第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
一、函数的零点
1.定义
若实数x是函数y=f(x)的零点，则需满足条件_______.
2.方程的根、函数的图象、函数的零点三者之间的关系
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有_____⇔函数
y=f(x)有_____.
f(x)=0
交点
零点
思考：函数y=x2有零点吗?
提示：∵x=0时，y=0，∴函数有零点，是0.
二、函数零点的判断
条件:(1)函数y=f(x)在区间________上的图象是连续不断的一
条曲线;
(2)_____________.
结论：函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在_________,使
得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
［a,b］
f(a)·f(b)<0
c∈(a,b)
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)只要方程有实数根，则相对应的函数图象一定与x轴有交点.( )
(2)若函数f(x)在区间［2,6］上有f(2)·f(6)<0，则函数在此区间内有零点.( )
(3)设f(x)在区间［a,b］上是连续的且是单调函数,且f(a)·f(b)<0,则方程f(x)=0在闭区间［a,b］内有唯一实数根.( )
提示：(1)正确，方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标，即函数的零点，故此说法正确.
(2)错误.不知道该函数在此区间内的图象是否连续.
(3)正确. 由函数是连续的且f(a)·f(b)<0知，f(x)=0在［a,b］上至少有一实数根,又f(x)在［a,b］上单调,从而可知必有唯一实数根.
答案：(1)√ (2)× (3)√
【知识点拨】
1.对函数零点概念的认识
(1)函数的零点的本质是方程f(x)=0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,函数值为零.
(2)函数是否有零点是针对对应方程是否有实数根而言的,若方程没有实数根,则函数没有零点,反映在图象上就是函数图象与x轴无交点,如函数y=3, y=x2+1就没有零点.
(3)方程有几个解,则其对应的函数就有几个零点. 如果方程有二重实数根，可以称函数有二重零点.若函数y=f(x)有零点,则零点一定在其定义域内.
2.从三方面正确把握函数零点存在的判断方法
(1)并不是所有的函数都有零点，如函数
(2)一个函数y=f(x)在区间［a,b］内若具备两个条件：
①函数在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线;
②f(a)·f(b)<0.则该函数在(a,b)内有零点，反之则不一定成
立.
(3)对于任意的一个函数，即使它的图象是连续不断的，当它
通过零点时，函数值也不一定变号，如函数y=x2有零点0，但
显然当它通过零点时函数值没有变号.
类型 一 求函数的零点
【典型例题】
1.函数f(x)=x2－3x－4的零点是( )
A.1，-4 B.4，-1 C.1，3 D.不存在
2.函数f(x)=ax+b有一个零点是2，求函数g(x)=bx2－ax的零点.
【解题探究】1.函数的零点的本质是什么？
2.函数的零点与方程的根有何对应关系?
探究提示：
1.函数的零点的本质是方程f(x)=0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数.
2.函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根.
【解析】1.选B.令x2－3x－4=0，得x=4或x=－1.
2.f(x)=ax+b有一个零点是2，得2a+b=0，则g(x)=bx2－ax=
－2ax2－ax，令－2ax2－ax=0，则g(x)的零点为0和
【拓展提升】函数零点的两种求法
(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根.
(2)几何法:画出函数y=f(x)的图象,则图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
【变式训练】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.
(1)f(x)=x2+2x+4.
(2)f(x)=2x-3.
【解析】(1)令x2+2x+4=0，由于Δ=22-4×1×4=-12<0，所以方程x2+2x+4=0无实数根，所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点.
(2)令2x-3=0，解得x=log23，所以函数f(x)=2x-3的零点是log23.
类型 二 函数零点个数的判定
【典型例题】
1.若函数f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,+∞)，且f(x)为偶函数，又f(x)在(0,+∞)上是减函数，f(2)=0，则函数f(x)的零点有( )
A.一个 B.两个
C.至少两个 D.无法判断
2.二次函数f(x)=ax2+bx+c中，a·c<0，则函数的零点个数
是( )
A.1 B.2 C.0 D.无法确定
3.求函数f(x)=ln(x－1)+0.01x的零点的个数.
【解题探究】1.偶函数图象有何特征？函数图象与函数零点个数有何关系？
2.对于二次函数的零点个数的判定，解决此问题的关键点是什么？
3.题3中能否直接求出函数零点的个数？若不能，可以考虑利用什么来判断零点的个数？
探究提示：
1.偶函数的图象关于y轴对称，函数图象与x轴交点个数与对应方程的根的个数相等，方程的根的个数与相应函数零点个数相等，所以函数图象与x轴交点个数与函数零点个数相等.
2.解决关于二次函数的零点个数的判定问题，关键是利用判别式来判断相应方程的根的个数.
3.不能.根据零点的含义，可以借助函数的图象来判断零点的个数.
【解析】1.选B.依据给出的函数性质，易知f(－2)=0，画出函数的大致图象如图：
可知f(x)有两个零点.
2.选B.∵Δ=b2－4ac，a·c<0，∴Δ>0，∴方程ax2+bx+c=0有两个根，故函数有两个零点.
3.方法一:因为f(3)=ln2+0.03>0, f(1.5)=-ln2+0.015<0,所以f(3)·f(1.5)<0,
说明函数f(x)=ln(x－1)+0.01x在区间(1.5,3)内有零点.又y=ln(x－1)与y=0.01x在(1,+∞)上都是增函数,所以f(x)在(1,+∞)上是增函数,所以该函数只有一个零点.
方法二:在同一坐标系内作出h(x)=ln(x－1)和g(x)=-0.01x的图象,如图.
由图象知h(x)=ln(x－1)和g(x)=-0.01x有且只有一个交点,即f(x)=ln(x－1)+0.01x有且只有一个零点.
【互动探究】若题2中二次函数改为“f(x)=cx2+bx+a”，条件“a·c<0”不变，则函数的零点个数是______.
【解析】∵Δ=b2－4ac，a·c<0，∴Δ>0，∴函数有两个零点.
答案：2
【拓展提升】确定函数零点个数的方法
(1)分解因式法:可转化为一元n次方程根的个数问题，一般采用分解因式法来解决.
(2)判别式法:可转化为一元二次方程根的个数问题，通常用判别式法来判断根的个数.
(3)图象法:指数函数和对数函数零点个数问题一般用图象法来解决.
(4)单调性法:常规方法不易判断时,可利用函数的单调性来判断函数零点的个数.
类型 三 判断函数零点所在区间
【典型例题】
1.已知函数f(x)=x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是( )
A.(3,4) B.(2,3)
C.(1,2) D.(0,1)
2.已知函数f(x)在区间［a,b］上单调且图象连续，且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a,b)上( )
A.至少有三个零点 B.可能有两个零点
C.没有零点 D.必有唯一零点
【解题探究】1.函数零点存在性定理的两个必备条件是什么？常采用怎样的策略来解决函数零点所在区间问题？
2.函数在区间(a,b)上存在唯一零点应具备什么条件？
探究提示：
1.两个必备条件是：(1)函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线.(2)f(a)·f(b)<0.确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反.
2.除应具备函数零点存在的两个条件外，还需要函数在此区间上单调.
【解析】1.选C.∵f(0)=－1<0，f(1)=-1<0，f(2)=5>0，∴f(1)·f(2)<0，此零点一定在(1,2)内.
2.选D.函数f(x)在区间［a,b］上单调且图象连续，故其图象与x轴至多有一个交点，又f(a)·f(b)<0，所以必有一个交点.
【拓展提升】判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代：将区间端点代入函数求出函数的值.
(2)判：把所得函数值相乘，并进行符号判断.
(3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.
【变式训练】方程2x+x=0在下列哪个区间内有实数根( )
A.(－2,－1) B.(0,1)
C.(1,2) D.(－1,0)
【解析】选D.令f(x)=2x+x，∵f(－1)·f(0)=( )×1<0，
∴f(x)=2x+x的零点在区间(－1,0)内，故2x+x=0在区间(－1,0)
内有实数根.
一元二次方程的区间根问题
【典型例题】
1.已知函数f(x)=(x－a)(x－b)+1(a是( )
A.mC.m2.方程x2－3x+a=0的两根均大于1，求实数a的取值范围.
【解析】1.选B.由函数f(x)=(x－a)(x－b)+1，可得f(a)=f(b)=1.又m，n是方程f(x)=0的两个根，故可画出函数的大致图象如图：

所以应该有a2.方法一：设x1,x2为方程x2-3x+a=0的两根，
则x1+x2=3,x1x2=a，要使两根都大于1，
需满足：
将x1+x2=3,x1x2=a代入不等式组得：2＜a≤
方法二：设f(x)=x2-3x+a,
则其图象开口向上，且与x轴的交点均在点(1，0)右侧，
所以有
解得2＜a≤
【拓展提升】解决一元二次方程根的分布问题的方法
(1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题.
(2)结合草图考虑三个方面：①Δ与0的大小关系；②对称轴与所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系.
(3)写出由题意得到的不等式(组).
(4)由得到的不等式(组)去验证图象是否符合题意.
这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点.在写不等式(组)时，要注意条件的完备性.
【易错误区】忽视函数零点的存在性定理的条件致误
【典例】(2012·衡阳高一检测)函数f(x)=x+ 的零点的个数
为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选A.函数f(x)的定义域为{x|x≠0}①，
当x>0时，f(x)>0；
当x<0时，f(x)<0，
但此函数在定义域内的图象不连续，
所以函数没有零点，故选A.
【类题试解】1.函数 的零点的个数
为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.当x≤0时，令x2+2x－3=0，解得x=-3；当x>0
时，令－2+lnx=0，解得x=e2，所以函数
有2个零点.
2.函数y=log2(x2+1)的零点是______.
【解析】令log2(x2+1)=0,即x2+1=1,∴x=0.
答案：0
【误区警示】
【防范措施】
明确定理成立的条件
零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数在区间［a,b］
上的图象是连续不断的一条曲线; 二是f(a)·f(b)<0.这两个
条件缺一不可.如果其中一个条件不成立，那么就不能在区间
［a,b］上使用该定理，如本例f(x)=x+ 在［-1，1］上不连
续，故不能在区间［-1,1］上直接使用零点存在性定理.
1.函数f(x)=－2x+m的零点为4，则实数m的值为( )
A.-6 B.8 C. D.
【解析】选B.f(x)=－2x+m的零点为4，所以－2×4+m=0，m=8.
2.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点，则实数a的取值范围是( )
A.a<1 B.a>1 C.a≤1 D.a≥1
【解析】选B.函数f(x)=x2+2x+a没有零点，即方程x2+2x+a=0没有实数根，所以Δ=4－4a<0，得a>1.
3.函数f(x)=x3－2x2+3x的零点有( )
A.一个 B.两个
C.三个 D.无零点
【解析】选A.令x3－2x2+3x=x(x2－2x+3)=0，
∵方程x2-2x+3=0的Δ=(-2)2-4×3<0,
∴x2-2x+3=0没有实数根，故方程x3-2x2+3x=0有实数根x=0，所以f(x)=x3－2x2+3x只有一个零点.
4.函数 的零点是______.
【解析】令 得，x=－2.
答案：－2
5.函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为______.
【解析】因为f(x)为偶函数，所以其零点互为相反数，故四个零点之和为0.
答案：0
6.若函数f(x)=2x2-ax+3有一个零点为 求f(x)的所有零点.
【解析】f(x)=2x2-ax+3有一个零点为 所以 是方程
2x2-ax+3=0的一个根，则 解得a=5，所以
f(x)=2x2-5x+3，令f(x)=0,得x= 或x=1,所以f(x)的零点为
1.