2.2对数函数
2.2.1 对数与对数运算
1．问题的提出：假若我国国民经济生产总值平均每年增长8%，则经过多少年国民生产总值是现在2006年的两倍？
设：经过x年国民生产总值是现在的两倍，现在的国民生产总值是a。
即
x=？
引入
2．探究三个数2、3、8之间存在的运算关系：
(1)两个数2、3通过什么运算可以得到8？如何表示？
答：2的3次方等于8，是乘方运算，表示为：
(2)两个数8、3通过什么运算可以得到2？如何表示？
答：8的3次方根等于2，是开方运算，表示为：
(3)两个数2、8通过什么运算可以得到3？如何表示？
答：以2为底8的对数等于3，是对数运算，表示为：
（谁的3次方等于8）
（2的几次方等于8？或8是2的几次方？）
引入
其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
对 数
常用对数：
自然对数：
新课教学
例如：
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：
新课教学
1. 是不是所有的实数都有对数？
logaN＝b中的N可以取哪些值？
负数与零没有对数，即：N>0
2. 根据对数的定义以及对数与指数的关系， loga1＝? logaa＝?
loga1＝0， logaa＝1
探究：
在ab＝N 中,
b=logaN，则有
3. 对数恒等式
例1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指
数式：
解：
范例
例2.求下列各式中x的值：
解：
范例
求log(1－2x)(3x＋2)中的x的取值范围．
思考：
问题提出：
对数源于指数，对数和指数式怎样互化的？

指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，指数运算有一系列性质，那么对数运算有那些性质呢？
知识探究（一）：积与商的对数
思考1:求下列三个对数的值： ， ， .你能发现这三个对数之间有哪些内在联系？

思考2:将 推广到一般情形有什么结论?

思考3:如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，你能证明等式
成立吗？

思考4:若a＞0，且a≠1， 均大于0，则
由对数的定义可以得：
即证得
证明：
新课教学
由对数的定义可以得：
即证得
证明：
新课教学
知识探究（二）:幂的对数
思考1: 和 有什么关系?推广到一般情形呢?

思考2:如果a>0，且a≠1，M>0，你有什么方法证明等式 成立．

思考3: 对任意实数 恒成立吗？
思考4:如果a>0，且a≠1，M>0，则 等于什么？
即证得
证明：
新课教学
上述关于对数运算的三个基本性质如何用文字语言描述？
两数积的对数,等于各数的对数的和；

两数商的对数,等于被除数的对数减去除数的对数；

幂的对数等于幂指数乘以底数的对数．
其他重要公式1:
证明：设
即证得
新课教学
其他重要公式2:
这个公式叫做换底公式
新课教学
其他重要公式3:
解：
范例
例4.计算：
范例
= 5+14 = 19
解：
范例
= 3
解：
范例
例5计算：
讲解范例
解法一：
解法二：
例5计算：
讲解范例
解：
1.求下列各式的值：
课堂练习
2.用lgｘ，lgｙ，lgｚ表示下列各式：
（2）
＝lgｘ＋２lgｙ－lgｚ；
＝lgｘ＋lgｙ＋lgｚ；
课堂练习
课堂小结
(1)对数的概念：对数、底数、真数；
常用对数；
自然对数。
(2)对数的运算：
积、商、幂的对数运算法则；
3个重要公式。
1999底我国人口为13亿,人口增长的年平均增长率为
1%,则x年后，我国的人口数为　　　　；若问多少年后
我国的人口达到18亿，即解方程　　　　　　，则
而如果计算器只能求10,e为底的对数，那该怎么办？
方法：进行换底，把底换成以10，或者换成以e为底．
或者
例5 20世纪30年代,里克特(C.F.Richter)制订
了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪
衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的
地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震
级M,其计算公式为 M=lgA-lgA0
其中，A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”
的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实
际震中的距离造成的偏差).
(1)假设在一次地震中,一个距离震中100千米的
测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的
振幅是0.001,计算这次地震的振级(精确到0.1)
(2)5级地震给人的震感已比较明显,计算7.6级地
震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍?
解：(1)
因此，这是一次约为里氏4.3级的地震。
(2)由M=lgA-lgA0可得
当M=7.6时，地震的最大振幅为
当M=5时，地震的最大振幅为
所以，两次地震的最大振幅之比是
答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅是398倍.
例6 科学研究表明,宇宙射线在大气中能够产
生放射性碳14,碳14的衰变极有规律,其精确性可以
称为自然界的“标准时钟”.动植物在生长过程中衰
变的碳14,可以通过与大气的相互作用得到补充,所
以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变.
死亡后的动植物,停止了与外界环境的相互作用,机
体中原有的碳14按确定的规律衰减,我们已经知道
其“半衰期”为5730年.
湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量
约占原始含量的76.7%,试推算马王堆古墓的年代.
解:因为生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系为:
写成对数的形式为：
设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1；湖南长沙马王堆汉墓女尸中碳14的残留量约占原始含量的76.7%，即P=0.767，那么
所以，马王堆古墓是近2200年前的遗址.