)
解：
∵f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，+∞)，
当x＞0时，－x＜0，
∴f(－x)=
当x＜0时，－x＞0，
∴f(－x)=
故f(x)为奇函数.
=－x(1+x)
=－f(x)
(x＞0).
=－f(x)
(x＜0)，
(－x)[1－(－x)]
=－x(1－x)
(－x)[1＋ (－x)]
综上：
f(－x)=－f(x)
法2：
∵f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，+∞)，
且
故f(x)为奇函数.
即
f(－x)=－f(x)
例2 已知f(x)是定义在R上的奇函数, 且x∈(0，+∞)时，
f(x)=x2 －2x+3，求 f(x)的解析式 .
解：
由已知有：
f(－x) = － f(x) , x∈R
且 x∈(0，+∞)时， f(x)=x2 －2x+3，
设 x∈(－∞，0)，
则 －x∈(0，+∞)，
f(x) = －f(－x)
=－ [(－x)2 －2(－x)+3]
=－ x2 －2x－3.
又 x=0时，
f(－0) = － f(0) ,
∴ f(0) = 0.
综上得：
奇偶函数的性质
奇函数的图象关于原点对称,如：
偶函数的图象关于y轴对称,如：
若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(x)=0